Conjuntos e Funções na Matemática Arquivo

Prof. Romulo Liz Oliveira
Conjuntos Matemáticos
A teoria avançada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo
matemático alemão Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeiçoada no início do século XX
por outros matemáticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemão - 1871/1956), Adolf
Fraenkel (alemão - 1891/ 1965), Kurt Gödel (austríaco - 1906 /1978), Janos von
Newman (húngaro - 1903 /1957), entre outros.
O que se estuda deste assunto ao nível do segundo grau e exigido em alguns
vestibulares, é tão somente uma introdução elementar à teoria dos conjuntos, base para
o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relações, funções, análise
combinatória, probabilidades, etc.
Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.
Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2, 4, 6 ,8 ,10 ,12, ... }.
Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se
forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma
propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P
acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.
- Relação de pertinência:
Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x  A,
onde o símbolo significa "pertence a".
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a
notação
y  A.
O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por
.
Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao
qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo
símbolo U.
Assim é que, pode-se escrever como exemplos:
 = { x; x  x} e U = {x; x = x}.
- Subconjunto
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos
que
A é subconjunto de B e indicamos isto por A  B.
Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A  A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (  A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado
conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = { , {c}, {d},
{c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.
- Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números.
Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos
numéricos fundamentais, a saber:
- Conjunto dos números naturais
N = {0,1,2,3,4,5,6,... }
- Conjunto dos números inteiros
Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
Nota: é evidente que N  Z.
- Conjunto dos números racionais
Q = {x | x = p/q com p  Z , q  Z e q  0 }. (o símbolo | lê-se como "tal que").
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração
p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.
Lembre-se que não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... =
1/3,
7 = 7/1, etc.
Notas:
a) é evidente que N  Z  Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma
dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444... = 4/9
- Conjunto dos números irracionais
Q' = {x | x é uma dízima não periódica}. (o símbolo | lê-se como "tal que").
Exemplos de números irracionais:
 = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e
o seu diâmetro)
2,01001000100001... (dízima não periódica)
 3 = 1,732050807... (raiz não exata).
Conjunto dos números reais
R = { x | x é racional ou x é irracional }.
Notas:
a) é óbvio que N  Z  Q  R
b) Q'  R
c) um número real é racional ou irracional; não existe outra hipótese!
- Intervalos numéricos
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números
reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são
os limites do
intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo. ;
Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito
aberto.
A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
TIPOS
REPRESENTAÇÃO
OBSERVAÇÃO
INTERVALO FECHADO
[p;q] = {x  R; p  x  q}
inclui os limites p e q
INTERVALO ABERTO
(p;q) = { x  R; p  x  q}
exclui os limites p e q
INTERVALO FECHADO A
ESQUERDA
[p;q) = { x  R; p  x  q}
inclui p e exclui q
INTERVALO FECHADO À
DIREITA
(p;q] = {x  R; p  x  q}
exclui p e inclui q
INTERVALO SEMI-FECHADO
[p; ) = {x  R; x  p}
valores maiores ou iguais a p.
INTERVALO SEMI-FECHADO
(-  ; q] = { x  R; x  q}
valores menores ou iguais a q.
INTERVALO SEMI-ABERTO
(- ; q) = { x  R; x  q}
valores menores do que q.
INTERVALO SEMI-ABERTO
(p;  ) = { x  p }
valores maiores do que p.
Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser
representado na forma de intervalo como R = ( - ; +  ).
- Operações com conjuntos
- União (  )
Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto união A  B = {x; x  A ou x  B}.
Exemplo: {0,1,3}  { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto
união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A  A = A
b) A   = A
c) A  B = B  A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A  U = U , onde U é o conjunto universo.
- Interseção (  )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A  B = {x; x  A e x 
B}.
Exemplo: {0,2,4,5}  { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção
contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A  A = A
b) A   = 
c) A  B = B  A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A  U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes também as seguintes propriedades:
P1. A  ( B  C ) = (A  B)  ( A  C) (propriedade distributiva)
P2. A  ( B  C ) = (A  B )  ( A  C) (propriedade distributiva)
P3. A  (A  B) = A (lei da absorção)
P4. A  (A  B) = A (lei da absorção)
Observação: Se A  B =  , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
- Diferença: A - B = {x ; x  A e x  B}.
