Gabarito da Lista 6 de Microeconomia I Professor

Gabarito da Lista 6 de Microeconomia I
Professor: Carlos E.E.L. da Costa
Monitor: Vitor Farinha Luz
Exercício 1 Seja Y um conjunto de possibilidades de produção. Dizemos que uma tecnologia é aditiva
quando y; y 0 2 Y ) y + y 0 2 Y . Uma tecnologia é dita divisível se y 2 Y ) ty 2 Y; 8t 2 [0; 1]. Mostre que
se uma tecnologia é aditiva e divisível, então Y é convexo e apresenta retornos constantes de escala.
R: Convexidade: Sejam y; y 0 2 Y: Da divisibilidade, temos que y; (1
Portanto, pela aditividade temos que y + (1
) y 0 2 Y para todo
) y 0 2 Y para todo 2 [0; 1] :
2 [0; 1]. Logo, Y é convexo.
Retornos Constantes de Escala: Tome y 2 Y , 2 <+ . Pela propriedade Arquimediana, existe n natural
tal que n 1
< n. Segue que = (n 1) + [
(n 1)], onde 0
(n 1) < 1. Aplicando
o princípio da indução …nita na propriedade de aditividade, temos que (n 1) y 2 Y . Além disso, por
divisibilidade, segue que [
(n 1)] y 2 Y . Então, por aditividade, obtemos y 2 Y .
Exercício 2 Uma função de produção dita homotética se f (x) = f (x0 ) implica em f (tx) = f (tx0 ), para todo
t 0.
1. (a) Mostre que se f é uma transformação monotônica de uma função homogênea de grau 1 (ie.,
f = g h, onde h é homogênea de grau 1 e g é uma função monotônicacrescente), então f é
homotética.
(b) Mostre que se f pode ser representada como g h, onde h é homogênea de grau 1 e g é uma
função monotônica crescente (de…nição alternativa de homoteticidade), então a taxa marginal de
substituição técnica em x é igual à taxa marginal de substituição técnica em tx.
R: a) Seja f = g h e tome x; x0 tais que g (h (x)) = g (h (x0 )). Como g é crescente (logo injetiva),
temos que h (x) = h (x0 ) : Mas como h é homogênea de grau 1, segue que h(tx) = th(x) = th(x0 ) =
h(tx0 ), para todo t 2 <+ . Portanto, h (tx) = h (tx0 ) e, logo g (h (tx)) = g (h (tx0 )).
b) É possível mostrar que se f é homotética, então f = g h onde h é homogênea de grau 1
e g é monotônica (De fato, Varian (p.482) de…ne homoteticidade desta forma). Como h(:) é
homogênea de grau 1, h0 (:) é homogênea de grau 0. Logo, h0 (x) = h0 (tx) 8t 2 <+ . Segue que
@f (x)
@h
0
@xi = g (h (x)) @xi (x).
T M ST (x)
T M ST (x)
=
@f =@xi
=
@f =@xj
=
@h
@xi
@h
@xj
@h
g 0 (h (x)) @x
(x)
i
g0
(h (x))
(tx) g 0 (h (tx))
(tx) g 0 (h (tx))
@h
@xj
(x)
=
@h
@xi
@h
@xj
(x)
(x)
=
@h
@xi
@h
@xj
(tx)
(tx)
= T M ST (tx) :
Exercício 3 Mostre que se uma tecnologia apresenta retornos crescentes de escala e existe algum ponto onde
o lucro é estritamente positivo, então o problema de maximização do lucro não possui solução.
R: Sabemos (por hipótese) que 9z 2 Y tal que p z > 0. Suponha, por contradição, que x é solução so
problema de maximização da …rma. Então
p x
p x, 8x 2 Y ) p x
p z > 0:
Mas, como a tecnologia tem retornos crescentes de escala, temos que 2x 2 Y , e p (2x ) = 2(p x ) >
p x , uma contradição pois x seria o ótimo.
