Conceitos Teoremas e Princ´ıpios

UNIVERSIDADE DO PORTO
Mecânica II
Ficha 5 (V3.99)
Dinâmica da Partı́cula
Faculdade de Engenharia
Departamento de Engenharia Civil
Conceitos
• F~ = m ~a
Princı́pio fundamental.
• p~ = m ~v Quantidade de movimento.
R
p Impulso da força F~ .
• I~ = ∆t F~ dt = ∆~
~ = m ~r × ~v = ~r × p~ Momento angular.
• L
RB
• WAB = A F~ · d~r Trabalho da força F~ .
• rot F~ = ~0
Campo de forças conservativo.
• UA = WAO
Energia potencial (para um campo de forças conservativo).
– F~ = −grad U ;
– WAB = UA − UB ;
– U = mgh
– U=
– U=
• T =
1
2
− GMm
r
1
2
2 Kr
m v2
• E =T +U
energia potencial gravı́tica (Galileu);
energia potencial gravı́tica (Newton);
energia potencial elástica.
Energia cinética.
Energia mecânica.
Teoremas e Princı́pios
• Teorema da Energia Cinética
A variação da energia cinética no deslocamento entre dois pontos é igual ao trabalho realizado pelas
forças aplicadas à partı́cula.
TB − TA = WAB .
• Princı́pio da Conservação da Energia Mecânica
Se o campo de forças for conservativo a energia mecânica da partı́cula mantém–se constante.
• Princı́pio da Conservação do Momento Angular ou Cinético
Se o momento das forças aplicadas à partı́cula, em relação a um dado ponto for nulo, o momento
angular da partı́cula, em relação a esse ponto, mantém-se constante.
~
dL
−−→
~ =−
= ~0 ⇔ ~r × F~ = ~0 .
L
const ⇔
dt
FEUP — DEC
Mecânica II
Ficha 5 (V3.99)
2
Problemas
Princı́pio fundamental
1. Um elevador de 500 kg de massa parte para cima com uma aceleração constante e atinge a velocidade
de 1,83 m/s, após um percurso de 1,83 m. Determinar a força de tracção no cabo que suspende o
elevador, durante esse movimento.
2. Um corpo de 100 kg de massa encontra–se, num dado instante, em A, com uma velocidade vA = 2
m/s. Após 3 s atinge B com uma velocidade vB = 0, 5 m/s, fazendo a direcção de ~vB um ângulo de
45o com a direcção de ~vA . Determinar a força retardadora F~ , que actuou entre A e B, supondo–a
constante.
45o
~vB
B
~vA
A
3. Considere um bloco de 100 kg de massa assente num plano que faz um ângulo de 30o com a horizontal. O bloco está em repouso em A. Determinar a força horizontal capaz de fazer o bloco
subir o plano inclinado e chegar ao ponto B, distante 20 m de A, com uma velocidade de 1 m/s.
Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e o plano inclinado são aproximadamente
iguais a 0,30. Chegando ao ponto B, o bloco continua o seu movimento, sem a acção da referida força. A que distância de C irá o bloco cair? Despreze a resistência do ar e as dimensões do bloco.
B
30o
A
B
4. Considere um corpo de 9,81 kg de massa situado no plano
√ OXY , na origem das coordenadas. Esse
corpo parte da origem com uma velocidade inicial de 2 m/s, que faz um ângulo de 45o com
o sentido positivo do eixo OX. Imediatamente após a partida, o corpo fica sujeito a uma força
F~ = ( 60 t + 20 , 20 ) (N,s). Determine a que distância do ponto de partida se encontra o corpo ao
fim de 5 s. Despreze as dimensões do corpo.
5. Comunica–se a um barco de 40 kg de massa uma velocidade inicial de 0,5 m/s. Supondo que a
resistência da água ao movimento, para pequenas velocidades, é proporcional à primeira potência
~ = µ~v (em que µ = 9, 12 N s/m), determinar ao fim
da velocidade e que varia de acordo com a lei R
de quanto tempo a velocidade do barco diminuirá para metade e qual a distância percorrida até
parar.