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro
conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A -  = A
b)  - A = 
c) A - A = 
d) A - B  B - A (a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
- Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados
dois conjuntos A e B, com a condição de que B  A , a diferença A - B chama-se, neste
caso, complementar de B em relação a A .
Simbologia: CAB = A - B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os
elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: 
B' = {x; x  B}. É óbvio, então, que:
a) B  B' = 
b) B  B' = U
c) 'U
d) U' = 
- Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por
part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado
simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto
vazio - Ø.
Assim, o conjunto das partes de A será:
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):
X = { {2}, {3,5} }
Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:
a) nenhum dos elementos de X é Ø .
b) {2} {}Ø
c) {2} U {} = {2, 3, 5} = A
Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto
A.
Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros
exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do
conjunto Z dos números inteiros, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...}  {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2,
4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = Z
- Número de elementos da união de dois conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número
de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do
conjunto.
Representando o número de elementos da interseção A  B por n(A  B) e o número
de elementos da união A  B por n(A  B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B)
- Exercícios propostos I:
1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
b) quando chove de manhã não chove à tarde;
c) houve 5 tardes sem chuva;
d) houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a)7
b)8
*c)9
d)10
e)11
2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se
que o número de pessoas que gostavam de B era:
I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:
*a)48
b)35
c)36
d)47
e)37
3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S.
Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3
visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São
Paulo foi:
*a) 29
b) 24
c) 11
d) 8
e) 5
4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira,
referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes
alternativas:
a)século XIX
b)século XX
c)antes de 1860
d)depois de 1830
e)nenhuma das anteriores
Pode-se garantir que a resposta correta é:
a)a
b)b
*c)c
d)d
e)e
- Exercícios propostos II:
1 - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 9
*e)10
2 - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas
presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as
duas. Quantas não comeram nenhuma?
*a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 0
3) PUC-SP - Se A =  e B = {}, então:
*a) A  B
b) A  B = 
c) A = B
d) A  B = B
e) B  A
4) FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A  B é 30,
o número de elementos de A  C é 20 e o número de elementos de A  B  C é 15.
Então o número de elementos de A  (B  C) é igual a:
*a)35
b)15
c)50
d)45
e)20
5) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto
A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são:
*a)2 ou 5
b)3 ou 6
c)1 ou 5
d)2 ou 6
e)4 ou 5
RELAÇÃO BINÁRIA
Dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em B , a qualquer subconjunto de
AxB. Em termos simbólicos, sendo  uma relação de A em B , podemos escrever:
 = { (x;y)  AxB ; x  y }
Ex:  = { (0;3) , (2;5) , (3;0) } é uma relação de A = { 0;2;3;4} em B = {3;5;0}.
NOTAS:
1)   AxB
2) o conjunto A é o conjunto de partida e B o conjunto de chegada ou contradomínio.
3) se (x;y)   , então dizemos que y é imagem de x , pela relação  .
4) a expressão x y equivale a dizer que (x;y)   .
5) dada uma relação  = { (x;y)  AxB ; x  y } , o conjunto dos valores de x chamase domínio da relação e o conjunto dos valores de y chama-se conjunto imagem da
relação.
6 - o número de relações possíveis de A em B é dado por 2 n(A).n(B) .
7 - Dada uma relação  = { (x,y)  AxB ; x  y } , define-se a relação inversa  -1
como sendo:
 -1 = { (y,x)  BxA ; y  x }.
Ex: F = { (0,2) , (3.5) , (4,8) , ( 5,5) }
F-1 = { (2,0) , (5,3) , (8,4) , (5,5) }.
Agora, tente resolver as questões a seguir.
