Estudo dirigido sobre problemas de contorno em eletrostática

Ministério da Educação
Fundação Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Instituto de Física
Eletromagnetismo I
Lista de problemas I - Eletrostática
1. Use o Teorema de Gauss para provar que:
 Qualquer excesso de cargas colocadas em um condutor deve estar inteiramente na sua
superfície. (Um condutor por definição contém cargas capazes de mover-se livremente
sob a ação de campos elétricos aplicados.);
 Uma casca esférica fechada blinda seu interior de campos devidos a cargas fora, mas
não blinda seu exterior de campos devidos a cargas colocadas no seu interior;
 O campo elétrico na superfície de um condutor é normal à superfície e tem intensidade
dada por /0 ( é a densidade de carga por unidade de área na superfície).
2. a) Doze cargas iguais, q, estão colocadas nos vértices de um polígono regular de 12 lados
(por exemplo, os números de um mostrador de relógio). Qual a força líquida em uma carga
de teste Q colocada no seu centro? b) Suponha que uma das doze cargas q seja removida
(a que estava no número seis). Qual será a força em Q? Explique a sua resposta. c)
Suponha agora que treze cargas iguais, q, estão colocadas nos vértices de um polígono
regular de 13 lados. Qual a força líquida em uma carga de teste Q colocada no seu centro?
d) Suponha que uma das treze cargas q seja removida. Qual será a força em Q? Explique
a sua resposta.
3. a) Obtenha o campo elétrico (intensidade e direção) a uma distância z acima do ponto
médio entre duas cargas iguais q, a uma distância d. Verifique se o resultado obtido é
consistente com o que você esperaria quando z >> d. b) Repita a parte a supondo agora
que as cargas têm sinais opostos (q e –q).
4. Obtenha o campo elétrico a uma distância z acima da extremidade de um segmento de
reta de comprimento L, a qual está uniformemente carregada com uma distribuição de
carga . Verifique se sua resposta é consistente com o que você esperaria para o caso z >>
L.
5. Obtenha o campo elétrico nas seguintes situações; a) a uma distância z acima do centro de
uma espira quadrada de lado a uniformemente carregada com uma densidade de carga ;
b) a uma distância z do centro de uma espira circular de raio r carregada uniformemente
com uma distribuição de carga .
6. Obtenha o campo elétrico a uma distância z do centro de uma superfície esférica de raio R,
a qual carrega uma densidade superficial de carga uniforme, . Trate os casos z < R e z >
R. Escreva suas respostas em termos da carga total Q da esfera. [Sugestão: use a lei dos
co-senos para escrever r em termos de R e . Assegure-se de tomar a raiz positiva:
R2  z 2  2Rr  ( R  z) se R > z mas vale (z-R) se R< z.]
7. Use o resultado do problema anterior para obter o campo elétrico dentro e fora de uma
esfera de raio R, a qual carrega uma densidade volumétrica de carga . Escreva suas
respostas em termos da carga total da esfera, Q. Desenhe um gráfico do módulo do campo
elétrico como uma função da distância do centro da esfera.
8. Imagine três esferas de raio a, uma condutora, outra tendo uma densidade uniforme no
seu volume e uma tendo uma densidade de carga esfericamente simétrica que varia
radialmente com rn (n > -3), na qual está armazenada uma carga total Q. Use o teorema
Prof Paulo Ricardo da Silva Rosa
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http://www.paulorosa.docente.ufms.br
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de Gauss para obter os campos elétricos tanto do lado de dentro como do lado de fora de
cada esfera. Desenhe o comportamento dos campos como uma função do raio para as
primeiras duas esferas e para a terceira esfera com n = -2, 2.
9. Suponha que o campo elétrico em alguma região do espaço seja dado por: E = kr3 er (er é o
vetor unitário na direção radial em coordenadas esféricas e k é alguma constante):
a) Obtenha a densidade de carga ;
b) Obtenha a carga total contida em uma esfera de raio R, centrada na origem.
10. Uma carga q está posicionada no vértice de um cubo (
11. Figura 1). Qual será o fluxo do campo elétrico na região sombreada?
Figura 1
12. Quais dos campos abaixo não pode ser um campo eletrostático? Justifique sua resposta.
a) E  k  xyex  2 yzey  3xzez  ;
b) E  k  y 2ex  (2 xy  z 2 )ey  2 yzez 


Para o campo que pode ser um campo eletrostático, obtenha o potencial, usando a origem com
ponto de referência. Verifique sua resposta calculando o gradiente do potencial obtido.
13. Um capacitor é um dispositivo formado por dois condutores isolados colocados lado a lado.
Se cargas iguais e opostas forem colocadas nos condutores existirá uma certa diferença de
potencial entre eles. A razão da carga em um condutor dividida pela diferença de potencial
é chamada de capacitância (medida no Sistema Internacional de unidades em
Farads).Usando a lei de Gauss, calcule a capacitância de:



Duas lâminas condutoras, grandes e planas, de área A, separadas por uma
pequena distância d;
Duas esferas condutoras concêntricas de raios a e b (b > a);
Dois cilindros condutores concêntricos, de comprimento L, grande se comparado
com o raio dos cilindros (L >> a,b; b> a).
14. Obtenha o potencial, para pontos dentro e fora de uma esfera sólida uniformemente
carregada, de raio R e cuja carga total é Q. use o infinito como ponto de referência. Calcule
o gradiente do potencial calculado em cada região e verifique se o campo correto é obtido.
Desenhe o gráfico do potencial como função de r.
15. Obtenha o potencial a uma distância s de um fio infinitamente longo e reto, que contém
uma densidade de carga linear uniforme .
16. Obtenha o potencial sobre o eixo de um cilindro sólido uniformemente carregado, a uma
distância z do centro. O comprimento do cilindro é L, seu raio é R e a densidade de carga é
. Use o resultado para calcular o campo elétrico neste ponto. Tome por hipótese que z >
L/2.
Prof Paulo Ricardo da Silva Rosa
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