x - iffmauricio

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Professor Mauricio Lutz
FUNÇÃO DE 1º GRAU
Definição
Uma função f : Â ® Â é função do 1º grau ou função afim se, a cada
x Î ℝ, associa o elemento (ax + b) Î Â, com a ¹ 0.
f :  ®Â
x ® y = ax + b
Exemplo: f(x) = 2x + 1, onde temos a = 2 e b = 1
Þ Gráfico cartesiano Ü
Para construir o gráfico cartesiano, atribuímos valores a x e calculamos y.
Nos exemplos acima, temos:
a) a = 2 (coeficiente angular) e b = 1 (coeficiente linear)
Obs: Se a > 0 f é crescente
b) a = –
1
(coeficiente angular) e b = 2 (coeficiente linear)
3
Obs: Se a < 0, a função é decrescente.
Raiz ou zero da função do 1º grau
Raiz da função f(x) = ax + b é o valor de x que anula a função, isto é,
f(x) = 0.
Algebricamente, basta resolver a equação ax + b = 0.
Geometricamente, é a abscissa do ponto de intersecção do gráfico da
função com o eixo x.
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Exemplo: Dada a função f(x) = 2x – 5 determine o zero da função.
Resolução:
Algebricamente
Graficamente
2x – 5 = 0
2x = 5
x=
5
2
Estudo do sinal
Estudar o sinal de uma função f(x) significa determinar para que valores
de x Î ao domínio da função a imagem f(x) será positiva, negativa ou nula, ou seja
f(x) > 0, f(x) < 0 ou f(x) = 0.
Exemplos: Estude o sinal das funções:
a) f(x) = 2x – 5
b) f(x) = -2x – 4
Inequações do 1º grau
Inequações do 1º grau na variável x é toda desigualdade que pode ser
escrita em uma das formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ³ 0; ax + b £ 0
Exemplos: 1. Resolva as inequações:
a) 3x – 15 £ 0
Resolução:
3x – 15 £ 0 Þ 3x £ 15 Þ x £ 5
Na reta real, podemos representar esta resposta de seguinte maneira:
S = {x Î Â | x £ 5}
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b) 4x – 1 + 2(1 – 3x) £ 0
Resolução:
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
4x – 1 + 2(1 – 3x) £ 0 Þ 4x – 1 + 2 – 6x £ 0
–2x + 1 £ 0 Þ –2x . (-1) £ –1 . (–1) Þ 2x ³ 1 Þ x ³ ½
Na reta real, podemos representar esta resposta de seguinte maneira:
S = {x Î Â | x ³ ½}
Inequação produto e quociente
Sejam f(x) e g(x) funções na variável x.
Podemos formar as seguintes inequações produto:
f(x) . g(x) > 0;
f(x) . g(x) ³ 0;
f(x) . g(x) < 0;
f(x) . g(x) £ 0
Podemos formar as seguintes inequações quociente:
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
> 0,
³ 0,
< 0,
£0
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
Para resolvê-las, estudamos a variação dos sinais de f(x) e g(x)
separadamente. O sinal f(x) . g(x) ou f(x) / g(x) é obtido através de um quadro
resumo.
Exemplos: Resolva as inequações:
a) (x – 4) (x + 2) > 0
Resolução:
Vamos estudar os sinais das funções:
f(x) = x – 4
x–4=0
x=4
Quadro de sinais:
S = {x Î Â | x < –2 ou x > 4}
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g(x) = x + 2
x+2=0
x = –2
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2x + 1
>1
x-2
b)
Resolução:
Para resolver esta inequação, vamos fazer uma pequena transformação:
2 x + 1 - ( x - 2)
2x + 1
2x + 1
x+3
>1Þ
-1> 0 Þ
>0Þ
>0
x-2
x-2
( x - 2)
x-2
Vamos então, resolver a inequação
x+3
> 0 , com x ¹ 2.
x-2
f(x) = x + 3
g(x) = x -2
X + 3 = 0 Þ x = -3
x – 2 = 0 Þ x =2
Quadro de sinais:
S = {x Î Â | x < –3 ou x > 2}
Exercícios
1) Dada a função do 1º grau f(x) = 4x – 1, determine:
1
a) f ( )
8
b) f(–1)
c) x, tal que f(x) = 1
2) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que:
a) f(1) = 5 e f(–3) = –7
b) f(–1) = 7 e f(2) = 1
3) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (–2, 1) e cujo coeficiente
angular é – 4.
4) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto (–3, –1) e cujo coeficiente
linear é 8.
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5) Resolva as inequações:
a) 2 x - 1 ³ 9
d)
b) 2 x - 6 > x + 5
x + 1 1 - 3x 1 - x
£
+
4
5
10
e) x -
c) 5 - 3x < x + 1
x - 3 5x + 7 5
>
2
10
4
6) Resolva, em Â, as inequações:
a) (- 3x + 3)(5 x - 3) < 0
b) 5 x - 2( x + 2) ³ 1 - (3 - 4 x ) c) (2 x + 1)(- x + 2 ) ³ 0
d) ( x + 2)(- x - 2) £ 0
e) ( x - 1)( x - 2 )( x + 4 ) > 0
g) -
2x + 1
£0
x-2
h)
3x - 1
£2
x +1
i)
2x + 3
>2
x+2
f)
x-2
>0
x+3
j)
(x - 1)(x + 3) > 0
x-5
Gabarito
1. a) –½ b) –5 c) ½
2. a) f(x)= 3x + 2 b) y= –2x + 5
3. y = –4x – 7
4. y = 3x + 8
5. a) S = [5,+¥[
b) S = ]11,+¥[
c) S =]1,+¥[
1ù
ù
d) S = ú - ¥, ú
19 û
û
e) S = Â
3é
ù
é 1 ù
6. a) S = ú - ¥, ê È ]1,+¥[
b) S = ]- ¥,-2]
c) S = ê- ,2ú
5ë
û
ë 2 û
d) S = Â
e) S = ]- 4,1[ È ]2,+¥[
f) S = ]- ¥,-3[ È ]2,+¥[
1ù
ù
g) S = ú - ¥, ú È ]2,+¥[
h) S = ]- 1,3]
i) S = ]- ¥,-2[
2û
û
j) S = ]- 3,1[ È ]5,+¥[
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