1 - Sendo A = {x  N; 1  x  4} e B = {x  Z; 5  x  10}, o conjunto imagem da
relação
S = {(x, y)  AXB; x + y = 9} é:
a) {4,5,6}
*b) {6,7}
c) {5,6,7}
d) {7}
e) {1}
2 - Sendo n(A) = 2 e n(B) = 3, então o número de elementos de p(A) X p(B) é:
a)4
b)8
c)16
*d)32
e)64
3 - UFBA - Sejam: A = { 1 , 5 } ; B = { -1 , 0 , 1 }; R = {(x , y)  AxB } e
F = conjunto dos pontos do plano, simétricos aos pontos de R em relação à primeira
bissetriz. Dos conjuntos e relações dados, pode-se afirmar:
I) A imagem da relação inversa de R é o conjunto A.
II) O domínio de F é o conjunto B.
III) R tem 5 elementos.
IV) Em F há pontos pertencentes ao eixo Ox.
V) Existe um único ponto de R que pertence à primeira bissetriz.
São verdadeiras:
a) todas
b) nenhuma
c) III e IV
*d) I, II e V
e)somente I
4 - UEFS - Sendo A = { 1, 3 } e B = [-2 , 2], o gráfico cartesiano de AxB é representado
por:
a) 4 pontos
b) 4 retas
c)um retângulo
d)retas paralelas a Ox
*e) dois segmentos de reta
5 - Sabendo-se que n(AxB) = 48 , n(BxC) = 72 , n(p(A)) = 256, podemos afirmar que
n(AxC) é:
a)64
b)72
*c)96
d)128
e)192
6 - UFCE - Dado um conjunto C , denotemos por n(p(C)) o número de elementos do
conjunto das partes de C. Sejam A e B dois conjuntos não vazios, tais que n(p(AxB)) =
128 e n(B)  n(A). Calcule n(p(B)) / n(p(A)).
Resp: 64
Funções
1 - Definição
Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A
em B, representada por
f : A  B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a cada elemento de
A , um único elemento de B .
Veja o capítulo Relações Binárias
Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a
cada x  A esteja associado um único y  B, podendo, entretanto existir y  B
que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.
Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou
seja:
y está associado a x através da função f.
Exemplo:
f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela
função f ;
f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3,
etc.
Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (Domínio e
Contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do
domínio a um e somente um elemento do contradomínio .
Quando D(f)  R e CD(f)  R, sendo R o conjunto dos números reais ,
dizemos que a função f é uma função real de variável real . Na prática ,
costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a
lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos valores possíveis para x ,
chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y , chamado de
conjunto imagem da função . Assim, por exemplo, para a função definida por
y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais
diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o seu
conjunto imagem é também R* , já que se y = 1/x , então x = 1/y e portanto y
também não pode ser zero .
Dada uma função f : A  B definida por y = f(x),
podemos representar os pares ordenados (x,y)  f onde x  A e y  B ,num
sistema de coordenadas cartesianas .
O gráfico obtido será o gráfico da função f .
Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f ,
podemos dizer que:
a ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função .
b ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da
função .
c ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta
o gráfico da função em no máximo um ponto .
Veja a figura abaixo:
2 -Tipos de funções
2.1 - Função sobrejetora
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio .
Exemplo:
2.2 - Função injetora
Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio ,
possuem imagens distintas,
isto é:
x1  x2  f(x1)  f(x2) .
Exemplo:
2.3 - Função bijetora
Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora
.
Exemplo:
Exercícios resolvidos:
1 - Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas
Solução:
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem
imagens distintas, ou seja:
x1  x2  f(x1)  f(x2).
Logo, podemos concluir que:
f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros
também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.
2 - Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais - tal que
f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).
Solução:
Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:
x-5=ux=u+5
Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5)  f(u) = 4u + 20
Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
f(x + 5) = 4(x+5) + 20  f(x+5) = 4x + 40
Agora resolva este:
A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2. f(3x + 1).
Resp: 9x + 5
3 - Paridade das funções
3.1 - Função par
A função y = f(x) é par, quando  x  D(f) , f(- x ) = f(x) , ou seja, para todo
elemento do seu domínio,
f( x ) = f ( - x ). Portanto, numa função par, elementos simétricos possuem a
mesma imagem. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos
das funções pares são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das
ordenadas.
Exemplo:
y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Por exemplo,
f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17
O gráfico abaixo, é de uma função par.
