lGabarito da Lista 5 de Microeconomia I Professor

lGabarito da Lista 5 de Microeconomia I
Professor: Carlos E.E.L. da Costa
Monitor: Bruno Lund
Exercício 1 Seja Y um conjunto de possibilidades de produção. Dizemos que uma tecnologia é aditiva
quando y; y 0 2 Y ) y + y 0 2 Y . Uma tecnologia é dita divisível se y 2 Y ) ty 2 Y; 8t 2 [0; 1]. Mostre que
se uma tecnologia é aditiva e divisível, então Y é convexo e apresenta retornos constantes de escala.
R: Convexidade: Sejam y; y 0 2 Y: Da divisibilidade, temos que y; (1
Portanto, pela aditividade temos que y + (1
) y 0 2 Y para todo
) y 0 2 Y para todo 2 [0; 1] :
2 [0; 1]. Logo, Y é convexo.
Retornos Constantes de Escala: Tome y 2 Y , 2 <+ . Pela propriedade Arquimediana, existe n natural
tal que n 1
< n. Segue que = (n 1) + [
(n 1)], onde 0
(n 1) < 1. Aplicando
o princípio da indução …nita na propriedade de aditividade, temos que (n 1) y 2 Y . Além disso, por
divisibilidade, segue que [
(n 1)] y 2 Y . Então, por aditividade, obtemos y 2 Y .
Exercício 2 Uma função de produção dita homotética se f (x) = f (x0 ) implica em f (tx) = f (tx0 ), para todo
t 0.
1. (a) Mostre que se f é uma transformação monotônica de uma função homogênea de grau 1 (ie.,
f = g h, onde h é homogênea de grau 1 e g é uma função monotônica), então f é homotética.
(b) Mostre que se f é homotética, então a taxa marginal de substituição técnica em x é igual à taxa
marginal de substituição técnica em tx.
R: a) Seja f = g h e suponha g (h (x)) = g (h (x0 )). Como g é monotônica, temos que h (x) = h (x0 ) :
Mas como h é homogênea de grau 1, segue que th (x) = h (tx) e th (x0 ) = h (tx0 ), para todo
t 2 <+ . Portanto, h (tx) = h (tx0 ) e, da monotonicidade de g, temos g (h (tx)) = g (h (tx0 )).
b) É possível mostrar que se f é homotética, então f = g h onde h é homogênea de grau
1 e g é monotônica (De fato, Varian (p.482) de…ne homoteticidade desta forma). Como h é
homogênea de grau 1, h0 é homogênea de grau 0. Logo, h0 (x) = h0 (tx) 8t 2 <+ . Segue que
@f (x)
@h
0
@xi = g (h (x)) @xi (x).
T M ST (x)
T M ST (x)
=
@f =@xi
=
@f =@xj
=
@h
@xi
@h
@xj
@h
(x)
g 0 (h (x)) @x
i
@h
(x)
g 0 (h (x)) @xj
(tx) g 0 (h (tx))
(tx) g 0 (h (tx))
=
@h
@xi
@h
@xj
(x)
(x)
=
@h
@xi
@h
@xj
(tx)
(tx)
= T M ST (tx)
Exercício 3 Mostre que a função de produção f é homogênea de grau 1 se, e só se, Y apresenta retornos
constantes de escala.
R: ((=) Suponha que Y apresenta retornos constantes de escala e considere ( x; f (x)) 2 Y . Então
( x; f (x)) = ( x; f (x)) 2 Y . Logo, temos que f ( x)
f (x). Substituindo x = x0 e
1
0
0 0
0
0
1
= , obtemos f ( x ) = f (x)
f (x ) =
f ( x). Portanto, f ( x)
f (x). Combinando
as desigualdades obtidas, segue que f ( x) = f (x).
(=)) Suponha que f é homogênea de grau 1 e tome ( x; y) 2 Y;
) y
f (x). Portanto, como f é homogênea de grau 1, temos que
( x; f ( x)) 2 Y ) ( x; y) 2 Y .
0. Segue que, y
f (x)
y
f (x) = f ( x) =)
Exercício 4 Mostre que se uma tecnologia apresenta retornos crescentes de escala e existe algum ponto onde
o lucro é estritamente positivo, então o problema de maximização do lucro não possui solução.