6. Um corpo de 10 kg de massa parte com uma velocidade vo = 4 m/s de A, deslizando numa superfı́cie
que faz um ângulo de 30o com a horizontal. Entre A e B, distantes de 10 m, o coeficiente de atrito
cinético é 0,4. Que valor tem que ter o coeficiente de atrito cinético entre B e C, distantes de 20
m, para que o corpo atinja o ponto C com a mesma velocidade com que partiu de A?
FEUP — DEC
Mecânica II
Ficha 5 (V3.99)
3
10 m
20 m
~v0
A
30o
B
C
7. Duas caixas são colocadas num plano inclinado. O coeficiente de atrito entre as caixas e a superfı́cie
é de 0,20. Sabendo que as caixas estão em contacto quando libertadas, determinar a aceleração de
cada caixa e a força exercida pela caixa A sobre a caixa B. Os seus pesos são respectivamente 150
N e 100 N.
A
B
45o
8. Dois blocos, sob a acção da força F , movem-se num plano horizontal, sendo 0,1 o coeficiente de
atrito cinético no contacto dos blocos com o plano. A corda que liga os blocos rompe-se para uma
força de tracção de 200 N. Determinar o valor de F que conduz à rotura da corda. Os pesos dos
blocos A e B são respectivamente 500 N e 300 N.
F
o
B
30
A
Trabalho e energia
1. Considere o campo de forças F~ = (x − 2y) ı̂ + (y − 2x) ̂ (N,m).
(a) Calcule o trabalho realizado pelas forças do campo no deslocamento de uma partı́cula do ponto
O ≡ (0, 0) ao ponto A ≡ (2, 4),
i. ao longo da recta y = 2 x,
ii. ao longo da parábola y = x2 .
(b) O campo será conservativo?
2. A mola AC de constante K está presa ao colar C de massa m que se move livremente ao longo da
barra horizontal. O comprimento da mola quando não está esforçada é `o . Desprezando o atrito,
exprimir a aceleração do colar em função de x.
FEUP — DEC
Mecânica II
Ficha 5 (V3.99)
4
A
`0
B
B
x
3. A esfera de 50 kg de massa é libertada do repouso quando φ = 0o . Para que a velocidade da esfera
seja de 2,5 m/s quando φ = 90o , determinar o valor do esforço inicial na mola. O coeficiente de
elasticidade da mola é K = 24 kN/m.
300 mm
φ
125 mm
600 mm
4. Um pequeno bloco é libertado em A com velocidade nula e move–se ao longo da guia, sem atrito,
em direcção a B, onde deixa a guia com velocidade horizontal. Determinar a velocidade do bloco
ao atingir o solo em C e a distância d.
A
0.9 m
B
2.4 m
C
d
5. (a) Determine a velocidade mı́nima v0 a que deve partir um corpo projectado verticalmente da
superfı́cie da Terra, para que atinja uma dada altura H.
(b) Qual terá de ser a velocidade inicial para que o corpo se afaste até ao infinito, isto é, para que
saia fora do campo gravı́tico terrestre e não volte a cair nele.
Despreze a resistência do ar e admita que:
i. a força gravitacional é constante;
ii. a força gravitacional é dada por F = G Mm
r2 .
6. A esfera de peso P é largada na posição A1 . Determinar a força de tracção no fio de comprimento
`, quando a esfera atingir a posição A2 .
FEUP — DEC
Mecânica II
Ficha 5 (V3.99)
5
A1
`
P
A2
7. Uma esfera, com 200 kg de massa, é solta na posição indicada na figura. Determine:
(a) a aceleração com que a esfera inicia o movimento;
(b) o ponto em que a esfera tocará o solo sabendo que o esforço máximo que o fio suporta é de
3500 N.
5m
30o
5m
10 m
Impulso de uma força e quantidade de movimento
1. Um martelo de forja tem uma massa de 2000 kg e cai de uma altura de 1,80 m. Supondo que o
choque tem a duração de 0,015 s, determine a força exercida pelo martelo sobre a peça a forjar.
