´ALGEBRA LINEAR :: LISTA DE EXERCÍCIOS 00 Notaç˜ao

ÁLGEBRA LINEAR :: LISTA DE EXERCÍCIOS 00
Notação.
• Denote por R o conjunto dos números reais.
• Para cada n > 0, denote por In ∈ Mn (R) a matriz identidade de ordem n × n, ou
seja, a matriz In = (aij ) dada por aij = 1 se i = j, e aij = 0 se i 6= j.
• Para cada n > 0, denote por GLn (R) o conjunto formado pelas matrizes invertı́veis
de ordem n × n.
Exercı́cio 1. Considere as seguintes relações
f : M2 (R)
! −→ R
√
a b
7−→ ( ad − bc)
c d
e
d : M2 (R)
! −→ R
a b
c d
7−→ ad − bc.
(a) Explique por que f não é uma função.
(b) Mostre que d(AB) = d(A)d(B) para quaisquer A, B ∈ M2 (R).
(c) Mostre que d(I2 ) = 1. Usando o item (b), conclua que, se A ∈ M2 (R) for invertı́vel,
então d(A) 6= 0 e d(A−1 ) = 1/d(A).
(d) Encontre matrizes A, B ∈ M2 (A) tais que d(A + B) 6= d(A) + d(B).
Exercı́cio


 x
(a)
ax

 x


 ax
(b)
3x

 x
2. Para cada a ∈ R, classifique os sistemas lineares:
+ y − az = 0
+ y − z = 2−a
+ ay − z = −a
+ 2y = 6
− y = −2
+ y = 0
Exercı́cio 3. Considere os seguintes sistemas de equações

( √
√

 x + 2y + z = 0
−1x + e2 z =
17
√
S1 :
e
S2 :
y + 2z 2 = 0

−1x + πy = 0

z = 0
(a): Determine qual dos sistemas (S1 ou S2 ) é linear. Justifique por que um é linear e o
outro não é linear usando a definição de sistema linear.
(b): Denote por S o sistema linear escolhido no item (a), e determine uma solução para
S. Justifique sua resposta usando a definição de solução de um sistema linear.
Exercı́cio 4. Resolva os sistemas lineares homogêneos:
Data: 7 de março de 2017.
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ÁLGEBRA LINEAR :: LISTA DE EXERCÍCIOS 00


 3x − y + 2z
(a)
3x + y + 3z

 x − y − z
(
x + y + z +
(b)
x − y − z +
− w = 0
+ w = 0
− 5w = 0
w − t = 0
2w − t = 0
Exercı́cio 5. Considere o seguinte sistema linear


2y + z = 5

σ:
3x + y
= 6

 4x + 2y + z = 7
(a): Escreva a equação matricial Ax = b associada ao sistema σ.
(b): Encontre matrizes elementares E1 , E2 , . . . , Ep ∈ M3 (R) (p > 0), tais que Ep · · · E2 E1 A
é uma matriz escalonada.
(c): Classifique o sistema σ em: incompatı́vel, compatı́vel determinado, ou compatı́vel
indeterminado. Justifique.
(d): A matriz A é invertı́vel ou singular? Se for invertı́vel, determine todas as suas
inversas, mostrando que são inversas de A. Se for singular, justifique.
(e): Determine o conjunto formado por todos os x ∈ R3 que satisfazem Ax = O ∈
M3,1 (R). Justifique.
Exercı́cio 6. Mostre que:
(a) Para quaisquer números inteiros m, n, p > 0 e matrizes A ∈ Mm,n (R), B ∈ Mn,p (R),
temos que (AB)t = B t At ∈ Mp,m (R).
(b) Para quaisquer número inteiro n > 0 e matrizes A, B ∈ Mn (R), temos que
(A − B)2 = A2 − AB − BA + B 2 .
(c) Para quaisquer número inteiro n > 0 e matrizes A, B ∈ Mn (R), temos que
(A − B)(A + B) = A2 + AB − BA − B 2 .
Exercı́cio 7. Dê exemplos de:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Matrizes A, B tais que AB 6= BA.
Uma matriz A 6= O para a qual não existe matriz B tal que AB é igual a identidade.
Matrizes A 6= O e B 6= O tais que AB = O.
Matrizes A, B tais que (AB)t 6= At B t .
Matrizes inversı́veis A e B tais que (AB)−1 6= A−1 B −1 .
Exercı́cio 8. Verifique se a matriz dada é inversı́vel ou singular. Se for inversı́vel, determine a sua inversa.
!
1 2
(a)
2 2
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
1

(b) 1
2

0
1

(c) 
1
0
(d)
3

0 1

1 0
1 1

0 1 1
0 0 1


1 1 −1
2 0 3
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
Exercı́cio 9. Determine λ ∈ R, tal que o sistema


 x − y + z = 2
x
+ 2z = 1

 x + 2y + λz = 0
seja compatı́vel determinado. Usando o λ obtido, resolva o sistema.
Exercı́cio 10. Determine se as seguintes afirmativas são verdadeiras ou falsas. Em
seguida demonstre as que forem verdadeiras, e encontre contra-exemplos para as que
forem falsas.
(a): Se A 6∈ GLn (R) e n > 0, então BA 6∈ GLn (R) para toda B ∈ GLn (R).
(b): Se A = (aij ) ∈ Mn (R), n > 2 e existem p 6= q, 1 ≤ p, q ≤ n, tais que aip = aiq para
todo i = 1, . . . , n, então A 6∈ GLn (R).
(c): Se A, B ∈ GLn (R) e n > 0, então (AB)−1 = A−1 B −1 .