Lista de exercício 6

FGV/EPGE Escola Brasileira de Economia e Finanças
Macroeconomia I / 2017
Professor: Rubens Penha Cysne
Lista de Exercícios 6
I- Crescimento Endógeno com Externalidades
II - Modelo Neoclássico com Moeda
III - Função de Reação Fiscal
Para entrega: 1b, 3a, 4b, 5
Obs: Na ausência de de…nição de alguma variável, utilize aquela vista em
sala de aula.
1- (Crescimento Endógeno com Externalidades, Romer, 1986)
Em uma economia o consumidor otimiza
Z 1 1
c
e t dt
(1)
1
0
Há um contínuo de …rmas i em [0; 1]. Tais …rmas são todas idênticas e têm
função de produção:
Yi = F (Ki ; ALi )
F tem as propriedades usuais das funções de produção, incluindo as condições
de Inada e homogeneidade do primeiro grau.
A população L é constante e dada por:
Z 1
L=
Li di
0
O estoque de capital agregado se escreve como:
Z 1
K=
Ki di
0
As …rmas otimizam lucro tomando os preços dos insumos como dados, o
que implica que todos tenham a mesma relação ki = Ki =ALi :
Hipótese de Romer: Embora cada …rma tome A como dado, A = K;
sendo K o estoque total de capital da economia.
1
Temos então a função de produção para cada …rma i:
Yi = F (Ki ; KLi )
Os produtores maximizam:
F (Ki ; KLi )
wLi
(r + )Ki
(2)
daí determinando-se w = FL (Ki ; KLi ) e R = FKi (Ki ; KLi ):
Como a ação de cada …rma i será a mesma, podemo sub-índice i e escrever
apenas:
Y = F (K; KL)
Observe que Y pode também ser escrito sob a forma:
Y = F (K; KL) = KF (K=K; KL=K) = KF (1; L) := Kf (L)
(3)
a) Usando a de…nição de f em (3), mostre que o salário w e a remuneração
bruta do capital físico R podem ser escritos sob a forma:
w = Kf 0 (L)
R = f (L)
Lf 0 (L)
(4)
Sugestão: Para a expressão do salário, use diretamente o fato de que F (K; KL) =
Kf (L), derivando em relação a L. Para a expressão de R, lembre que apenas a derivada de F em relação à primeira variável deve ser considerada na
otimização de cada …rma.
A- Solução Descentralizada:
Do processo usual de otimização, obtemos:
1
c_
= (r
c
onde r = R
(5)
)
: Usando (4) e (5):
c_
1
= (f (L)
c
Lf 0 (L)
)
(6)
B - Solução do Planejador Central
O planejador central benevolente leva em consideração na solução de (1)
a restrição de recursos reais:
K_ = F (K; KL)
2
cL
K
b ) Como se modi…ca a taxa de crescimento de consumo em relação à
solução dada por (6)? O crescimento com base na solução do planejador
central é maior, igual ou menor?
c) Visualizando a possiblidade um maior crescimento desta economia
obtenível através da ação governamental (no caso, por exemplo, pela possível implantação de um sistema de subsídios à compra de bem de capital),
um economista a…rma que a ação de um planejador central neste caso é defensável. Outro economista discorda, a…rmando que, através de um processo
de aprendizado, a economia evoluirá naturalmente para uma situação equivalente àquela determinada pela ação do planejador, sem a necessidade de
intervenção governamental. Como você se coloca frente a estas a…rmativas?
Explique como poderia se dar, na prática, a convergência ao maior crescimento a qual se refere o segundo economista.
2- Particularize o exercício acima para o caso de uma função de produção
Cobb-Douglas. Faça:
F (K; AL) = F (K; KL) = (K)a (KL)1 a ; 0 < a < 1
II- Moeda e In‡ação no Modelo Neoclássico
3- (Lucas, In‡ation and Welfare, 2000, Modelo "Shopping Time"): Seja
r a taxa de juros, a taxa de in‡ação, s a fração da dotação de tempo gasta
com "shopping time", (o tempo total do consumidor sendo igual à unidade),
y o produto real, m os encaixes reais como fração do produto, c o consumo
como fração do produto, U (cy) uma função crescente, e estritamente côncava
do consumo (satisfazendo às condições de Inada), uma taxação "lump sum",
> 0 o fator de desconto intertemporal e > 0 a taxa exógena de crescimento
do produto (de tal forma que y(t) = y0 e t :1
O consumidor maximiza:
Z 1
e gt U (cy)dt
(7)
0
sujeito a:
(c + s)
( + )m
(8)
c + F (m; s) =
c + mf (s) = 0
(9)
m
_ =1
A equação (9) representa a restrição de que shopping time seja necessário
para consumo. Tem-se que f 0 (s) > 0 e f 00 s) 0:
1
Neste modelo o produto real potencial se obtém quando s=0. O produto real efetivo
é igual a y(1-s).