4.2 - Função ímpar
A função y = f(x) é ímpar , quando  x  D(f) , f( - x ) = - f (x) , ou seja, para
todo elemento do seu domínio, f( - x) = - f( x ). Portanto, numa função ímpar,
elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma conseqüência desse
fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares são curvas simétricas
em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.
Exemplo:
y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).
Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8.
O gráfico abaixo é de uma função ímpar:
Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, dizemos que ela não possui
paridade.
Exemplo:
O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva
não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à
origem.
Funções II
1 - FUNÇÃO INVERSA
Dada uma função f: A  B, se f é bijetora, então se define a função inversa f -1 como
sendo a função de B em A, tal que f -1 (y) = x.
Veja a representação a seguir:
É óbvio então que:
a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .
b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .
c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .
d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à
bissetriz do primeiro quadrante .
Exemplo:
Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.
Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3
Explicitando y em função de x, vem:
2y = x - 3  y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada.
O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa.
Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são simétricas em relação à reta
y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.
Exercício resolvido:
A função f: R  R, definida por f(x) = x2:
a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) =  x
b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = -  x
c) não é inversível
d) é injetora
e) é bijetora.
SOLUÇÃO:
Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função
inversa.
Ora, a função f(x) = x2, definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora,
pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f(-3) = 9.
Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível.
Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da
função f(x) = x2 é o conjunto R + dos números reais não negativos, o qual não coincide
com o contradomínio dado que é
igual a R. A alternativa correta é a letra C.
2 - FUNÇÃO COMPOSTA
Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a
variável independente x , por uma função.
Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .
Veja o esquema a seguir:
Obs.: atente para o fato de que fog  gof , ou seja, a operação " composição de funções "
não é comutativa .
Exemplo:
Dadas às funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).
Teremos:
gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15
fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3
Observe que fog  gof .
Exercícios resolvidos:
1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar
que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:
a) b(1 - c) = d(1 - a)
b) a(1 - b) = d(1 - c)
c) ab = cd
d) ad = bc
e) a = bc
SOLUÇÃO:
Teremos:
fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b  fog(x) = acx + ad + b
gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d  gof(x) = cax + cb + d
Como o problema exige que gof = fog, fica:
acx + ad + b = cax + cb + d
Simplificando, vem:
ad + b = cb + d
ad - d = cb - b  d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos
leva a concluir que a alternativa correta é a letra A.
2 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:
a) 2 - 2x
b) 3 - 3x
c) 2x - 5
*d) 5 - 2x
e) uma função par.
SOLUÇÃO:
Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1
Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1
Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável.
Portanto, x = 2 - u.
Substituindo, fica:
f(u) = 2(2 - u) + 1  f(u) = 5 - 2u
Portanto, f(x) = 5 - 2x, o que nos leva à alternativa D.
Agora resolva esta:
Dadas às funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se
k for igual a:
*a) -1/3
b) 1/3
c) 0
d) 1
e) -1
Funções III
Tipos particulares de funções
1 FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k não depende de x .
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3
Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .
Veja o gráfico a seguir:
2 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a  0.
Exemplos :
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
Propriedades da função do 1º grau:
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta.
2) na função f(x) = ax + b, se b = 0, f é dita função linear e se b  0 f é dita função afim.
Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler)
- excepcional matemático suíço - 1701/1783).
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de
abscissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente
linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .
6) se a  0, então f é crescente.
7) se a  0, então f é decrescente.
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax, o gráfico é uma reta que sempre
passa na origem.
Exercício resolvido:
1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b
Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a  a = - 15
Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b  b = 35.
Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.
Agora resolva esta:
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos
afirmar que f(1) é
igual a:
*a) 2
b) -2
c) 0
d) 3
e) -3
3 FUNÇÃO DO 2º GRAU
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a  0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c: é sempre uma parábola de eixo
vertical .
Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c:
1) se a  0 a parábola tem um ponto de mínimo.
