Se “a” é um numero real e “n” é inteiro, positivo, diferente de zero e

1
Professor Mauricio Lutz
FUNÇÃO EXPONENCIAL
1 REVISÃO SOBRE POTENCIAÇÃO
a) Expoente inteiro positivo
Se “a” é um numero real e “n” é inteiro, positivo, diferente de zero e
maior que um, a expressão an representa o produto de “n” fatores, todos
iguais a “a”, ou seja:
Na expressão acima, o número real “a” é denominado base e “n” é
denominado expoente.
Exemplos:
(- 4)2 = (- 4)(. - 4) = 16
2 3 = 2 .2 .2 = 8
(- 5)3 = (- 5)(. - 5)(. - 5) = -125
Obs.: É bom lembrar que se a base não traz nenhum expoente evidente, logo o
(
)
expoente da base é o número 1 101 = 10 .
b) Expoente inteiro negativo
Sendo “a” um número real não nulo (a ¹ 0) e “n” um número inteiro e
positivo, define-se:
a -1 =
n
1
æ1ö
a -n = ç ÷ = n
a
èaø
1
a
Exemplos:
1
3 =
3
-1
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æ3ö
ç ÷
è4ø
-1
=
1 4
=
3 3
4
(- 5)-3 =
1
(- 5)
3
=-
1
125
2
Professor Mauricio Lutz
c) Expoente racional fracionário
Sendo “a” um número real positivo (a > 0) e “m” e “n” números inteiros e
positivos, define-se:
m
a n = n am
a
-
m
n
1
=
a
m
n
=
1
n
am
Exemplos:
2
3
10 = 10
3
2
5
-
3
4
=
1
4
53
d) Propriedades gerais
Se “m” e “n” são números reais, valem as seguintes propriedades:
Propriedade
Regra
a m .a n = a m + n
Repete-se a base e somam-se os expoentes.
am
= a m-n
n
a
Repete-se a base e subtraem-se os expoentes.
Obs.: Observe que no caso de termos o expoente zero, ou seja, a 0 = 1 (com
a ¹ 0)
1=
é
um
resultado
decorrente
da
propriedade
anterior,
pois
an
= a n-n = a 0 .
an
(a )
= a m. n
Repete-se a base e multiplicam-se os expoentes.
(a.b )n
= a n .b n
Eleva-se cada fator ao expoente comum.
m n
n
an
æaö
ç ÷ = n (com b ¹ 0) Eleva-se o numerador e o denominador ao expoente
b
èbø
comum.
Exemplos:
10 5 : 10 2 = 10 5 - 2 = 10 3
2
3
1
4
2 :2 = 2
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2 1
3 4
=2
(10 )
(x )
2 5
2 5 .2 4 = 2 5 + 4 = 2 9
5
12
4 -3
2
10 -3.10 -5 = 10 -3+ 5 = 10 2
= 10 10
= x 4.(-3) = x -12 2 4 : 2 -1 = 2 4 - (-1) = 2 4 +1 = 2 5
( )
( )
æ 23 ö
23
çç 4 ÷÷ =
54
è5 ø
2
2
26
= 8
5
4
55
æ5ö
ç ÷ = 4
8
è8ø
3
Professor Mauricio Lutz
Exercícios
1) Coloque em forma de potência de base 3:
a)729
b)
1
81
c)
3
35 27
243
d)
9
2) Indique sob a forma de potência de base 2 o número representado pela
æ1ö
expressão ç ÷
è2ø
-5
2
( )
2
æ1ö
: ç ÷ . 82 .
è 2ø
3) Simplifique a expressão
2 -1 + 2 - 2 + 36
3
4
81 + 16
-
1
4
-
1
2
.
- 1-100
8
4
4) Calcule (3 ) .(3 ) 20 .
-2
4
(3 ) .( 3 )
7 2
(
)(
)(
4
a.b -2 . a -1 .b 2 . a.b -1
5) Qual é o valor da expressão
a -3 .b. a 2 .b -1 . a -1 .b
6) Simplifique a expressão
5) 10 -9
b) 3 -4 c) 3 3 d) 3
6) 82
2
, quando a = 10 -3 e b = 10 -2 ?
2 n + 4 + 2 n + 2 + 2 n -1
.
2 n - 2 + 2 n -1
2
Gabarito: 1) a) 3 6
(
)
)
-
17
5
2) 2 19
3) 11
318
4) 1
3
2 FUNÇÃO EXPONENCIAL
a) Definição
A função
f :Â ® Â
dada
por
f ( X ) = a X (com
a ¹1e a > 0 )
é
denominada função exponencial de base “a” e definida para todo X real.
Assim, são funções exponenciais:
f (X ) = 2
X
æ1ö
f (X ) = ç ÷
è3ø
X
Obs.: A exigência de que a base a seja positiva, para que se possa definir a função
f ( X ) = a X em  , é a seguinte:
- Suponha a = -2 e x =
1
.
2
- Daí teríamos: f ( X ) = a X = (- 2 ) 2 = - 2 , que não é número real.
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4
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b) Gráfico no plano cartesiano
· f (X ) = a X é
crescente
quando · f ( X ) = a X é
a > 1;
decrescente
quando
0 < a <1;
Y
Y
1
1
x
x
3 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Chama-se equações exponenciais todas e quaisquer igualdades que
envolvam funções exponenciais.
