Lei de Gauss - Alessandro Santos

Segunda Lista - Lei de Gauss
FGE211 - Fı́sica III
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Sumário
• O fluxo elétrico que atravessa uma superfı́cie infinitesimal caracteri~ = An̂ é
zada por um vetor de área A
~ ·A
~ = EA cos θ,
Φe = E
~ e n̂.
onde θ é o ângulo entre E
• Em geral, o fluxo elétrico através de uma superfı́cie é
Z
Φe =
~ · dA.
~
E
S
• A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico através de uma superfı́cie
fechada, qualquer, é proporcional apenas a carga interna a essa superfı́cie:
I
~ · dA
~ = Qint .
E
Φe =
0
S
Apesar de valer para qualquer superfı́cie fechada, a lei de Gauss é útil
apenas em problemas que contenham simetria planar, cilı́ndrica ou
esférica.
• A componente normal do campo elétrico possui uma descontinuidade
∆E = σ/0 quando passa por uma superfı́cie com densidade superficial
de carga σ.
• As propriedades básicas dos condutores são:
1. O campo elétrico dentro de um condutor é zero.
2. Qualquer carga em excesso dentro de um condutor deve permanecer na superfı́cie.
3. Na superfı́cie de um condutor o campo elétrico tangencial é nulo.
4. Nas proximidades do condutor, o campo elétrico é normal a sua
superfı́cie.
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Estratégia para resolução de problemas: utilização da lei de Gauss
A lei de Gauss é uma ferramenta poderosa para calcular o campo elétrico
em situações que possuem um certo grau de simetria, ou seja, sistemas
com simetria planar, cilı́ndrica ou esférica. Na tabela 1 está descrito que
superfı́cie de Gauss deve se usar para resolver cada problema.
Simetria
Cilı́ndrica
Planar
Esférica
Sistema
Fio infinito
Plano infinito
Esfera, casca esférica
Superfı́cie de Gauss
Cilindro coaxial
Paralelepı́pedo
Esfera concêntrica
Tabela 1: Superficies de Gauss necessárias em diferentes problemas.
Os passos seguintes podem ser úteis ao aplicar a lei de Gauss:
1. Identifique a simetria associada a distribuição de carga.
2. Determine a direção do campo elétrico e a superfı́cie de Gauss na qual
a magnitude do campo elétrico é constante nas suas diferentes regiões.
3. Divida o espaço em diferentes regiões associadas a diferentes distribuições de carga. Para cada região calcule a carga interna a superfı́cie
de Gauss, Qint .
4. Calcule o fluxo elétrico Φe através da superfı́cie de Gauss de cada
região.
5. Iguale Φe com
3
Qint/0
e deduza a expressão para o campo elétrico.
Questões conceituais
1. Se o campo elétrico em uma região do espaço é nulo, isso implica que
não há carga elétrica nessa região?
2. Considere o campo elétrico devido a um plano infinito não-condutor
com densidade uniforme de carga. Porque o campo elétrico não depende da distância ao plano?
3. Se colocarmos uma carga pontual dentro de um cano condutor, como
é o campo elétrico fora do cano?
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Problemas
4.1
Cálculo de fluxos
~ · dA
~ em
Nesta seção, os problemas tem como objetivo avaliar a integral E
situações onde não há simetria. Ou seja, onde a integral de fato tem que ser
calculada. Caso precise, refira a tabela 1 da primeira lista para saber como
escrever os elementos de área em diferentes sistemas de coordenada.
R
4.1.1
Fluxo sobre uma superfı́cie lisa
Considere uma superfı́cie circular de raio R paralela ao plano xz e submetida
a uma região do espaço onde há um campo elétrico constante E = E0 ĵ.
(a) Calcule o fluxo elétrico através dessa superfı́cie.
(b) Suponha agora que a superfı́cie comece a girar sobre o seu eixo com
velocidade angular ω. Calcule o fluxo elétrico em função do tempo.
(c) Grafique o seu resultado.