2) se a  0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv, yv) onde:
xv = - b/2a
yv = -  /4a, onde  = b2 - 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa x' e x'' , que são as raízes da
equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) ymax = -  / 4a ( a  0 )
8) ymin = -  /4a ( a  0 )
9) Im(f) = { y  R ; y  -  /4a } ( a  0 )
10) Im(f) = { y  R ; y  -  /4a} ( a  0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser
escrita na forma fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2)
Exercícios Resolvidos
1 - UCSal - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto
(-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
a) o seu valor máximo é 1,25
b) o seu valor mínimo é 1,25
c) o seu valor máximo é 0,25
d) o seu valor mínimo é 12,5
*e) o seu valor máximo é 12,5.
SOLUÇÃO:
Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:
y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função.
Portanto, poderemos escrever:
y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3)
Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:
8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)
8 = a(1)(-4) = - 4.a
Daí vem: a = - 2
A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)
y = -2x2 + 6x - 4x + 12
y = -2x2 + 2x + 12
Temos então: a = -2, b = 2 e c = 12.
Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.
Isto já elimina as alternativas B e D.
Vamos então, calcular o valor máximo da função.
 = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100
Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5
Logo, a alternativa correta é a letra E.
2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
*a) 1/2
b) 2
c) 1
d) 4
e) -1/2
SOLUÇÃO:
Seja x o número procurado.
O quadrado de x é x2 .
O número x excede o seu quadrado , logo: x - x2.
Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x2 .
Podemos escrever:
y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.
O valor procurado de x, será o xv (abscissa do vértice da função).
Assim,
xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2
Logo, a alternativa correta é a letra A .
Agora resolva estes similares:
1 - A diferença entre dois números é 8. Para que o produto seja o menor possível, um
deles deve ser:
a) 16
b) 8
*c) 4
d) -4
e) -16
2 - A diferença entre dois números é 8. O menor valor que se pode obter para o produto
é:
a) 16
b) 8
c) 4
d) -4
*e) -16
Funções IV
Exercícios resolvidos e propostos
1 - Se f(x) = 1/[x(x+1)] com x  0 e x  -1, então o valor de S = f(1) + f(2) + f(3) + ... +
f(100) é:
a)100
b) 101
c) 100/101
d) 101/100
e) 1
SOLUÇÃO:
Temos:
Portanto,
f(1) = 1/1 - 1/2
f(2) = 1/2 - 1/3
f(3) = 1/3 - 1/4
f(4) = 1/4 - 1/5
f(5) = 1/5 - 1/6
.........................
..........................
...........................
f(99) = 1/99 - 1/100
f(100) = 1/100 - 1/101
Somando membro a membro as igualdades acima (observe que os termos simétricos se
anulam entre si), vem:
f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(100) = 1 - 1/101 = 100/101, o que nos leva à alternativa C.
2 - UCSal - Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais,
dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:
a) -5
b) -4
c) 0
*d) 4
e) 5
SOLUÇÃO:
Como f(x) = 2x -3, podemos escrever: f[g(x)] = 2.g(x) - 3 = - 4x + 1
Logo, 2.g(x) = - 4x +4  g(x) = -2x + 2
Assim, g(-1) = -2(-1) + 2 = 4.
Logo, a alternativa correta é a letra D.
3 - O conjunto imagem da função y = 1 / (x - 1) é o conjunto:
a) R - { 1 }
b) [0,2]
c) R - {0}
d) [0,2)
e) (-2 ,2]
SOLUÇÃO:
Se y = 1 / (x - 1), então x - 1 = 1 / y.
Como o conjunto imagem é o conjunto dos valores de y, percebemos que y não pode ser
nulo, pois não existe divisão por zero.
Logo, o conjunto imagem é R - {0}, o que nos leva à alternativa C.
4 - Determine o domínio da função y = (x+1) / (x - 2).
SOLUÇÃO:
Como não existe divisão por zero, vem imediatamente que: x - 2  0  x  2.
Logo, o domínio da função será D = R - {2}, onde R é o conjunto dos números reais.
Agora resolva estes:
1 - UFBA - Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4 , então g(x) é igual a:
a) x - 2
b) x - 6
c) x - 6/5
d) 5x - 2
e) 5x + 2
Resp: C
2 - A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas condições, f(3x + 2) é igual a:
a) 2x + 3
b) 3x + 2
c) (2x + 3) / 2
d) (9x + 1) /2
e) (9x - 1) / 3
Resp: D
3 - Qual o domínio da função y = (x - 4)1/4 ?