R: Suponha que y 2 Y tal que py > 0 resolve o problema de maximização do lucro (PML). Então, como
Y apresenta retornos crescentes de escala, segue que y 2 Y;
> 1. Logo, p ( y) > py; y 2 Y;
contradizendo a hipótese de que y resolve o PML.
1
Exercício 5 Calcule as funções oferta e lucro para as funções de produção abaixo (x
0):
1. (a) f (x) = x
(b) f (x) = 20x
(c) f (x) =
x2
x1 x12
(d) f (x) = minf x1 ; x2 g
R: (a) O problema de maximização de lucro é dado por:
max px
wx
x 0
Calculando a condição necessária de primeira ordem do problema, obtemos:
1
px
=w
A condição su…ciente de segunda ordem para máximo é garantida se 0
1.
Logo, a demanda pelo fator é:
x (p; w) =
1
p
w
1
Segue que as funções oferta e lucro são dadas por:
y (p; w) =
(p; w) = p
p
w
1
p
w
w
p
w
1
1
1
p
w
1
=w
1
1
b. Escrevendo o problema de maximização de lucro, obtemos:
x2
max p 20x
x 0
wx
A condição de primeira ordem é dada por:
20p
Supondo
w
2p
2px
w=0
10, a condição acima é necessária e su…cente (pois a CSO é
(p; w)
w2
4p2
= p 100
=
10
10
w
2p
10p
w
2p
10 +
w
2p
=
100
w 10
w
2p
=
10
w
2p
w
2
0). Portanto, temos:
w
2p
x (p; w) = 10
y (p; w) =
2p
= p 10
w
2p
w2
4p2
p 10 +
w
2p
w =
2
c. Note que esta tecnologia apresenta retornos constantes de escala (ver questão 5). Portanto, a
resolução deste ítem é análoga à do ítem abaixo.
d. O problema de maximização de lucro é dado por:
max [minf x1 ; x2 g
x 0
2
w1 x1
w2 x2 ]
Se x1 6= x2 então é possível aumentar o lucro reduzindo algum dos insumos. Segue que x1 = x2 .
Substituindo na função objetivo, obtemos:
max
x 0
x2
w1
x2
w2 x2
w2 > 0 (ie., > w2w1 ), então é possível obter lucro tão grande quanto se queira tomando
Se
w1
x2 arbitrariamente grande. Segue que o problema não tem solução neste caso.
Se
w1
w2 < 0 (ie.,
<
w2
w1 ),
então x (p; w) = 0. Neste caso, y (p; w) =
(p; w) = 0
w2 = 0 (ie., = w2w1 ), então existem in…nitas soluções pois todo x positivo fornece
Caso
w1
lucro zero. Segue que x (p; w) 2 <2+ . Logo, y (p; w) 2 <2+ e (p; w) = 0:
Exercício 6 Encontre as funções demanda condicional por fator e custo para as funções de produção abaixo:
1. (a) f (x) = x1 x12
(b) f (x) = minf x1 ; x2 g
(c) f (x) = (x1 + x2 )
1
(d) f (x) = x1 + x2
R: (a) ver Varian p.54.
(b) ver Varian p.56.
(c) ver Varian p.55.
(d) ver Varian p.57.
Exercício 7 Modelo com fatores especí…cos. Uma economia pequena e aberta é caracterizada pela existência
de dois setores. O setor A possui n …rmas com tecnologias idênticas representadas pela função de produção
y = F (K1 ; L), em que y é um bem qualquer. Já o setor B é composto de uma única …rma com função de
produção x = G(K2 ; L); em que x é um bem diferente de y. O capital do tipo 1 só pode ser utilizado no
setor A, enquanto o capital do tipo 2 está restrito ao B. Suponha, por outro lado, que a mão-de-obra possa
se movimentar livremente entre os setores. As tecnologias apresentam retornos constantes de escala e a
produção em cada …rma é estritamente positiva. Assuma, ainda, que tanto F (:; :) quanto G (:; :) respeitam
as condições de Inada. Sob estas hipóteses, pede-se:
a) Encontre o salário de equilíbrio de cada setor desta economia em função dos preços dos bens e das
produtividades. O preço relativo dos bens pode ser expresso como a razão das produtividades marginais do
trabalho entre os setores no ótimo? Qual é o salário relativo entre os setores?
b) Encontre a remuneração do capital do tipo 1 e do capital do tipo 2 no ótimo das …rmas. Estas
remunerações podem ser diferentes (pense em termos de arbitragem)?
c)Suponha que, devido a um choque na demanda externa, o preço internacional do bem y aumenta.Caso
@ 2 F (:; :)=@K1 @L seja positiva, o que ocorre com a remuneração do capital tipo 1? O que acontece com o
salário do setor A? E o salário do setor B, como se comporta?
