1 Professor Mauricio Lutz CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos números naturais ( Ν ) São aqueles números que aparecem naturalmente ao longo de um processo de contagem. Ν ={0, 1, 2, 3, ...} Conjunto dos números inteiros ( Ζ ) É formado por todos os números naturais e por seus respectivos opostos. Ζ ={... – 3, - 2. – 1, 0, 1, 2, ...} Conjunto dos números Racionais (Q) São os números que podem ser expressos sob a forma de fração. Q={x I x = Exemplos: a) 5= a , com a ∈ Ζ e b ∈ Ζ *} b 5 10 12 b) 2, 4 = = 1 2 5 Conjunto dos números irracionais (Ir) Consideremos um quadrado cujo lado mede 1 e calcular sua diagonal. Usando o teorema de Pitágoras, temos: d2 = 12 + 12 ⇒ d = 2 ⇒ d = 1,414213... São os números decimais não exatos e não periódicos. Conjunto dos números reais (ℜ) É a reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. ℜ= Q ∪ Ir = {x I x ∈ Q ∨ x ∈ Ir} Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br 2 Professor Mauricio Lutz Operações elementares Adição e subtração de números racionais Para somarmos números racionais na forma decimal devemos colocar um sobre o outro, vírgula sobre vírgula e somar os elementos de mesma ordem. Para subtrairmos números racionais na forma decimal devemos colocar o maior em cima e o menor embaixo e então subtrair e ao final atribuir o sinal do maior deles (lembre-se de completar com zeros após a vírgula). Exemplos: a) 134,7 b) 2,741 c) 13,46 +61,2 +31,4 –9,10 195,9 34,141 4,36 Na soma ou subtração de números racionais na forma fracionária, somamos e/ ou subtraímos os numeradores (através de m.m.c. deixamos os denominadores iguais) e conservamos o denominador. 3 1 9 2 11 + = + = 8 12 24 24 24 7 1 14 5 9 − = − = 20 8 40 40 20 m.m.c. (8, 12) = 24 m.m.c. (20, 8) = 40 Multiplicação e divisão de números racionais Na forma decimal, temos: a) 2,4 b) 31,7 X3 X21 7,2 317 +634 665,7 OBS.: multiplica-se sem observar a vírgula e ao final conta-se as casas após a vírgula e coloca-se no produto. No caso da divisão devemos “emparelhar” as casas após a vírgula e após retirá-la, ficando apenas com números naturais o que facilita a resolução. Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br 3 Professor Mauricio Lutz Exemplos: a) 3,41 ÷ 2 a) 3,41 b) 31,2 ÷ 4 2,00 –200 b) 1,705 31,2 4,0 –280 7,8 1410 320 –1400 –320 1000 0 –1000 0 Lembremos que toda forma decimal pode ser escrita na forma fracionária. Toda dizima periódica é um número racional, pois pode ser escrito na forma de uma fração, observe: 0,4444.... = 4 9 0,1414... = 14 99 0,231231.... = 231 999 Note que devemos colocar um nove no denominador para cada digito que repetirá. OBS.: 1,2424... = 1 + 0,2424 = 1 + 3,2777... = 3,2 + 0,0777 = 0,007777.... = 24 99 + 24 123 = = 99 99 99 32 7 288 + 7 295 + = = 10 90 90 90 7 900 Potenciação Potência é um produto de fatores iguais. a n = a.a.a....a (n fatores) O número real a é chamado base da potência e o número natural n é chamado expoente da potência. Exemplos: a) 2 4 = 2.2.2.2 = 16 b) (−2) 3 = (−2)(−2)(−2) = −8 2 1 1 1 ⎛1⎞ c) ⎜ ⎟ = . = 2 2 4 ⎝2⎠ Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br 4 Professor Mauricio Lutz Casos particulares a) Toda potência de expoente 1 é igual à base. a1 = a Exemplo: (−3)1 = −3 b) Toda potência de expoente zero é igual a 1. a0 =1 Exemplo: (−5) 0 = 1 c) Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo. a −n = Exemplo: 2 −3 = 1 ( a ≠ 0 e n inteiro) an 1 1 = 23 8 Propriedades das potências a) a m .a n = a m + n Exemplo: 2 3.2 8 = 2 3+8 = 2 11 b) a m : a n = a m − n Exemplo: 310 : 3 2 = 310 − 2 = 3 8 c) (a m ) = a m.n Exemplo: (7 3 ) = 7 3.4 = 7 12 d) (a.b ) = a m .b m Exemplo: (5.3) 2 = 5 2 .3 2 n m 4 Radiciação Sendo a e b números reais positivos e n um número inteiro maior que 1, temos por definição que: n a = b ⇔ bn = a Lembremos que os elementos de → Sinal do radical; n → Índice do radical; a → Radicando; b → Raiz. Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br n a = b são assim denominados: 5 Professor Mauricio Lutz Exercícios 1) O valor de 8 0,66... − 9 0,5 é a) 2 b) 1 c) 3– 2 d) –2 e) 2 2 2) Desenvolvendo a expressão 2 a .2 a a resulta 4 + 4 + 4a + 4a + 4a a) 1/2ab) ½ c) 2 a – 5 a d) 4 –2ª e) 1/5 3) O valor numérico da expressão (9x – 27x)2 para 3x = 2, é igual a) 4 b) 9 c) 16 d) 25 e) 26 4) Se 10x+2 = 25, então 10–x é igual a a) 1/25 b) ¼ c) 4 d) 25/2 e) 26 5) Complete com ∈ ou ∉ . a) – 7 ____ Ν b) 2 ____ Q c) 4 ____ Ζ e) f) 9 ____ Q 4 g) 0,166.... ____ Q h) 2 _____ Ir i) – 2 ________ Ζ Gabarito: 1) b; 2) e; 3) c; 4) c. Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br d) 1 4 _____ Ζ 3 8 _______ Ν