Lista de Problemas 1

Ministério da Educação
Fundação Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Instituto de Física
Física F III
Lista de problemas I - Eletrostática
1. Use o Teorema de Gauss para provar que:
 Qualquer excesso de cargas colocadas em um condutor deve estar
inteiramente na sua superfície. (Um condutor por definição contém cargas
capazes de mover-se livremente sob a ação de campos elétricos aplicados.);
 Uma casca esférica fechada blinda seu interior de campos devidos a cargas
fora, mas não blinda seu exterior de campos devidos a cargas colocadas no
seu interior;
 O campo elétrico na superfície de um condutor é normal à superfície e tem
intensidade dada por /0 ( é a densidade de carga por unidade de área na
superfície).
2. a) Doze cargas iguais, q, estão colocadas nos vértices de um polígono regular de
12 lados (por exemplo, os números de um mostrador de relógio). Qual a força
líquida em uma carga de teste Q colocada no seu centro? b) Suponha que uma
das doze cargas q seja removida (a que estava no número seis). Qual será a força
em Q? Explique a sua resposta. c) Suponha agora que treze cargas iguais, q,
estão colocadas nos vértices de um polígono regular de 13 lados. Qual a força
líquida em uma carga de teste Q colocada no seu centro? d) Suponha que uma
das treze cargas q seja removida. Qual será a força em Q? Explique a sua
resposta.
3. a) Obtenha o campo elétrico (intensidade e direção) a uma distância z acima do
ponto médio entre duas cargas iguais q, a uma distância d. Verifique se o
resultado obtido é consistente com o que você esperaria quando z >> d. b) Repita
a parte a supondo agora que as cargas têm sinais opostos (q e –q).
4. Obtenha o campo elétrico a uma distância z acima da extremidade de um
segmento de reta de comprimento L, a qual está uniformemente carregada com
uma distribuição de carga . Verifique se sua resposta é consistente com o que
você esperaria para o caso z >> L.
5. Obtenha o campo elétrico nas seguintes situações; a) a uma distância z acima do
centro de uma espira quadrada de lado a uniformemente carregada com uma
densidade de carga ; b) a uma distância z do centro de uma espira circular de
raio r carregada uniformemente com uma distribuição de carga .
6. Obtenha o campo elétrico a uma distância z do centro de uma superfície esférica
de raio R, a qual carrega uma densidade superficial de carga uniforme, . Trate os
casos z < R e z > R. Escreva suas respostas em termos da carga total Q da esfera.
[Sugestão: use a lei dos co-senos para escrever r em termos de R e . Assegurese de tomar a raiz positiva:
R 2  z 2  2 Rr  ( R  z )
se R > z mas vale (z-R) se R< z.]
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7. Use o resultado do problema anterior para obter o campo elétrico dentro e fora de
uma esfera de raio R, a qual carrega uma densidade volumétrica de carga .
Escreva suas respostas em termos da carga total da esfera, Q. Desenhe um
gráfico do módulo do campo elétrico como uma função da distância do centro da
esfera.
8. Imagine três esferas de raio a, uma condutora, outra tendo uma densidade
uniforme no seu volume e uma tendo uma densidade de carga esfericamente
simétrica que varia radialmente com rn (n > -3), na qual está armazenada uma
carga total Q. Use o teorema de Gauss para obter os campos elétricos tanto do
lado de dentro como do lado de fora de cada esfera. Desenhe o comportamento
dos campos como uma função do raio para as primeiras duas esferas e para a
terceira esfera com n = -2, 2.
9. Suponha que o campo elétrico em alguma região do espaço seja dado por: E = kr3
er (er é o vetor unitário na direção radial em coordenadas esféricas e k é alguma
constante):
a) Obtenha a densidade de carga ;
b) Obtenha a carga total contida em uma esfera de raio R, centrada na
origem.
10. Uma carga q está posicionada no vértice de um cubo (
11. Figura 1). Qual será o fluxo do campo elétrico na região sombreada?
Figura 1
12. Quais dos campos abaixo não pode ser um campo eletrostático? Justifique sua
resposta.
a) E  k  xyex  2 yzey  3xzez  ;
b) E  k  y 2ex  (2 xy  z 2 )ey  2 yzez 
Para o campo que pode ser um campo eletrostático, obtenha o potencial, usando a
origem com ponto de referência. Verifique sua resposta calculando o gradiente do
potencial obtido.
13. Um capacitor é um dispositivo formado por dois condutores isolados colocados
lado a lado. Se cargas iguais e opostas forem colocadas nos condutores existirá
uma certa diferença de potencial entre eles. A razão da carga em um condutor
dividida pela diferença de potencial é chamada de capacitância (medida no
Sistema Internacional de unidades em Farads).Usando a lei de Gauss, calcule a
capacitância de:
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


Duas lâminas condutoras, grandes e planas, de área A, separadas por uma
pequena distância d;
Duas esferas condutoras concêntricas de raios a e b (b > a);
Dois cilindros condutores concêntricos, de comprimento L, grande se
comparado com o raio dos cilindros (L >> a,b; b> a).
14. Obtenha o potencial, para pontos dentro e fora de uma esfera sólida
uniformemente carregada, de raio R e cuja carga total é Q. use o infinito como
ponto de referência. Calcule o gradiente do potencial calculado em cada região e
verifique se o campo correto é obtido. Desenhe o gráfico do potencial como
função de r.
15. Obtenha o potencial a uma distância s de um fio infinitamente longo e reto, que
contém uma densidade de carga linear uniforme .
16. Obtenha o potencial sobre o eixo de um cilindro sólido uniformemente carregado,
a uma distância z do centro. O comprimento do cilindro é L, seu raio é R e a
densidade de carga é . Use o resultado para calcular o campo elétrico neste
ponto. Tome por hipótese que z > L/2.