(Este é um modelo clássico de análise de curto prazo do comércio internacional)
R: (a) No ótimo, o valor marginal do trabalho tem de ser igual ao salário ! p1 @F (K1 ; L )=@L = w1 e
p2 @G(K2 ; L )=@L = w2 . Note, porém, que, como o trabalho pode se deslocar entre os setores,
então, para que não haja arbitragem, o salário tem de ser igual ! w1 = w2 . Claramente, o preço
relativo pode ser escrito como a razão das produtividades.
(b) Pelo mesmo argumento anterior, r1 = p1 @F (K1 ; L )=@K e r2 = p2 @G(K2 ; L )=@K. As remunerações podem ser diferentes neste caso, pois os fatores são especí…cos a cada setor, o que elimina
a possibilidade de arbitragem.
(c) Como p1 aumenta, o efeito de primeira ordem faz o salário do setor 1 aumentar. Nesse caso, a
mdo se desloca para o setor 1, reduzindo um pouco a produtividade do trabalho neste setor e,
pois, gerando um efeito de segunda ordem que mitiga um pouco o aumento do salário. Por outro
3
lado, a saída de mdo do setor dois aumenta produtividade do trabalho neste setor, o que faz o
respectivo salário subir. Em equilíbrio, o salário é igual nos dois setores e maior do que o salário
inicial, o setor 1 absorve mdo do setor dois.
Dado que a derivada cruzada é positiva, o aumento da mdo no setor 1 juntamente com o aumento
do preço do bem y faz com que o valor do produto marginal do capital aumente, aumentando a
remuneração do capital do tipo 1.
Exercício 8 (Prova 2-2005) Considere uma …rma produtora de ’utilidade’ com ’função de produção’ u (x)
crescente, duas vezes continuamente diferenciável e estritamente quase-côncava em x 2Rn . De…na sua função
custo como
e (p, u) = minx px
s.t. U (x) u
a)Moste que e (p, u) é côncava em p. Denote xh a demanda compensada da …rma.
b) Dada a função custo acima, suponha que a …rma do item anterior possa vender seu produto a um
1
’preço’constante
, Resolva o problema de maximização de lucro encontrando o vetor de demandas (nãof
condicional) x da …rma. Mostre que
@xh
@xf
<
@pi
@pi
Use = @v(p; y)=@y para argumentar que a demanda frisch é mais negativamente inclinada que a demanda
hicksiana.
R: a)Sejam x1 = xh (p1 ; u); x2 = xh (p2 ; u); pt = tp1 + (1 t)p2 e xt = xh (pt ; u): Temos que, por ser xh
argmin do problema acima, p1 x1 p1 xt e p2 x2 p2 xt :Daí, tp1 x1 + (1 t)p2 x2 [tp1 + (1 t)p2 ]xt :
Ou seja, te(p1 ; u) + (1 t)e(p2 ; u) e(pt ; u); sendo côncava a função e(p,u).
b)Tome o problema:
1
max
u
e(p; u)
Sua CPO é dada por:
1
= eu (p; u)
A condição de segunda ordem para a minimização é:
e uu
0
De…nindo xf como a demanda incondicional temos, também, que xf (
1
; p) = xh (p; u(
1
; p)): Daí,
@xhi
@xh @u
@xfi
=
+
@pi
@pi
@u @pi
1
:Como estamos mantendo
constante, podemos usar o Teor. da Função Implícita na CPO para obter
@u
=
@pi
:Portanto,
@xfi
@pi
=
@xh
i
@pi
h
2
( @x
@u ) =e uu <
eupi
=
e uu
epi u
=
e uu
@xh
i
@u
e uu
@xh
i
@pi
Exercício 9 (Rubinstein p.86) Suponha uma …rma produzindo um bem usando L insumos, que maximiza
a produção sujeito à restrição de lucros não-negativos. Mostre algumas propriedades interessantes de tal
comportamento.
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