Resp: D = [4,  ).
4 - Qual o conjunto imagem da função y = 1/x?
Resp: Im = R - {0}.
5 - Qual o domínio da função y = (senx)/x ?
Resp: D = R - {0}.
6 - Sendo f(x) = senx e g(x) = logx, pede-se determinar o valor de g[f( /2)].
Resp: 0
7 - Elabore o gráfico da função y = [x] , de domínio R, onde [x] significa o maior inteiro
contido em x, assim definido:
[x] = maior inteiro que não supera x.
Exemplos:
[2] = 2
[2,01] = 2
[0,833...] = 0
[-3,67...] = -4
[-1,34...] = -2, etc.
Resp:
UMA CERTA FUNÇÃO
Seja f uma função definida para todo x real, satisfazendo as condições:
Então, f(–3) vale:
a) –6
b) 0
c) ½
d) 2
e) –1
Solução:
Podemos escrever, usando as definições dadas no enunciado:
Para x = -3:
f(-3 + 3) = f(-3).f(3) ou f(0) = f(-3).2
Podemos também escrever:
Para x = 0:
f(0 + 3) = f(0).f(3) ou f(3) = f(0).f(3), de onde concluímos que o valor de f(0) é:
f(0) = f(3)/f(3) = 2/2 = 1.
Daí, vem, por substituição, lembrando que f(0) = f(-3).2 e que f(0) = 1:
1 = f(-3).2, de onde concluímos imediatamente f(-3) = 1/2, o que nos leva à alternativa
C.
Agora resolva este:
PUC-RS - Se f é uma função tal que f(1) = a, f() = b e f(x + y) = f(x) . f(y),  x, y 
R, então f(2 + ) é igual a:
a) a
b) b
2
c) a b
2
d) ab
e) a + b
Resposta: alternativa C.
Simbologia:
 - qualquer que seja, para todo.
 - pertence a
 - número irracional pi, cujo valor aproximado é 3,1416.
Uma certa classe de funções
Determine todas as funções f tais que
quaisquer que sejam os números reais x, y.
Solução:
Fazendo x = y = 0, já que todas as funções f que satisfazem à condição dada, pelo
enunciado, estão definidas para todo x e y real, vem:
f(02) – f(02) + 2.0 + 1 = f(0 + 0).f(0 – 0)
Daí, vem:
f(0) – f(0) + 1 = f(0).f(0) = [f(0)] 2 .
Como f(0) - f(0) = 0, vem:
0 + 1 = [f(0)] 2
1 = [f(0)] 2, de onde vem: f(0) =  1.
Pelo conceito de função , o elemento 0 não poderá ter duas imagens (1 e –1), e,
portanto, apenas um desses valores deve ser válido.
Fazendo y = x na igualdade dada no problema, vem:
f(x2) – f(x2) + 2x + 1 = f(x + x) . f(x – x)
Como f(x2) = f(x2), vem da igualdade acima:
2x + 1 = f(2x).f(0)
Fazendo uma mudança de variável, colocando 2x = u, vem:
u + 1 = f(u).f(0)
Supondo f(0) = 1 (do resultado obtido acima), fica:
f(u) = u + 1
Supondo f(0) = -1 (também do resultado obtido acima), fica:
f(u) = - (u + 1)
Como é indiferente usar o símbolo u ou x, teremos:
f(x) = x + 1 ou f(x) = - (x + 1).
Seriam estas duas funções, a solução do problema proposto.
Mas, como é dito que f é uma função, f(0) não pode ter duas imagens (1 e –1), conforme
já foi relatado anteriormente.
Temos então que verificar os dois resultados, para saber qual a que satisfaz ao problema
proposto.
Consideremos que y = f(x) = x + 1, seja uma solução procurada.
