Extensões algébricas

Estruturas algébricas 2014/1
Quarta lista de exercı́cios – Extensões algébricas
14.04.2014
Exercı́cio 1.
Seja k um corpo e K uma extensão de k. Mostre que se [K : k] = 2 então K|k é normal.
Exercı́cio 2.
Seja K um corpo e H ⊂ Aut(K). Mostre que o conjunto dos elementos de K invariantes
por todos os automorfismos de H é um subcorpo K H de K. Mostre então que K|K H é
uma extensão normal.
Exercı́cio 3.
Sejam k um corpo e f (x)
finita e normal. Se g e h
existe um automorfismo σ
contra-exemplo no caso de
um polinômio irredutı́vel em k[x]. Seja K|k uma extensão
são fatores irredutı́veis mônicos de f em K[x], mostre que
de K sobre k (i.e., σ ∈ Aut(K|k)) tal que g = hσ . Dê um
K|k não normal.
Exercı́cio 4.
Seja k um corpo com caracterı́stica p > 0. Seja n inteiro positivo coprimo com p, i.e.,
mdc(n, p) = 1. Mostre que toda extensão finita de k de grau n é separável.
Exercı́cio 5.
m
Encontre um corpo de decomposição de xp − 1 sobre Fp [x]. Qual o seu grau sobre Fp ?
Exercı́cio 6.
Seja k um corpo com caracterı́stica p > 0. Seja f ∈ k[x] um polinômio irredutı́vel. Mose
tre que f pode ser escrito como f (x) = g(xp ) onde g é irredutı́vel e separável. Deduza
que toda raı́z de f tem a mesma multiplicidade pe em qualquer corpo de decomposição
de f .
Exercı́cio 7.√
√
Seja K = Q( 2 + 5). Encontre o grau [K : Q] e escreva uma base de K sobre Q.
Exercı́cio 8.
Seja p primo. Prove que para qualquer corpo k e qualquer a ∈ k, o polinômio xp − a é
irredutı́vel ou tem uma raiz em k. [Dica: Escreva f = f1 .f2 e decomponha ambos em
fatores lineares em uma extensão. Considere entao seus termos constantes.]
Entregar até dia 24/04: Exercı́cios 1,3,5,7.