4.1.2
Fluxo elétrico através de uma superfı́cie quadrada
(a) Calcule o fluxo elétrico de uma carga pontual Q através de uma superfı́cie quadrada de lado 2l localizada no plano x-z a uma distância l
da origem como mostra a figura 1. Caso necessário, use que
Z
dx
1
√
= √
tan−1
2
2
2
2
2
(x + a ) x + b
a b − a2
s
(b2 − a2 )x
√
a2 x2 + b2
Figura 1: Fluxo através de uma superfı́cie quadrada.
(b) Usando o resultado do item anterior, calcule o fluxo elétrico devido a
carga Q através de um cubo como o da figura 2.
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Figura 2: Fluxo através de um cubo.
4.2
Princı́pios gerais da lei de Gauss
Esta seção tem como objetivo investigar propriedades gerais da lei de Gauss.
4.2.1
Informações sobre o sistema
(a) Quais informações, além da referente à carga no interior de uma superfı́cie fechada, são necessárias para calcular o campo elétrico usando
a lei de Gauss?
(b) O campo elétrico da expressão da lei de Gauss é o campo elétrico
apenas das cargas que estão dentro da superfı́cie de Gauss ou é o
campo elétrico de todas as cargas presentes numa distribuição?
4.2.2
Fluxo elétrico
Considere uma região do espaço imersa em um campo elétrico que vale
E = 300N/Cî para x > 0 e E = −300N/Cî para x < 0. Um cilindro com
20cm de comprimento e 4cm de raio é posto com seu eixo sobre o eixo dos
x centrado na origem do sistema de coordenadas. Ou seja, disposto entre
x = −10cm e x = 10cm.
(a) Qual o fluxo do campo através das bases do cilindro?
(b) Qual o fluxo do campo através da superfı́cie lateral do cilindro?
(c) Qual o fluxo lı́quido, para fora, através do cilindro?
(d) Qual a carga no interior do cilindro?
4.2.3
Lei de Gauss para a gravitação
(a) Como a lei de Newton para a gravitação tem a mesma dependência
com o inverso do quadrado da distância que a lei de Coulomb, deve
haver uma expressão análoga a lei de Gauss para a força gravitacional. Usando apenas argumentos de simetria entre as expressões das
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duas forças, deduza que o fluxo gravitacional através de uma superfı́cie
fechada é
Φg = −4πGmint ,
onde mint é a massa interna a superfı́cie.
(b) A partir deste resultado, mostre que o campo gravitacional devido a
uma massa puntiforme m pode ser escrito como
g=−
Gm
r̂
r2
(c) Refaça os itens (a) e (b) de trás para frente. Ou seja, assuma que
r̂ e
o campo gravitacional devido a uma massa pontual é g = − Gm
r2
calcule o fluxo gravitacional através de uma casca esférica de raio r.
4.2.4
Campo elétrico constante
Considere uma região do espaço com campo elétrico uniforme E. Mostre
que não há carga elétrica nessa região.
4.3
Distribuições esféricas de carga
O objetivo das próximas três seções é calcular o campo elétrico de diferentes
distribuições de carga utilizando a lei de Gauss. Refira a seção 2 para dicas
de como proceder com os cálculos.
4.3.1
Campo elétrico de uma casca esférica
Considere uma casca esférica de raio a carregada uniformemente com uma
carga Q. Calcule o campo elétrico em todo o espaço. Grafique o seu resultado.
4.3.2
Campo elétrico de uma esfera maciça
(a) Considere uma esfera condutora de raio a e carregada com uma densidade de carga Q. Calcule o campo elétrico em todo o espaço. Grafique
o seu resultado.
(b) Considere agora o caso em que a esfera é isolante e a carga Q está
distribuı́da uniformemente. Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
Grafique o seu resultado.
(c) Explique porque o campo elétrico dentro da esfera isolante (item (b))
cresce com a distância ao invés de cair com o inverso do seu quadrado.
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4.3.3
Campo elétrico de uma esfera com densidade não constante.
Considere uma esfera maciça e isolante de raio a. Para as densidades volumétricas ρ abaixo, calcule a carga total da esfera e o campo elétrico em
todo o espaço. Lembre-se que o campo fora de uma esfera tem a mesma
forma da lei de Coulomb para uma carga pontual.