Exercício 4 Calcule as funções oferta e lucro para as funções de produção abaixo (x
1. (a) f (x) = x
(b) f (x) = 20x
x2
1
0):
(c) f (x) = x1 x12
(d) f (x) = minf x1 ; x2 g
R: (a) O problema de maximização de lucro é dado por:
max px
wx
x 0
Caso (1): < 1
Calculando a condição necessária de primeira ordem do problema, obtemos:
1
px
=w
A condição su…ciente de segunda ordem para máximo é garantida se 0
1.
Logo, a demanda pelo fator é:
x (p; w) =
1
p
w
1
Segue que as funções oferta e lucro são dadas por:
y (p; w) =
(p; w) = p
p
w
1
p
w
w
p
w
1
1
1
=w
1
p
w
1
1
Caso (2): = 1
Temos que, nesse caso, o lucro da …rma é:
px
wx = x (p
w) :
0
1
, se p w
, se p > w (não de…nido).
Então a função lucro é:
(p) =
E a função oferta será:
8
< (0,0)
inde…nido
[y(p; w); x(p; w)] =
:
(1; 1) (inde…nido)
, se p < w
, se p = w
, se p > w:
Caso (3): > 1
Nesse caso, a …rma apresenta retornos constantes de escala. Então não há solução pois a …rma sempre
pode ter o lucro que quiser produzindo mais:
lim px
x!1
wx = lim x px
1
x!1
w = 1:
Então o lucro e as funções oferta não estão de…nidas.
b. Escrevendo o problema de maximização de lucro, obtemos:
x2
max p 20x
x 0
wx = max x [p (20
x 0
Caso (1): 20p w > 0
A condição de primeira ordem é dada por:
20p
2px
2
w=0
x)
w]
Supondo
w
2p
10, a condição acima é necessária e su…cente (pois a CSO é
(p; w)
w2
4p2
= p 100
=
10
w
2p
w
2p
10 +
w
2p
=
100
w 10
w
2p
=
10
w
2p
10
10p
w
2
0). Portanto, temos:
w
;
2p
x (p; w) = 10
y (p; w) =
2p
= p 10
w
2p
w2
4p2
;
p 10 +
w
2p
w =
2
:
Caso (2): 20p w 0
Nesse caso temos que
= x [p (20
x)
<0
=0
w]
, se x > 0
, se x = 0
Então temos [ (p; w); x(p; w)] = (0; 0):
c. Note que esta tecnologia apresenta retornos constantes de escala (ver questão 5). Portanto, a
resolução deste ítem é análoga à do ítem abaixo.
d. O problema de maximização de lucro é dado por:
max [minf x1 ; x2 g
x 0
w1 x1
w2 x2 ]
Se x1 6= x2 então é possível aumentar o lucro reduzindo algum dos insumos. Segue que x1 = x2 .
Substituindo na função objetivo, obtemos:
max
x 0
x2
w1
x2
w2 x2
Se
w1
w2 > 0 (ie., > w2w1 ), então é possível obter lucro tão grande quanto se queira tomando
x2 arbitrariamente grande. Segue que o problema não tem solução neste caso.
Se
w1
w2 < 0 (ie.,
<
w2
w1 ),
então x (p; w) = 0. Neste caso, y (p; w) =
(p; w) = 0
w2
w1 ),
então existem in…nitas soluções pois todo x positivo fornece
Caso
w1
w2 = 0 (ie., =
2
lucro zero. Segue que x (p; w) 2 <+ . Logo, y (p; w) 2 <2+ e (p; w) = 0:
Exercício 5 Encontre as funções demanda condicional por fator e custo para as funções de produção abaixo:
1. (a) f (x) = x1 x12
(b) f (x) = minf x1 ; x2 g
(c) f (x) = (x1 + x2 )
1
(d) f (x) = x1 + x2
R: (a) ver Varian p.54.
(b) ver Varian p.56.
(c) ver Varian p.55.
(d) ver Varian p.57.
