Probabilidade

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Professor Mauricio Lutz
PROBABILIDADE
Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpre-se
distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou
probabilístico) que melhor o explique.
Os fenômenos estudados pela Estatística são fenômenos cujo resultado,
mesmo em condições normais de experimentação variam de observação para
outra, dificultando dessa maneira a previsão de um resultado futuro.
Para a explicação desses fenômenos – fenômenos aleatórios – adota-se
um modelo matemático probabilístico. Neste caso, o modelo utilizado será o cálculo
das probabilidades.
1) Espaço amostral e eventos
Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo
repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados
imprevisíveis.
Chamamos de espaço amostral ou conjunto universo ao conjunto de
todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, representado por S.
Chama-se evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral de
um experimento aleatório.
Exemplos: 1. Quando lançamos uma moeda, temos duas possibilidades:
Obter cara ou obter coroa.
Logo, o espaço amostral do experimento será:
S={cara, coroa}
2. Jogando um dado ideal e anotando a face voltada para cima, teremos o seguinte
espaço amostral:
S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
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2) Probabilidade de um evento
Probabilidade de um evento A representa a “chance” de ocorrer um
evento A. O valor de p(A) é igual ao número de elementos de A, dividido pelo
número de elementos do espaço amostral S.
número de elementos de A n( E )
p( A) =
=
número de elementos de E n( S )
p( A) : probabilidade de um evento A
Como A Ì S , temos n( E ) £ n( S ) . Logo:
0 £ p( A) £ 1
Em particular, se p( A) = 0 , A será chamado evento impossível e, se
p( A) = 1 , A será chamado evento certo.
Exemplos: 1. Calcule a probabilidade de, jogando um dado ideal, obter um número
maior que 4.
Espaço amostral: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento: A={5, 6}
n( E ) = 2ü
2 1
ý Þ p ( A) = =
n( S ) = 6 þ
6 3
2. Calcule a probabilidade de retirar 1 bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas
brancas, 2 vermelhas e 5 verdes:
3 brancas ü
ï
2 vermelhasý Þ n( S ) = 10 e n( E ) = 2
ï
5 verdes
þ
p ( A) =
2
1
Þ p( A) =
10
5
3. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de a soma das
faces voltadas para cima ser 12?
Escrevendo os pares ordenados do espaço amostral:
S={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
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Note que, para cada face de um dado, temos 6 faces possíveis. Logo, o
número de elementos do espaço amostral é n( S ) = 36
O evento A={(6, 6)}. Portanto n( E ) = 1 .
Logo p( A) =
1
36
4. Dispondo de um baralho completo, determine à probabilidade de retirar ao acaso
uma carta de ouros.
Resolução:
Um baralho é formado por 52 cartas, divididas em 4 naipes: ouros, copas,
paus e espadas, sendo 13 cartas de cada naipe.
n( S ) = 52ü
13 1
= Þ p ( A) = 0,25
ý Þ p ( A) =
n( E ) = 13þ
52 4
Podemos também expressar p(A) em porcentagem:
p( A) = 0,25 Þ p( A) = 25%
Exercícios
1) Lançando-se um dado ideal, qual a probabilidade de ser obtido um número
menor que 4.
2) Retira-se 1 carta ao acaso de um baralho de 52 cartas. Determine à
probabilidade de ser:
a) uma dama;
b) uma dama ou um rei.
3) Qual a probabilidade de sorteio de 1 bola que não seja branca em uma urna que
contém 6 bolas brancas, 2 azuis e 4 amarelas?
4) Em um avião viajam 40 brasileiros, 20 japoneses, 8 americanos e 3 árabes.
Escolhendo ao acaso um passageiro, determine a probabilidade de ele:
a) ser árabe;
b) não ser árabe;
c) ser japonês ou americano;
d) ser argentino.
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5) Em uma urna há 20 bolas, numeradas de 1 a 20. Retira-se 1 bola ao acaso.
Calcule a probabilidade de seu número ser:
a) ímpar;
b) múltiplo de 3;
c) divisível por 2 e 3;
d) múltiplo de 5 e 7.
6) Um grupo de amigos organiza uma loteria cujos bilhetes são formados por 4
algarismos distintos. Qual é a probabilidade de uma pessoa que possui os bilhetes
1387 e 7502 ser premiada, sendo que nenhum bilhete tem como algarismo inicial o
zero?
7) Lançando-se 2 dados, simultaneamente, qual a chance de ocorrerem números
iguais?
8) Jogando-se 2 dados simultaneamente, qual a probabilidade de se obter um
número par na soma das faces?
9) São lançadas 3 moedas simultaneamente. Qual a chance de se obterem 3
caras?
10) Lançamos 2 dados: 1 azul e 1 vermelho. Sabendo que no azul apareceu o
número 3, calcule a probabilidade de obtermos a soma dos números maior ou igual
a 7.
Gabarito
1) ½ 2) a) 1/13 b) 2/13 3) ½ 4) a) 3/71 b) 68/71
5) a) ½ b) 3/10
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c) 28/71 d) 0
c) 3/20 d) 0 6) 1/2268 7) 1/6 8) ½ 9) 1/8 10) 1/2
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3) Eventos complementares
A soma da probabilidade de ocorrer um evento A com a probabilidade de
não ocorrer o evento A é igual a 1, ou seja: p ( A) + p ( A) = 1 ( ou 100%).