2. Um projéctil de 1 kg de massa vai ser lançado de um ponto situado num plano horizontal. Pretendese que o projéctil caia a uma distância de 300 m do ponto de partida, após ter atingido uma altura
máxima de 100 m. A força propulsora inicial actuará durante 0,005 s e pode considerar–se constante
durante esse tempo. Determine a direcção e grandeza dessa força, desprezando a resistência do ar.
3. A resultante R de todas as forças que actuam sobre um pistão, varia de grandeza durante um certo
intervalo de tempo, de acordo com a equação R = 0, 4P (1 − kt) (N,N,s−1 ,s), onde P é o peso do
pistão, t é o tempo e k é um factor igual a 1,6 s−1 . Determinar a velocidade do pistão no instante
igual a 0,5 s, sabendo que a sua velocidade inicial era v0 = 0, 2 m/s.
4. Uma mala de 150 N de peso é lançada, com a velocidade horizontal de 3 m/s, sobre um carrinho de
bagagem de 300 N de peso. Sabendo que o carrinho se pode deslocar livremente e está inicialmente
em repouso, determinar a velocidade do carrinho, após a mala ter parado de deslizar sobre o mesmo.
5. Um vagão de 270 kN de peso vai ser atrelado a um outro vagão que pesa 180 kN. Se a velocidade
inicial do vagão de 270 kN é de 1,6 km/h e o vagão de 180 kN está em repouso, determinar:
(a) a velocidade final dos vagões depois de atrelados;
(b) a força impulsiva média que age sobre cada vagão se o acoplamento é realizado em 0,5 s.
6. Sobre uma partı́cula de massa 2 kg, actua uma força dada pela expressão F~ = (2t, cos t, − sin t)
(N,s). Sabe-se que no instante inicial a partı́cula tem a velocidade ~v0 = (π 2 /8, 0, 0) m/s. Determine:
FEUP — DEC
Mecânica II
Ficha 5 (V3.99)
6
(a) a velocidade no instante t = π/2 s;
(b) a potência desenvolvida nesse instante;
(c) a variação da quantidade de movimento até esse instante;
(d) o trabalho realizado até esse instante.
Momento angular ou cinético
1. Um satélite é projectado no espaço com velocidade v0 a uma distância r0 do centro da Terra, pelo
último andar do foguetão de lançamento. A velocidade v0 foi projectada para colocar o satélitte
numa órbita circular de raio r0 . No entanto, devido ao mau funcionamento do controlo, o satélite
não é projectado horizontalmente, mas num ângulo α com a horizontal, e, como resultado, é impelido numa órbita elı́ptica. Determine os valores máximo, r1 , e mı́nimo, r2 , da distância do centro
da Terra ao satélite.
~v0
α
r0
r1
r2
2. A altitude máxima de um satélite artificial, ao entrar em órbita em redor da Terra, é de 41500 km
acima da superfı́cie da Terra e a altitude mı́nima é de 640 km. Determinar os valores máximo e
mı́nimo da velocidade do satélite, sabendo que: o raio da Terra é de 6400 km; a massa da Terra é
de 5, 98 × 1024 kg; a constante de gravitação universal é G = 6, 67 × 10−11 m3 /kg/s2.
Soluções
Princı́pio fundamental
1. 5362 N. 6. 0,666.
Trabalho e energia
1. -6 J; -6 J. Sim. 2.
kx
m
1− √
`
`2 +x2
. 3. 180 N. 4. 6,85 m/s; 2,32 m. 5.
√
r
2gH;
2GM
1
R
−
1
R+H
. ∞;
q
2GM
R
. 6.
3 P. 7. 8,50 m/s2 .
Impulso de uma força e quantidade de movimento
1. 785 kN. 2. (66500, 88700) N. 3. 1,38 m/s. 4. 0,9 m/s. 5. 0,96 km/h; 9,79 kN. 6.
kg m/s; 5, 07 J.
Momento angular ou cinético
1. r = r0 (1 ± sin α). 2. 9980 m/s; 1470 m/s.
π2 1
, , − 12
4 2
m/s; 8, 25 W;
π2
, 1, −1
4