Assim, são equações exponenciais, por exemplo:
a ) 2 X = 16
b) 3 X +1 + 3 X - 2 = 9
c)10.2 2 X - 5.2 2 X - 1 = 0
Existem dois tipos basicamente de equações:
1º tipo – Igualdade de potências de mesma base
- Igualar as bases;
- Cortar as bases;
- Trabalhar com os expoentes.
Exemplos:
a) 4 X - 3 = 128
2 2 ( X -3 ) = 2 7 Þ 2 X - 6 = 7 Þ 2 X = 13 Þ X =
13
ì13 ü
ÞV =í ý
2
î2þ
b) 27 X - 2 = 9 X + 4
3 3( X - 2 ) = 3 2 ( X + 4 ) Þ 3 X - 6 = 2 X + 8 Þ X = 14 Þ V = {14}
c) 25 X +1 = 4 125
5
2 ( X +1)
=5
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æ1ö
3ç ÷
è4ø
Þ 2X + 2 =
3
5
ì 5ü
Þ 4(2 X + 2 ) = 3 Þ 8 X + 8 = 3 Þ X = - Þ V = í- ý
4
8
î 8þ
5
Professor Mauricio Lutz
Exercícios
Resolva as seguintes equações exponenciais:
1
125
d) 3 X
g) 729 2 X = 27
æ 1 ö
h) ç
÷ = 25
è 125 ø
b) 5 X =
e) 4 = 512
æ1ö
f) ç ÷
è2ø
i) 3 X = 5 27
j) 25 2 X = 5
k)
( 3)
n) 8 X = 0,25
o)
( 2)
X
m)
X +1
2 X -1 = 2
Gabarito:
f) V={–1,1}
l) V={–1/2}
a) V={7}
g) V={1/4}
m) V=Æ
-5
c) 2 X - 2 = 8
a) 2 X = 128
X 2 -3
2
= 81
X
=4
4
6
X
X
=3 9
l)
= 0,5
p)
b) V={–3}
c) V={5}
h) V={–2/3} i) V={3/5}
n) V={-2/3} o) V={-6}
X
3=
( 2)
1
9
3 X -1
=
( 16 )
3
2 X -1
d) V={–3,+3} e) V={9/2}
j) V={1/8}
k) V={8/3}
p) V={5/7}
2º tipo – Equações que exigem transformações e artifícios
As transformações e artifícios que usaremos será a resolução de
equações por substituição.
Exemplos:
a) 5 2 X - 6.5 X + 5 = 0
5 2 X = y 2 e 5 X = y logo
y 2 - 6. y + 5 = 0 Þ y1 = 1 e y 2 = 5
5 X = 1 Þ 5 X = 50 Þ X = 0
5 X = 5 Þ 5 X = 51 Þ X = 1
V = {0,1}
b) 3 X +1 + 3 X - 3 X -1 = 11
3 X .31 + 3 X - 3 X .3 -1 = 11
3 X = y logo
3. y + y -
9 y + 3 y - y 33
1
y = 11 Þ
=
Þ 11y = 33 Þ y = 3
3
3
3
3 X = 31 Þ X = 1
V = {1}
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c) 2 X + 2 - 2 X -1 = 56
2 X .2 2 - 2 X .2 -1 = 56
2 X = y logo
4. y -
8y - y
1
y = 56 Þ
= 56 Þ 7 y = 112 Þ y = 16
2
2
2 X = 24 Þ X = 4
V = {4}
Exercícios
1) Resolva as seguintes equações exponenciais
( )
a) 5 X + 125.5 - x = 30
( )
e) 16
X
X +1
b) 3 X
æ1ö
f) ç ÷
è4ø
1
=
2
X -4
=
1
27
( )
c) 5 X
X -2
X
= 25 X
d) 8 X - 2 = 4 2
X -1
= 16 X + 2
i) 2 2 X - 9.2 X + 8 = 0 j) 5 X -1 + 5 X - 2 = 30
2) Dê o conjunto solução da equação
g) 3.2 X +3 = 192
h) 9 X + 3 = 4.3 X
l) 102 X - 10 X = 0
m) 2 X
( )
X
= 16
16 X + 64
= 4 X +1 .
5
3) Determine o conjunto solução da equação 3 X +1 + 3 X - 2 - 3 X -3 + 3 X - 4 = 750 .
(
)
4) Sabendo que 3 X - 3 2- X = 8 , calcule o valor de 15 - X 2 .
5) Seja A=X+Y em que X e Y são, respectivamente, as soluções das equações
exponenciais 2
X
= 128 e 9.3 y+1 - 3 y = 78 . Calcule o valor de A.
6) Calcule o valor real de X para que se tenha 510 X - 10.5 5 X - 5 = -30 .
Gabarito: 1. a) V={1,2} b) V={1,3} c) V={0,4} d) V={3}
e) V={–1/2}
V={–1}
g) V={3}
h) V={0,1} i) V={0,3}
j) V={3} l) V={0} m) V={–2,2}
2. V={1,2} 3. V={5}
4. 11 5. A=50
6. V={1/5}
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f)