Lista 5 de Microeconomia I Professor: Carlos EEL da

Lista 5 de Microeconomia I
Professor: Carlos E.E.L. da Costa
Monitor: Bruno Lund
Exercício 1 Seja Y um conjunto de possibilidades de produção. Dizemos que uma tecnologia é aditiva
quando y; y 0 2 Y ) y + y 0 2 Y . Uma tecnologia é dita divisível se y 2 Y ) ty 2 Y; 8t 2 [0; 1]. Mostre que
se uma tecnologia é aditiva e divisível, então Y é convexo e apresenta retornos constantes de escala.
Exercício 2 Uma função de produção dita homotética se f (x) = f (x0 ) implica em f (tx) = f (tx0 ), para todo
t 0.
1. (a) Mostre que se f é uma transformação monotônica de uma função homogênea de grau 1 (ie.,
f = g h, onde h é homogênea de grau 1 e g é uma função monotônica), então f é homotética.
(b) Mostre que se f é homotética, então a taxa marginal de substituição técnica em x é igual à taxa
marginal de substituição técnica em tx.
Exercício 3 Mostre que a função de produção f é homogênea de grau 1 se, e só se, Y apresenta retornos
constantes de escala.
Exercício 4 Mostre que se uma tecnologia apresenta retornos crescentes de escala e existe algum ponto onde
o lucro é estritamente positivo, então o problema de maximização do lucro não possui solução.
Exercício 5 Calcule as funções oferta e lucro para as funções de produção abaixo (x
0):
1. (a) f (x) = x
(b) f (x) = 20x
x2
(c) f (x) = x1 x12
(d) f (x) = minf x1 ; x2 g
Exercício 6 Encontre as funções demanda condicional por fator e custo para as funções de produção abaixo:
1. (a) f (x) = x1 x12
(b) f (x) = minf x1 ; x2 g
(c) f (x) = (x1 + x2 )
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(d) f (x) = x1 + x2
Exercício 7 Modelo com fatores especí…cos. Uma economia pequena e aberta é caracterizada pela existência
de dois setores. O setor A possui n …rmas com tecnologias idênticas representadas pela função de produção
y = F (K1 ; L), em que y é um bem qualquer. Já o setor B é composto de uma única …rma com função de
produção x = G(K2 ; L); em que x é um bem diferente de y. O capital do tipo 1 só pode ser utilizado no
setor A, enquanto o capital do tipo 2 está restrito ao B. Suponha, por outro lado, que a mão-de-obra possa
se movimentar livremente entre os setores. As tecnologias apresentam retornos constantes de escala e a
produção em cada …rma é estritamente positiva. Assuma, ainda, que tanto F (:; :) quanto G (:; :) respeitam
as condições de Inada. Sob estas hipóteses, pede-se:
a) Encontre o salário de equilíbrio de cada setor desta economia em função dos preços dos bens e das
produtividades. O preço relativo dos bens pode ser expresso como a razão das produtividades marginais do
trabalho entre os setores no ótimo? Qual é o salário relativo entre os setores?
b) Encontre a remuneração do capital do tipo 1 e do capital do tipo 2 no ótimo das …rmas. Estas
remunerações podem ser diferentes (pense em termos de arbitragem)?
c)Suponha que, devido a um choque na demanda externa, o preço internacional do bem y aumenta.Caso
@ 2 F (:; :)=@K1 @L seja positiva, o que ocorre com a remuneração do capital tipo 1? O que acontece com o
salário do setor A? E o salário do setor B, como se comporta?
1. (a) (Este é um modelo clássico de análise de curto prazo do comércio internacional)
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Exercício 8 (Prova 2-2005) Considere uma …rma produtora de ’utilidade’ com ’função de produção’ u (x)
crescente, duas vezes continuamente diferenciável e estritamente quase-côncava em x 2Rn . De…na sua função
custo como
e (p, u) = minx px
s.t. U (x) u
a)Moste que e (p, u) é côncava em p. Denote xh a demanda compensada da …rma.
b) Dada a função custo acima, suponha que a …rma do item anterior possa vender seu produto a um
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’preço’constante
, Resolva o problema de maximização de lucro encontrando o vetor de demandas (nãof
condicional) x da …rma. Mostre que
@xh
@xf
<
@pi
@pi
Use = @v(p; y)=@y para argumentar que a demanda frisch é mais negativamente inclinada que a demanda
hicksiana.
Exercício 9 (Rubinstein p.86) Suponha uma …rma produzindo um bem usando L insumos, que maximiza
a produção sujeito à restrição de lucros não-negativos. Mostre algumas propriedades interessantes de tal
comportamento.
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