Lista de Exercícios 5 Teoria dos Grafos e Análise - Inf

Lista de Exercícios 5
Teoria dos Grafos e Análise Combinatória
Resolvida
Rodrigo Machado
[email protected]
1. De quantas maneiras podemos distribuir 10 objetos idênticos em 3 caixas enumeradas, considerando
que:
(a) as duas primeiras caixas devem conter no mínimo 1 objeto, e a última deve conter no mínimo
2 objetos?
(
) ( )
6+3−1
8
=
= 28
3−1
2
(b) as caixas podem ficar vazias?
(
) ( )
10 + 3 − 1
12
=
= 66
3−1
2
2. Quantos números entre 1 e 300 (inclusive) são múltiplos de 2, de 3 ou de 5?
Sejam os seguintes conjuntos
• M2 : múltiplos de 2 entre 1 e 300
• M3 : múltiplos de 3 entre 1 e 300
• M5 : múltiplos de 5 entre 1 e 300
Queremos a contagem
M = |M2 ∪ M3 ∪ M5 |
Por inclusão/exclusão:
M = |M2 | + |M3 | + |M5 | − |M2 ∩ M3 | − |M2 ∩ M5 | − |M3 ∩ M5 | + |M2 ∩ M3 ∩ M5 |
Contando os conjuntos individualmente:
• |M2 | =
• |M3 | =
• |M5 | =
300
2
300
3
300
5
= 150
= 100
= 60
• |M2 ∩ M3 | =
• |M2 ∩ M5 | =
• |M3 ∩ M5 | =
300
6
300
10
300
15
= 50
= 30
= 20
• |M2 ∩ M3 ∩ M5 | =
300
30
= 10
Logo,
M = 150 + 100 + 60 − 50 − 30 − 20 + 10 = 220
1
3. Dados 10 livros de português, 2 de química e 7 de física, qual o número mínimo de livros que devemos
retirar (sem olhar) para garantir que tenhamos retirado 5 livros de uma mesma disciplina?
A situação limite consiste de 2 livros de química, 4 de português e 4 de matemática. O próximo
livro a ser retirado certamente é um livro de português ou de matemática. Portanto, com 11 livros
temos certeza de haver retirado cinco de uma mesma matéria.
4. Quantos anagramas da palavra BARBADOS
(a) existem?
8!
= 10080
2!2!
(b) começam com B e terminam com vogal?
6! +
6!
= 1080
2!
5. Considere o alfabeto {a, b, c, d}. Quantas palavras de 5 letras contendo um número par de b’s e
ímpar de d’s existem ?
Resolução por funções geradoras exponenciais:
F.G.E: ex ( e
x
+e−x x ex −e−x
)e ( 2 )
2
F.G.E simplificada:
1 4x
4 (e
Fórmula de contagem:
[
− 1)
xk
k!
]
{
1 4x
4 (e
− 1) = 4
k−1
−
1
4
0
se k = 0
se k =
̸ 0
}
Fórmula de contagem com k = 5: 45−1 + 0 = 44 = 256
6. Encontrar a função geradora ordinária para cada uma das sequências abaixo:
(a) (1, 1, 1, 1, 1, ...)
(d) (0, 5, 10, 15, 20, ...)
[
]
d
1
5x
5x
=
dx 1 − x
(1 − x)2
1
1−x
(b) (1, 2, 3, 4, 5, ...)
(e) (12 , 22 , 32 , 42 , ...)
[
]
1
1
d
=
dx 1 − x
(1 − x)2
[
]
d
x
1 − x2
=
2
dx (1 − x)
(1 − x)4
(f) (02 , 12 , 22 , 32 , ...)
(c) (0, 1, 2, 3, 4, ...)
[
]
d
1
x
x
=
dx 1 − x
(1 − x)2
[
]
d
x
x − x3
x
=
dx (1 − x)2
(1 − x)4
7. Determine a função geradora para a sequência de números descrita pela seguinte recorrência (mas
não a resolva completamente):
2
(a)
(b)
G(0) = 1
G(1) = 3
F (0) = 0
F (n) = n + F (n − 1)
F =
[n > 0]
G(n) = n + G(n − 2)
x
(1 − x)3
G=
[n > 1]
x
1
2x
+
+
(1 + x)(1 − x)3
(1 − x2 ) (1 − x2 )
8. Para cada recorrência abaixo (i) determine a função geradora dos números da sequência (ii) resolva
a recorrência usando o método das funções geradoras.
(a)
(b)
P (0) = 5
P (n) = 2P (n − 1) − 3
P =
K(0) = 1
K(1) = 2
K(n) = 2K(n − 1) − K(n − 2)
[n > 0]
2
3
+
1 − 2x 1 − x
K=
1
(1 − x)2
P (n) = 2 · 2n + 3
K(n) = n + 1
3
[n > 1]