Como, já sabemos do enunciado que:
Vem,
f(x) = x + 1
f(x2) = x2 + 1
y = f(x)  y2 = [f(x)]2 = (x + 1)2
f(y2) = y2 + 1 = (x +1)2 + 1
f(x + y) = f[x + (x +1)] = f(2x + 1) = (2x + 1) + 1 = 2x + 2
f(x – y) = f[x – (x + 1)] = f(-1) = -1 + 1 = 0
Substituindo, vem:
x2 + 1 – [(x +1)2 + 1]+ 2x + 1 = (2x + 1).0
x2 + 1 –(x2 + 2x + 1 + 1)+ 2x + 1 = 0
x2 + 1 – x2 – 2x – 2 + 2x + 1 = 0
Simplificando, vem 0 = 0, e, portanto, a função y = f(x) = x + 1, satisfaz ao problema.
Por extensão, sabendo que f é uma função, é razoável supor que o valor de f(0) (que
deve ser único, pelo conceito de função ) é igual a f(0) = 1 e que o resultado f(0) = -1,
não serve.
Deixamos como exercício para o visitante, verificar que f(x) = - (x+1), não satisfaz ao
problema proposto. Isto é fácil; basta seguir os passos indicados acima para f(x) = y = x
+ 1.
Portanto, a única função que obedece ao critério do enunciado do problema proposto, é
a função y = x + 1.
Resp: Só existe uma função que satisfaz à condição dada no enunciado e esta função é y
= f(x) = x + 1.
Nota: esta questão apareceu na prova da 9ª Olimpíada de Matemática do Cone Sul,
realizada no ano de 1998, na cidade de Salvador - BA.
Calcule o valor da função
Seja f uma função tal que f(n + 1) = [(2.f(n) + 1)] / 2 para todo n inteiro
positivo e
f(1) = 2. Nestas condições, o valor de f(101) é:
(a) 102
(b) 101
(c) 86
(d) 76
(e) 52
Solução:
Teremos, fazendo n = 1, 2, 3, 4, ... na expressão f(n+1) = [(2.f(n) + 1) / 2:
n = 1  f(1 + 1) = f(2) = [2.f(1) + 1] / 2 = [2.2 + 1] / 2 = 5 / 2
n = 2  f(2 + 1) = f(3) = [2.f(2) + 1] / 2 = [2.(5 / 2) + 1] / 2 = 3
n = 3  f(3 + 1) = f(4) = [2.f(3) + 1] / 2 = [2.3 + 1] / 2 = 7 / 2
n = 4  f(4 + 1) = f(5) = [2.f(4) + 1] / 2 = [2.(7 / 2) + 1] / 2 = 4
...........................................................................................................
...........................................................................................................
Vamos resumir os valores obtidos acima:
f(1) = 2 = 4 / 2
f(2) = 5 / 2
f(3) = 3 = 6 / 2
f(4) = 7 / 2
f(5) = 4 = 8 / 2
........................
........................
Observe que o denominador é sempre 2 e o numerador é o valor de n
acrescido de 3 unidades, pois:
f(1) = 4 / 2 e 4 = 1 + 3
f(2) = 5 / 2 e 5 = 2 + 3
f(3) = 6 / 2 e 6 = 3 + 3
f(4) = 7 / 2 e 7 = 4 + 3
f(5) = 8 / 2 e 8 = 5 + 3
.......................................
.......................................
Observe que a lei de formação para um n inteiro positivo qualquer será
então
f(n) = (n + 3) / 2
Portanto, o valor de f(101) será obtido fazendo n = 101, o que resulta:
f(101) = (101 + 3) / 2 = 104 / 2 = 52
Agora resolva este:
Seja f uma função tal que f(n + 1) = [(2.f(n) + 1)] / 2 para todo n inteiro
positivo e
f(1) = 2. Nestas condições, determine o valor de f(105) + f(109).
Resposta: 110
Módulo I
Módulo ou valor absoluto
“O valor positivo do número real, desprezando-se o sinal. Escreve-se  x . Por exemplo:
 3 = 3;  -4 = 4,
e  0 = 0".
1 - INTRODUÇÃO
Genericamente, podemos dizer que o módulo de um número real, é o número sem o seu
sinal. Assim, o módulo de -7 é 7, o módulo de -5 é 5, ... , etc.
Para representar o módulo de um número real a , usamos a notação  a , que lê-se
módulo de a.
Podemos dizer que módulo é a operação de apagar o sinal, conforme pode-se perceber
nos exemplos acima.
