Multipolos e Campos Elétricos na matéria

Ministério da Educação
Fundação Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Centro de Ciências Exatas e da Tecnologia
Departamento de Física
Eletromagnetismo
Lista de problemas III – Multipolos e Campos Elétricos na matéria
1. Uma esfera de raio R, com centro na origem, tem uma densidade de carga dada por:
R
(r , )  k 2 ( R  2r )sin 
r
Nessa expressão k é uma constante, e r e  são as coordenadas esféricas usuais. Obtenha o
potencial para pontos no eixo z da esfera.
1 k 2 R 5
(quadrupolo)
R. ( z) 
40 48z 3
2. Quatro cargas (uma de carga q, uma com carga 3q e duas de carga –2q) são colocadas com
mostra a figura ao lado, cada uma a uma distância a da origem.
z
Obtenha uma fórmula aproximada para o potencial válida para
3q
pontos longe da origem. (Expresse sua resposta em coordenadas
esféricas.)
-2q
q
-2q
y
x
R. ( z) 
1 2qa cos 
(dipolo)
40
r2
3. Duas cargas pontuais, 3q e –q, estão separadas por uma distância a. Para cada um dos
arranjos abaixo obtenha: i) o momento de monopólo, ii) O momento de dipolo e iii) o potencial
aproximado (em coordenadas esféricas) para grande r (inclua tanto a contribuição de
monopólo como a contribuição de dipolo).
1  2q 3qa cos  


40  r
r2

1  2q qa cos  
R: ii ) b ) p  qae z ;  

40  r
r 2 
i ) a) p  3qae z ;  
1  2q 3qa sin  sin  


40  r
r2

4. Um átomo de hidrogênio (cujo raio de Bohr vale metade de um Angstrom) é colocado entre
duas lâminas metálicas separadas por 1 mm as quais são conectadas aos terminais de uma
bateria de 500 V. Que fração do raio atômico corresponde ao deslocamento d dos centros de
cargas positivas e negativas, aproximadamente? Estime a voltagem que você precisaria para
ionizar o átomo com essa aparelhagem?
5. De acordo com a Mecânica Quântica, a nuvem eletrônica para o átomo de hidrogênio no
iii ) c ) p  3qae y ;  
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estado fundamental tem uma densidade de cargas dada por:
q
(r )  3 e 2 r / a
a
Nessa expressão q é a carga do elétron e a é o raio de Bohr. Obtenha a polarizabilidade deste tipo
de átomo.[Sugestão: primeiro calcule o campo elétrico Ee (r) da nuvem eletrônica e então expanda
a exponencial tomando por hipótese de que r << a].
R:   30 a 3
6. Na figura abaixo, p1 e p2 são dois dipolos perfeitos separados por uma distância r. Qual é o
torque em p1 devido a p2? Qual é o torque em p2 devido a p1 ? [Em cada caso calcule o torque
no dipolo sobre o próprio centro.]
p1
r
p2
7. Mostre que a energia de um dipolo ideal p colocado em um campo elétrico E é dada por:
U  p.E
8. Uma esfera de raio R possui uma polarização dada por:
P( r )  kr
Nessa expressão, k é uma constante e r é o vetor a partir do centro da esfera. a) Calcule as
densidades de carga de polarização: superficial (b) e volumétrica (b); b) Obtenha o campo
dentro e fora da esfera.
9.
Um cilindro muito longo, de raio a, tem uma polarização uniforme P perpendicular ao seu
eixo. Obtenha o campo elétrico dentro do cilindro. Mostre que o campo fora do cilindro pode
ser expresso na forma:
a2
 2  P.es  es  P 
E( r) 
2 0 s 2 
Nessa expressão s é a distância ao eixo do cilindro e es é o vetor unitário na direção de s.
[Observação: uniforme não quer dizer radial.]
P
(s  a) .
R: Na parte interna E  
2 0
10. Uma fina camada esférica (de raio interno a e raio externo b) é feita de um material dielétrico
com uma polarização dada por;
k
P( r)  2 r
r
Nessa expressão, k é uma constante e r a distância do centro da casca esférica. (Considere que
não há cargas livres no problema.) Obtenha o campo elétrico nas três regiões (interior à casca
esférica, na casca esférica e exterior à casca esférica por dois métodos diferentes: a) Localize
todas as cargas ligadas e use a lei de Gauss para calcular o campo que elas produzem; b) use a
expressão:
 D.da  Q
f
para obter o vetor deslocamento elétrico para obter E.
E  0 r  a e r  b

R: 
k
E    r r a  r  b
0

11. Suponha que o campo dentro de um dielétrico de grandes dimensões seja E0 de modo que o
deslocamento elétrico é D0  0 E0  P . a) Agora uma pequena cavidade esférica é produzida no
meio do material. Obtenha o campo no centro da cavidade em termos de E0 e P. Obtenha
também o deslocamento no centro da cavidade em termos de D0 e P; b) Faça o mesmo com
uma fina cavidade em forma de prego, cujo eixo é paralelo à P; c) Faça o mesmo para uma
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cavidade em forma de um pequeno disco perpendicular à P. Sugestão: Suponha que as
cavidades são pequenas o suficiente pra que P, E0 e D0 sejam uniformes. Observe que criar
essas cavidades é o mesmo que superpor um objeto de mesma forma, mas de polarização
oposta.
12. O espaço entre duas lâminas paralelas de um capacitor é preenchido com duas lâminas de um
material dielétrico linear. Cada lâmina tem uma espessura a de modo que a distância total
entre as duas laminas do capacitor é 2a. A primeira lâmina tem constante dielétrica 2 e a
segunda tem constante dielétrica 1,5. A densidade de carga livre na lâmina superior é  e na
lâmina inferior é - . a) Obtenha o deslocamento elétrico em cada lâmina; b) Obtenha o campo
elétrico em cada lâmina; c) Obtenha a polarização em cada lâmina; d) Obtenha a diferença de
potencial entre as lâminas do capacitor; e) Obtenha a localização e a quantidade de todas as
cargas ligadas; f) Agora que você sabe as quantidades de carga (livres e ligadas) calcule o
campo em cada lâmina, e confirme suas respostas à letra b.
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