Lista de Exerc´ıcios 1: Funç˜oes Mensuráveis

Medida e Integração.
Departamento de Fı́sica e Matemática. USP-RP.
Prof. Rafael A. Rosales
23 de março de 2007.
Lista de Exercı́cios 1: Funções Mensuráveis
Exercı́cio 1. Mostre que [a, b] = ∩∞
n=1 (a − 1/n, b + 1/n). Portanto qualquer σálgebra dos subconjuntos de R contém todos os subconjuntos abertos e também
todos os subconjuntos fechados. Analogamente, (a, b) = ∪∞
n=1 [a + 1/n, b − 1/n]],
portanto qualquer σ-álgebra que contem os intervalos fechados também contem
os intervalos abertos.
Exercı́cio 2. Mostre que a álgebra de Borel B também é gerada pela coleção
dos intervalos semi-abertos (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}. Da mesma forma,
mostre que B é gerada pelos conjuntos x ∈ R : x > a, a ∈ R.
Exercı́cio 3. Se (An ) é uma seqüência dos conjuntos de X, mostre que
∅ ⊆ lim inf An ⊆ lim sup An ⊆ X.
Apresente um exemplo de uma seqüência (An ) tal que
lim inf An = ∅,
lim sup An = X.
De um exemplo de uma seqüência (An ) que não seja monótona crescente ou
decrescente, mas
lim inf An = lim sup An .
Exercı́cio 4. Forneça um exemplo de uma função f de X a R que não seja
mensurável, mas que seja tal que |f | e f 2 são A -mensuráveis.
Exercı́cio 5. Para a, b, c, números reais, seja mid(a, b, c) o “valor intermediário”.
Mostre que
mid(a, b, c) = inf sup{a, b}, sup{a, c}, sup{b, c} .
Se f1 , f2 , f3 são funções A -mensuráveis de X a R, e se g esta definida para todo
x ∈ X por
g(x) = mid f1 (x), f2 (x), f3 (x) ,
então g é A -mensurável.
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Exercı́cio 6. mostre diretamente (sem utilizar o exercı́cio anterior) que se f é
mensurável e A > 0, então fA definida por


f (x), se |f (x)| ≤ A,
fA (x) = A,
se f (x) > A,


−A, se f (x) < A,
é mensurável.
Exercı́cio 7. Seja f uma função A -mensurável e limitada, i.e. ∃K : 0 ≤ f (x) ≤
K para todo x ∈ X. Mostre que a seqüência (ϕn ) construı́da em aula converge
uniformemente em X a f .
Exercı́cio 8. Seja f uma função definida em X com valores no conjunto Y .
Para E ∈ Y seja
f −1 (E) = {x ∈ X : f (x) ∈ E}.
Mostre que f −1 (∅) = ∅, e f −1 (Y ) = X. Se E e F são conjuntos de Y então
f −1 (E \ F ) = f −1 (E) \ f −1 (F ).
Seja {Eα } uma famı́lia não vazia dos subconjuntos de Y , então
[ [
\ \
f −1
Eα =
f −1 (Eα ), f −1
Eα =
.f −1 (Eα ),
α
α
α
α
Em particular, se F é a σ-álgebra dos subconjuntos de Y , então {f −1 (E) : E ∈
F } é a σ-álgebra dos subconjuntos de X.
Exercı́cio 9. Seja f uma função definida em X com valores em Y . Seja A a
σ-álgebra dos subconjuntos de X e seja F = {E ⊆ Y : f −1 (E) ∈ F }. Mostre
que F é uma σ-álgebra.
Exercı́cio 10. Seja (X, A ) um espaço mensurável e f : X → Y . Seja D uma
famı́lia dos subconjuntos de Y tais que f −1 (E) ∈ A para todo E ∈ D. Mostre
que f −1 (F ) ∈ A para todo conjunto F que pertence a σ-álgebra gerada por D.
[Dica: utilize o exercı́cio anterior].
Exercı́cio 11. Seja (X, A ) um espaço mensurável e f uma função real definida
em X. Mostre que f é A -mensurável se, e somente se f −1 (E) ∈ A para
qualquer conjunto de Borel E.
Exercı́cio 12. Seja (X, A ) um espaço mensurável, f uma função mensurável
de X a R e seja ϕ uma função continua
de R a R. Mostre que a função composta
ϕ◦f , definida por (ϕ◦f )(x) = ϕ f (x) , é A -mensurável. [Dica: se ϕ é continua,
então ϕ−1 (E) ∈ B para cada E ∈ B.]
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Exercı́cio 13. Uma famı́lia não vazia de conjuntos D dos subconjuntos de X
é uma classe monótona se para cada seqüência monótona crescente (En ) em D
e cada seqüência monótona decrescente (Fn ) em D, os conjuntos
∞
[
∞
\
En ,
n=1
Fn
n=1
pertencem a D. Mostre que uma σ-álgebra é uma classe monótona. Logo, se A
é uma coleção de subconjuntos de X, então existe a menor classe monótona que
contem A. (Esta classe é conhecida como a classe monótona gerada por A.)
Exercı́cio 14. Mostre que a função f de X a R (ou R̄) é X mensurável se e
somente se o conjunto Aα do Lema 2.4(a) do livro de R. Bartle (veja a pagina
8) pertence a A para qualquer α ∈ Q; ou, se e somente se o conjunto Bα do
Lema 2.4(b) pertence a A para qualquer α ∈ Q.
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