2 - GENERALIDADES
2.1 - Seja x um número real qualquer. Das considerações do item (1)
acima, seria correto dizer que  x = x ?. Claro que não! Senão vejamos:
Suponha x = -3; teremos:  -3 = 3 = -(-3) = - x. Portanto para x negativo, vale a
igualdade  x = -x. Não se esqueça do fato que se x é negativo, então -x é positivo.
Somente para x positivo ou nulo é que vale a igualdade  x = x.
Das considerações acima podemos concluir que o módulo ou valor absoluto de um
número real qualquer é sempre positivo ou nulo. Lembre-se que  0 = 0.
Exercícios resolvidos.
1 - Qual o conjunto solução da equação  x + 1 +  x - 1 = 10 ?
Solução: Considere a reta numerada abaixo onde -1 e +1 são os valores que anulam as
expressões entre módulo:
Temos que considerar 3 casos:
1º caso: x  -1: neste caso, tanto x -1 como x+1 são negativos, e portanto:
 x-1 = -(x-1) e  x+1 = -(x+1) . Assim, substituindo as expressões em módulo pelos
seus valores válidos nesse intervalo, vem:
-(x-1) + [-(x+1)] = 10 \ -x + 1 -x -1 = 10 e, portanto x = -5.
2º caso: -1 x  1: neste caso, x + 1 é positivo e x -1 é negativo, e, portanto:
 x+1 = x+1 e  x - 1 = -(x - 1). Assim, substituindo as expressões em módulo pelos seus
valores válidos nesse intervalo, vem:
x + 1 + [-(x - 1)] = 10 e, logo chegamos à igualdade 0.x = 8 que é impossível, pois não
existe divisão por zero. Logo, nesse intervalo, a equação não tem solução.
3º caso: x  1 : nesse caso, tanto x + 1 quanto x - 1 são positivos e, portanto, teremos:
 x - 1 = x - 1 e  x + 1 = x + 1; substituindo as expressões em módulo pelos seus
valores válidos nesse intervalo, vem:
x - 1 + x + 1 = 10  2x = 10 e, logo x = 5. Portanto, o conjunto solução da equação
dada é: S = { -5, 5 }.
2 - Agora você deve resolver a equação:  2x + 6 +  2x - 6 = 80.
Resp: x = -20 ou x = 20 ou S = { -20, 20 }.
3 - Resolva a equação:  x 2 - 10  x + 16 = 0.
Solução: Temos de considerar dois casos:
1º caso: x  0 : neste caso, já sabemos que  x = -x. Substituindo as expressões em
módulo pelos seus valores válidos nesse intervalo, vem:
(-x)2 - ( - 10x ) + 16 = 0  x2 + 10x + 16 = 0, que é uma equação do 2º grau de raízes -8
e -2 (verifique).
2º caso: x  0 : nesse caso, sabemos que  x = x . Logo, substituindo, vem:
x2 - 10x + 16 = 0, que é uma equação do 2º grau de raízes 2 e 8 (verifique).
Logo, o conjunto solução da equação dada é: S = { - 8, - 2, 2, 8 }.
4 - Resolva a equação:  x 2 - 20  x + 64 = 0.
Resp: S = { -16, -4, 4, 16 }
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 - Sendo y =  x - 5 +  3x - 21 +  12 - 3x , se 4  x  5, podemos afirmar que:
a) y =14 - x
b) y = x - 14
c) y = 7x + 38
d) y = 0
e) y = 14x
2 - Resolva as seguintes equações modulares em R, conjunto dos números reais:
a)  2x - 3 = 5
b)  3x =  x + 2
c)  x2 - 4 = 5
Resp:
a) S = {-1, 4}
b) S = {-1/2, 1}
c) S = {-3, 3}
3 - UCSal/BA - O maior valor assumido pela função y = 2 -  x - 2 é:
a) 1
*b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4 - UCSal/BA - O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) =  1 - x - 2, intercepta
o eixo das abscissas nos pontos (a,b) e (c,d), com a  c. Nestas condições o valor de d +
c - b - a é:
*a) 4
b) -4
c) 5
d) -5
e) 0