Gabarito da Lista 8 de exercicios Microeconomia 2

Gabarito da Lista 8 de exercícios - Microeconomia 2
Professora: Joisa Dutra
Monitor: Rafaela Nogueira
1. No duopólio de Cournot, cada …rma escolhe a quantidade que maximiza
o seu lucro dada a quantidade da outra …rma (sendo que a escolha é
simultânea). O problema de maximização de lucro da …rma 1 é:
max pq1
cq1 = max(a
q1
(q1 + q2 )
q1 = 0
q1
q1
q2 )
cq1
CPO:
a
q1 =
a
c
c
2
q2
A …rma 2 resolve um problema semelhante e tem como CPO:
q2 =
a
c
2
q1
No equilíbrio de Nash, substituindo q2 , temos
q1 =
a
c
2
) q1 =
a
1
2
a
c
a
2
c
2
c
4
q1
+
q1
4
Logo,
q1 =
a
c
= q2 pois as …rmas são idênticas.
3
2. (a) Verdadeiro. Suponha um duopólio em que a demanda de mercado
é dada por p(q) = a q, com q = q1 + q2 , e seja c < a o custo
marginal de ambas as …rmas (são idênticas, portanto). Como vimos
na questão anterior, a quantidade de equilíbrio de Cournot-Nash é
q1 = q2 = (a c)=3. Em um cartel, as duas …rmas maximizam
o lucro total como se fossem uma única …rma monopolista e então
dividem o lucro. O problema delas é:
max pq
cq = max(a
q
q)q
q
CPO
a
2q
c=0)q=
Logo,
q1 = q2 =
1
a
c
4
a
cq
c
2
Note que em equilíbrio de Cournot cada …rma tem um lucro de
2
2
= (a 9c) : No cartel, o lucro é c = (a 8c) :
Assim, vemos que, para cada …rma, o lucro com o cartel é maior do
que o lucro do equilíbrio de Cournot, sendo, portanto, melhor para
ambas as …rmas. No entanto, o equilíbrio de cartel pode ser implementado somente se ambas as …rmas se comprometerem a produzir
metade da quantidade de monopólio. Agora, veja como …cam os lucros das …rmas se uma honra o compromisso e a outra não. Seja i
a …rma que desvia do compromisso e j a que honra o compromisso
(logo, qj = (a 4 c) ). Abaixo está o problema de maximização da …rma
i.
max
qi
pqi
cqi = max(a
qi
qi
qj )qi
cqi
Substituindo qj ;
3(a
max
c)
4
qi
qi qi
Da CPO obtemos:
qi =
3(a
c)
8
Dessa forma, o preço é P = a
…rma é dado por
i
=
qi
qj =
c)2
9(a
64
j
=
(3a+5c)
8
e o lucro de cada
c)2
3(a
32
Logo, i > c >
> j . Ou seja, se uma …rma se compromete
à produção do cartel e a outra desvia, esta última obtém um lucro
maior do que obteria se tivesse honrado com o seu compromisso no
cartel. Logo, o equilíbrio de cartel não pode ser um equilíbrio de
Nash nesse jogo em que a decisão de produção só se dá uma vez, já
que há incentivo a desvio.
(b) Verdadeiro. Em jogos em que as …rmas tomam as suas decisões de
produção apenas uma única vez, o equilíbrio de cartel não tem como
se sustentar, como vimos no item anterior. Se o mesmo jogo (de decisão da quantidade produzida) é repetido um número …nito de vezes,
ainda assim tal equilíbrio não se sustenta. Para ver isso, suponha que
o jogo se repita por T períodos. Assim, uma …rma i pode respeitar o
acordo do cartel até o período T 1 e no período T desviar e obter
um lucro maior. Mas sabendo disso, a …rma j irá desviar em T 1
e assim por diante. Dessa forma, o equilíbrio de cartel não é estável
em horizonte …nito. Somente em horizonte in…nito (em que o acordo
não tenha um …m de…nido) com uma estratégia que puna a …rma
que desviar do cartel (por exemplo, produzindo sempre a quantidade
de equilíbrio de Cournot dali em diante) que esse equilíbrio de cartel
pode se sustentar.
2
(c) Falso. Caso as …rmas possuam cutos marginais diferentes e produzam
bens homogêneos, a …rma de custo mais baixo expulsa a outra …rma
cobrando o custo marginal da …rma de custo alto menos um epsilon
arbitrariamente pequeno. Assim, …ca com todo o mercado (a outra
…rma não pode diminuir seu preço, pois teria prejuízo; com um preço
mais alto por um bem que tem substituto perfeito, vende zero), cobrando o preço mais alto possível tal que a outra …rma não entre no
mercado.