(a) ρ = αr
(b) ρ = β/r
(c) ρ = γ/r2
4.3.4
Cascas esféricas
Considere uma casca esférica de raio interno a e raio externo b.
(a) Suponha que a casca está uniformemente carregada com densidade
constante ρ. Avalie o campo elétrico para r < a, a < r < b e r > b.
(b) Verifique o limite e a → 0 e compare com os problemas 4.3.1 e 4.3.2(b).
(c) Considere agora o caso onde ρ(r) = β/r. Avalie o campo elétrico em
todo o espaço.
(d) Finalmente, para a mesma distribuição do item (c), considere que
no centro da casca esférico é posta uma carga pontual q. Usando
o princı́pio da superposição, calcule o campo em todo o espaço.
4.3.5
Esfera com cavidade
Considere uma esfera isolante de raio 2R carregada com uma densidade
volumétrica de carga ρ. Uma cavidade esférica de raio R é feita na esfera
como mostra a figura 3. Calcule o campo elétrico em um ponto sobre o eixo
Oy, dentro da cavidade. Sugestão: use o princı́pio da superposição.
4.4
4.4.1
Distribuições planas de carga
Plano infinito
(a) Considere um plano infinito carregado com densidade superficial de
carga σ constante. Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
(b) Vimos em sala de aula que um disco circular de raio R produz, a uma
distância z do seu eixo de simetria, um campo elétrico
σ
z
E=
1− √
k̂
2
20
z + R2
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Figura 3: Esfera carregada com uma cavidade esférica.
Estime o valor de z/R para que a razão entre o campo do disco e o
campo de um plano infinito seja de 1%.
4.4.2
Dois planos infinitos paralelos
Considere dois planos infinitos, não-condutores, paralelos e localizados no
plano x-y separados por uma distância d. Cada plano está carregado com
uma densidade de carga σ igual mas de sinais opostos como mostra a figura 4.
Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
Figura 4: Dois planos não-condutores infinitos.
4.4.3
Dentro de um plano infinito
Considere um pedaço de plástico, plano e infinito, que tem uma espessura
d e é simetricamente colocado sobre o plano yz com d/2 de espessura em
x > 0 e d/2 de espessura em x < 0. O plano é carregado com densidade
constante de carga ρ.
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(a) Calcule o campo elétrico a uma distância x do plano quando |x| < d/2.
(b) Calcule o campo elétrico a uma distância x do plano quando |x| > d/2.
Sugestão: coloque uma parte da sua superfı́cie de Gauss onde o campo
elétrico é nulo.
4.5
4.5.1
Distribuições cilı́ndricas de carga
Fio infinito
Considere um fio infinito carregado com uma densidade linear de carga λ
constante. Calcule o campo elétrico em todo o espaço. Compare com os
resultados obtidos utilizando a lei de Coulomb (obtidos em sala de aula).
Grafique o resultado.
4.5.2
Casca cilı́ndrica
Considere uma casca cilı́ndrica infinitamente longa carregada com uma densidade superficial de carga σ. Avalie a o campo elétrico em todo o espaço e
grafique o seu resultado.
4.5.3
Cilindro maciço
(a) Considere um cilindro maciço, infinito, isolante, de raio b e carregado
com uma densidade volumétrica de carga ρ. Calcule o campo elétrico
em todo o espaço.
(b) Considere agora que, ao invés de maciço, o cilindro tenha raio interno
a e raio externo b mas com a mesma densidade, ρ. Calcule o campo
elétrico em todo o espaço.
(c) Analise o limite a → 0.
(d) Considere agora que um fio infinito de densidade linear de carga λ é
posto concentricamente a a casca cilı́ndrica. Estime o campo elétrico
em todo o espaço.
4.5.4
Cilindro com cavidade não simetrica
Um cilindro maciço, infinito e de raio 2R é carregado com uma densidade
volumétrica de carga ρ constante. Uma cavidade cilı́ndrica de raio R é feita
nele de tal forma que a vista lateral se assemelha a figura 31 . Calcule o
campo elétrico dentro da cavidade cilı́ndrica sobre o eixo Oy.
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Cuidado! Esta figura pode ser usada tanto para a esfera com cavidade quanto para o
cilindro.
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