Notemos que E Ç E C = f e E È E C = S .
Exemplo: De um pacote de cartões, numerados de 8 a 16, é retirado um deles, ao
acaso. Vamos determinar a probabilidade dos eventos a seguir.
a) O cartão retirado contém um múltiplo de 5.
O espaço amostral é S={8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} e n( S ) = 9 . O evento “o
cartão retirado contém um múltiplo de 5” é E={10,15}. Então, n( E ) = 2 .
Logo: p ( A) =
n( E ) 2
= .
n( S ) 9
b) O carão retirado não contém um múltiplo de 5.
Temos também n( S ) = 9 . O evento “o cartão retirado não contém um múltiplo de 5”
é complementar do evento E, então E ={8, 9, 11, 12, 13, 14, 16}, e, portanto,
n( E ) = 7 .
Logo: p( A) =
7
9
Observe que: p( A) + p( A) =
2 7 9
+ = =1
9 9 9
4) Probabilidade de união de dois eventos
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral S. Vamos encontrar uma
expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a
probabilidade de ocorrência do evento A È B.
Consideremos dois casos:
1º Caso: A Ç B ¹ Æ
A probabilidade de união de 2 eventos A e B é igual à soma das
probabilidades de cada evento, menos a probabilidade de intersecção desses
eventos, ou seja:
p( A È B) = p( A) + p( B) - p( A Ç B)
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Exemplo: Em uma urna existem 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Retira-se uma
bola ao acaso. Determine a probabilidade de seu número ser par ou maior que 4.
Resolução:
S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Þ n( S ) = 10
A= {2, 4, 6, 8, 10} Þ n( A) = 5
B= {5, 6, 7, 8, 9, 10} Þ n( B) = 6
A Ç B = {6, 8, 10} Þ n( A Ç B) = 3
p( A È B) =
5 6 3
8 4
+ - Þ p( A È B) = =
10 10 10
10 5
2º Caso: A Ç B = Æ
(Eventos mutuamente exclusivos)
p( A È B) = p ( A) + p( B)
Exemplo: Em uma urna existem 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Retira-se uma
bola ao acaso. Qual a probabilidade de a bola retirada tem um número primo ou um
número maior que 8?
S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Þ n( S ) = 10
A= {2, 3, 5, 7} Þ n( A) = 4
B= {9, 10} Þ n( B) = 2
A Ç B = Æ Þ n( A Ç B ) = 0
p( A) =
4
2
6 3
+ -0= =
10 10
10 5
Exercícios
1) Em uma urna existem 10 bolas coloridas. As brancas estão numeradas de 1 a 6
e as vermelhas, de 7 a 10. Retirando-se 1, qual é a probabilidade de ela ser branca
ou de seu número ser maior que 7?
2) Retira-se 1 carta ao acaso de um baralho de 52 cartas. Determine a
probabilidade de ela:
a) ser preta ou ser figura;
b) não ser figura ou ser um ás.
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3) Uma caixa contém 1.000 bolas, numeradas de 1 a 1000. qual a probabilidade de
se tirar, ao acaso, uma bola contendo um número par ou um número de 2
algarismos?
4) De um pacote de cartões, numerados de 1 a 26, é retirado um deles ao acaso.
Qual a probabilidade de o cartão retirado apresentar um número ímpar ou um
múltiplo de 3?
5) Numa classe de 32 alunos, a professora sorteia o número de chamada de um
deles. Qual a probabilidade de o número do aluno sorteado ser um número maior
que 19 ou um número ímpar?
6) Numa sala, existem 12 mulheres, sendo 8 com mais de 18 anos, e 20 homens,
sendo 15 com menos de 18 anos. Sorteia-se uma dessas pessoas. Ache a
probabilidade de se sortear:
a) uma mulher ou um homem com mais de 18 anos;
b) uma mulher ou um homem com menos de 18 anos.
7) Em uma caixa foram colocadas oito bolas brancas, numeradas de 1 a 8; sete
bolas pretas, numeradas de 1 a 7 e cinco bolas verdes, numeradas de 1 a 5. Em
seguida retiram-se, aleatoriamente, uma das bolas. Determine a probabilidade de a
bola retirada ter um número ímpar ou ser preta.
8) Se no exercício anterior, as bolas brancas fossem numeradas de 1 a 8; as
pretas, de 9 a 15 e as verdes, de 16 a 20, qual seria a probabilidade de a bola
retirada ter número ímpar ou ser preta?
9) Jogando-se dois dados ao acaso, qual a probabilidade de se obter números que
tenham por soma 4 ou 5?
10) Em uma urna estão 14 bolas amarelas, 4 pretas e 2 brancas, todas iguais em
tamanho. Sorteando-se uma delas, qual a probabilidade de não ser branca?
Gabarito
1) 9/10
2) a) 8/13 b) 10/13 3) 109/200
6) a) 13/32
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b) 19/32
7) 7/10
8) 13/20
4) 17/26
9) 7/36
5) 23/32
10 ) 9/10