3
A função utilidade é dada por:
U (cy) =
(cy)1
1
;
6= 1
(10)
Pede-se:
a )- Mostre que, no estado estacionário, vale
(11)
Fm (m; s) = rFs (m; s)
onde r =
+ +
:
Sugestão: Lucas resolve este problema usando programação dinâmica
(equações de Bellman). Voce pode usar controle ótimo ou equações de Euler,
mas este último método exige um pouco mais de cálculos.
b)- Interprete (11) economicamente.
4- (Stanley Fischer, 1979, Econometrica,
Modelo de Sidrauski). Um conR +1
t
sumidor representativo maximiza 0 e u (c; m) dt sujeito a
k_ + nk + m
_ + ( + n) m = f (k) + x
c
(12)
onde c é consumo per capita, m é moeda per capita, k é o estoque de capital
per capita, x são transferências lump sum, é a taxa de in‡ação e n é a
taxa de crescimento populacional. A utilidade u é côncava, com u1 ; u2 > 0,
u11 ; u22 < 0, J1 := (u2 =u1 )1 > 0 and J2 := (u2 =u1 )2 < 0. A função f é tal que
f 0 > 0, f 00 < 0: As condições de Inada são satisfeitas para u(.) e f(.).
a) Obtenha as equações:
u1 (f 0 (k) + ) = u2 ,
u1 ( + + n) u2 = u11 c_ + u12 m.
_
(13)
(14)
Sugestão: Uma alternativa é fazer, em (12), a = k + m. Neste caso,
a única variável de estado (ou seja, determinada no problema inicial por
uma equação diferencial de primeira ordem) passar a ser a, e m passa a ser
variável de controle.
b ) O governo expande a oferta monetária a uma taxa …xa : Mostre que
isto implica:
m
_
=
n,
(15)
m
4
c) O governo tem o orçamento equilibrado, de tal forma que x =
m
_ + ( + n) m (= m). Mostre que isto implica que a equação orçamentária
do governo se leia:
k_ + nk = f (k) c.
(16)
d) (Opcional) As equações (14), (15) e (16) formam um sistema de equações
diferenciais de primeira ordem em (c; m; k). Denote por (c ; m ; k ) os valores
estacionários. Mostre que:
f 0 (k ) =
+ n,
c = f (k )
u2 (c ; m )
=
+ .
u1 (c ; m )
nk ,
(17)
(18)
(19)
As equações (17) and (18) implicam alguma propriedade da moeda?
e) (Opcional) Linearize o sistema em torno do estado estacionário para
obter:
2
3 2
3
2
3
u12
00 u1 +mu12
c_
mJ1 uu12
mJ
f
c
c
2
u
u
11
11
11
4 m
5
4 m m 5 . (20)
_ 5 = 4 mJ1
mJ2
mf 00
k k
1
0
k_
c ;m ;k
onde J1 = (um =uc )c e J2 = (um =uc )m
5 ) (Função de Reação Fiscal) Considere a equação diferencial vista
nas lista 3 do curso. Tal equação mostra a como evolui a razão líquida / PIB
b, em função do diferencial entre juro real e crescimento do produto, bem
como do superávit primário s:
b_ = (r
)b
s
(21)
Suponha que s reage ao valor de d da forma abaixo:
e=
b;
>0
(22)
Qaul o valor mínimo assumido por d de tal forma que não se tenha a
relação dívida / PIB b ! 1?
Obs. Aqueles interessados em estudos empíricos relativos à solvência da
dívida pública podem consultar os trabalhos de Bohn (1998 e 2007) apensados
ao sítio do curso.
5