3. (a)
Q = 24; P = 29;
= 576
(b) As …rmas são idênticas logo o problema da …rma i é:
max
pqi
qi
max(53
qi
5qi
qi
qj )qi
5qi
CPO:
53 2qi qj 5 = 0
Logo, a curva de reação da …rma i é
53 5 qj
qi =
2
(c)
qi = q2 = 16;
P = 21;
1
=
= 256;
2
=
1
+
2
= 512
(d) É o mesmo que comparar com o resultado de monopólio da letra (a),
pois em cartel as …rmas decidem a produção conjuntamente, como
em um monopólio. Logo, no cartel o lucro agregado e por …rma é
maior, o preço maior e a quantidade produzida menor do que em
Cournot.
P
(e) Seja Q j = i6=j qi . Curva de Reação da j-ésima …rma:
max (53
qj
CPO: 53
2qj
qj
Q
Q
j
5qj
5=0
Q j
2
Como o jogo é simétrico a quantidade é igual para todas as …rmas,
logo
48 (N 1)qj
qj =
2
48
Logo, qj =
N +1
) qj =
3
48
j ) qj
N
N +1
N
P = 53 48
N +1
Veja que se N ! 1 ) P = 5 (preço de concorrência perfeita).
Assim, Q = 48
j
= 482
i
N
N +1
= (pi
N
N +1
1
c)qi (pi ; pj );
Se N ! 1;
j
=0
4. No duopólio de Bertrand, cada …rma escolhe o preço que maximiza o
seu lucro dado o preço da outra …rma. O lucro da …rma i é dado por
(pi c)qi (pi ; pj ) em que qi (pi ; pj ) é a demanda da …rma i dados o seu
preço e o preço da …rma j. Ela está representada abaixo.
8
>
<a pi se pj > pi
qi (pi ; pj ) = a 2pi
se pi = pj
>
:
0
se pi > pj
Isso quer dizer que a …rma i …ca com toda a demanda do mercado se
cobrar um preço menor que a …rma j, divide a demanda com a …rma
j se cobrar o mesmo preço que ela e …ca com demanda zero se cobrar
um preço maior que a …rma j (isso tudo é porque as …rmas são idênticas
e produzem um bem homogêneo). Repare que se pi < c, a …rma terá
prejuízo. Logo, devemos ter pi > c. Agora, se pi > c, a …rma j pode cobrar
um preço in…nitesimalmente menor do que pi e roubar todo o mercado
(pj = pi " > c, com " ! 0). A …rma i, ciente disso, vai querer cobrar
um preço in…nitesimalmente menor do que pj e assim por diante. Logo, o
único preço em que não vai haver incentivo a desvio é pi = pj = c (pois
se uma …rma cobrar mais perde todo o mercado para a outra e se cobrar
menos tem prejuízo, o que não pode ocorrer, já que a …rma é maximizadora
de lucro). Logo, o equilíbrio de Nash desse jogo de Bertrand é pi = pj = c
(o equilíbrio competitivo).
5. Modelo de Bertrand signi…ca concorrência em preço. Logo, as variáveis
de escolha são pi e pj: Problema da …rma i:
max (a
qi
pi + bpj )(pi
c)
a + c + bpj
2
i
Resolvendo problema análogo para …rma j, encontro pj = a+c+bp
. Re2
solvendo o sistema de duas equações, obtenho:
CPO: a
2pi + bpj + c = 0 ) pi =
pi = pj =
4
(a + c)
:
2 b
Já com produtos homogêneos, a função demanda é descontínua: os bens
são substitutos perfeitos. Se pi > pj , a demanda da …rma i é zero. Em
equilíbrio, pi = pj = c.
P
6. (a) Seja Q i = j6=i qj . O problema da …rma é:
max (a
bqi
CPO: a
2bqi
bQ
a
bQ
2b
qi
) qi =
Logo,
bQ i ) qi
@qi
=
@ci
ci qi
i
ci = 0
i
c
1
< 0 (b > 0):
2b
(b) Somando e subtraindo q2i do lado direito da equação da curva de
reação derivada em (a), temos
qi =
a
ci
) qi =
si =
si =
a
p ci
p .
a
ci
Q
b
qi
: Substituindo qi ,
Q
ci
bQ
1=
Logo,
(c) Seja Li =
Q qi
+
2
2
2b
a
bQ
bQ
@si
=
@ci
c
=
p
ci
bQ
1
< 0:
bQ
Multiplicando e dividindo por bQ temos
Li =
Temos que "D =
@Q p
@p Q
=
p ci
bQ
p
bQ
=
p
bQ
1 p
bQ
Logo, Li =
@Li
=
@ci
si
si
"D
1 @si
1
=
< 0 pois "D < 0:
"D @ci
bQ"D
5