3
Exercício 6 (Prova 2-2005) Considere uma …rma produtora de ’utilidade’ com ’função de produção’ u (x)
crescente, duas vezes continuamente diferenciável e estritamente quase-côncava em x 2Rn . De…na sua função
custo como
e (p, u) = minx px
s.t. U (x) u
a)Moste que e (p, u) é côncava em p. Denote xh a demanda compensada da …rma.
b) Dada a função custo acima, suponha que a …rma do item anterior possa vender seu produto a um
1
’preço’constante
, Resolva o problema de maximização de lucro encontrando o vetor de demandas (nãof
condicional) x da …rma. Mostre que
@xh
@xf
<
@pi
@pi
Use = @v(p; y)=@y para argumentar que a demanda frisch é mais negativamente inclinada que a demanda
hicksiana.
R: a)Sejam x1 = xh (p1 ; u); x2 = xh (p2 ; u); pt = tp1 + (1 t)p2 e xt = xh (pt ; u): Temos que, por ser xh
argmin do problema acima, p1 x1 p1 xt e p2 x2 p2 xt :Daí, tp1 x1 + (1 t)p2 x2 [tp1 + (1 t)p2 ]xt :
Ou seja, te(p1 ; u) + (1 t)e(p2 ; u) e(pt ; u); sendo côncava a função e(p; u).
b)Tome o problema de maximização da …rma:
1
max
u
u
e(p; u)
Que de…ne a "produção" de utilidade ótima através da CPO dada por:
1
= eu (p; u)
A condição de segunda ordem para a minimização é:
euu (p; u) > 0
De…nindo xf como a demanda incondicional temos, também, que xf (
1
; p) = xh (p; u(
1
; p)): Daí,
@xhi
@xh @u
@xfi
=
+
@pi
@pi
@u @pi
:Como estamos mantendo
1
constante, podemos usar o Teor. da Função Implícita na CPO para obter
@u
=
@pi
eupi (p; u)
=
euu (p; u)
epi u (p; u)
=
e uu (p; u)
(última desigualdade utilizando teorema do envelope). Portanto,
@xfi
@pi
@xh
i
@u
e uu
=
@xh
i
@pi
h
2
( @x
@u ) =euu (p; u) <
@xh
i
@pi
Exercício 7 Seja x(p,y) a demanda condicional por fatores de alguma função de produção quase-côncava.
Mostre que Dp x(p; y) é simétrica e negativa semi-de…nida.
R: Seja o problema EMP dado por:
min
x
p x
s.a. f (x)
y
:
Então temos que a função custo c(p; y) = arg min EM P é côncava (prova no exercício acima). E
temos que Dp c(p; y) = x(p; y) pelo teorema do envelope, então Dp x(p; y) = Dp2 c(p; y) que é simétrica
e negativa semi-de…nida pois é a hessiana de uma função côncava.
Exercício 8 Mostre que se a função de produção f (:) é quase-côncava, estritamente crescente e homogênea
de grau 1, então ela é côncava. (também f (0) = 0)
4
R: Tome 2 [0; 1] e x; y
0. Então temos que, como f (:) é crescente, f (x); f (y) > 0. Além disso, temos a
partir da homegeneidade de grau 1 de f (:) que
x
f (x)
f
=
1
1
f (x) = 1 =
f (y) = f
f (x)
f (y)
y
f (y)
:
E, pela quase-concavidade de f (:),
x
f (x)
f
Em especial, isso vale para
f
f (x)
f (x) + (1
)f (y)
=
+ (1
)
f (x)
f (x)+(1
)f (y)
x
f (x)
+
y
f (y)
e (1
minf1; 1g = 1:
)=
(1
)f (y)
f (x)+(1
)f (y) .
(1
)f (y)
f (x) + (1
)f (y)
y
f (y)
Então
=f
x + (1
f (x) + (1
)y
)f (y)
Logo, usando novamente homogeneidade de grau 1,
f ( x + (1
)y)
f (x) + (1
)f (y):
Então provamos que f (:) é côncava em Rn++ , a extensão para Rn+ segue pela continuidade de f (:).
5
1: