Departamento de Fısica Mecânica Clássica I – ´Area II 1

Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı́sica – Departamento de Fı́sica
Mecânica Clássica I – Área II
1. Certo oscilador harmônico simples consiste de uma massa
de 100 g ligada a uma mola de constante elástica k = 0.1 N/cm.
A massa é deslocada 3 cm e é, então, solta. Calcule: a) a
frequência ω0 e o perı́odo τ0 , b) a energia total, e c) a velocidade máxima.
2. Considere que o movimento do oscilador do problema anterior ocorra em um meio resistivo. Depois de oscilar por 10 s,
sua amplitude máxima decresce à metade do valor inicial. Calcule: a) o parâmetro de amortecimento β, b) a frequência ω1
(compare com a frequência do caso não amortecido ω0 ), e c) a
razão das amplitudes em dois máximos sucessivos.
3. Considere um oscilador harmônico simples. Calcule as
médias temporais das energias cinética e potencial, e mostre
que estas quantidades são iguais. Por que esse é um resultado
razoável? Calcule as médias espaciais das energias cinética e
potencial. Discuta os resultados.
4. Um pêndulo simples consiste de uma massa m suspensa
de um ponto fixo por um fio de comprimento L sem peso e
que não se deforma. Obtenha a equação de movimento e, na
aproximação sen p
θ ≃ θ, mostre que a frequência natural de
oscilação é ω0 = g/L, onde g é a aceleração gravitacional.
Discuta o movimento no caso em que o mesmo ocorre
em um
√
meio viscoso com força retardadora dada por 2m gLθ̇.
5. Duas massas m1 = 100 g e m2 = 200 g deslizam livremente em uma superfı́cie horizontal sem atrito e estão ligadas
por uma mola cuja constante de força é k = 0.5 N/m. Encontre
a frequência do movimento oscilatório desse sistema.
6. Um corpo com área de seção transversal uniforme A =
1 cm2 e densidade de massa ρ = 0.8 g/cm3 flutua em um lı́quido
de densidade ρ0 = 1 g/cm3 e, no equilı́brio, desloca um volume
V = 0.8 cm3 . Mostre que o perı́odo de pequenas oscilações
em torno da posição de equilı́brio é dado por
s
V
,
τ = 2π
gA
onde g é a aceleração gravitacional. Determine o valor de τ .
7. Uma partı́cula está em repouso na extremidade de uma mola
(constante de força k) presa a um suporte fixo. Em t = 0, uma
força constante F (orientada para baixo) é aplicada à massa e
atua durante um tempo t0 . Mostre que, depois que a força é removida, o deslocamento da massa de sua posição de equilı́brio
(x = x0 , sendo x para baixo) é
x − x0 =
F
[cos ω0 (t − t0 ) − cos ω0 t] .
k
onde ω02 = k/m.
8. Uma partı́cula em movimento harmônico simples tem velocidade ẋ1 quando seu deslocamento é x1 e velocidade ẋ2
quando seu deslocamento é x2 . Encontre a frequência angular
e a amplitude do movimento em termos das quantidades dadas.
9. Mostre que a razão entre dois máximos sucessivos no deslocamento de um oscilador harmônico amortecido é constante.
10. Considere um oscilador super-amortecido que parte inicialmente do repouso na posição x0 . Esboçe o espaço de fases
neste caso e repita para o oscilador criticamente amortecido.
Dica: encontre primeiro a trajetória assintótica.
11. Uma massa m se move ao longo do eixo x sujeita a uma
força atrativa dada por 17γ 2 mx/2 e uma força retardadora dada
por 3γmẋ, onde x é sua distância da origem e γ é uma constante. Uma força impulsiva dada por mA cos ωt, onde A é uma
constante, é aplicada sobre a partı́cula ao longo do eixo x. a)
Qual é o valor de ω quando é atingido um estado oscilatório
estacionário em torno da origem com máxima amplitude? b)
Qual é a máxima amplitude?
12. A frequência ω1 de um oscilador amortecido é 200π rad/s,
e a razão da amplitude de dois máximos sucessivos é 1/2. a)
Qual é a frequência natural ω0 desse oscilador? b) Qual é sua
frequência ressonante?
13. Uma partı́cula de massa m é sujeita a uma força F =
ax − bx3 , onde x é seu deslocamento a partir da origem e
a e b são constantes dimensionais. a) Encontre os pontos de
equilı́brio e analise sua estabilidade. b) Calcule a energia total e verifique se é conservada. c) Encontre as trajetórias da
partı́cula no espaço de fases.
14. Um pêndulo simples de comprimento L = 9.8 m, satisfaz
a equação θ̈ + sen θ = 0. a) Se θ0 é a amplitude, mostre que o
perı́odo é dado por
τ =4
Z
0
π/2
dφ
p
1 − α sen 2 φ
onde α = sen 2 θ0 /2. b) Expanda o integrando em potências
de α, integre termo a termo, e encontre o perı́odo τ até a ordem
O(α2 ). c) Expanda α em série de potências de θ0 , substitua no
resultado anterior e encontre τ até ordem O(θ02 ).
15. Uma massa m se move em uma dimensão sujeita a uma
força constante +F0 quando x < 0 e −F0 quando x > 0.
Sendo A a amplitude do movimento, calcule o perı́odo. Descreva o movimento construindo o diagrama de fases.
RESPOSTAS:
1. ω0 = 10 rad/s; τ0 = π/5 s; E = 4.5 × 10−3 J; vm = 0.3 m/s 9. exp(−2πβ/ω1 ) = cte
10. –
2. β = ln102 s; ω1 ≃ 9.99976 rad/s; 1.0445
11. ωR = 2γ; DR = 2A/15γ 2
3. hT it = hU it = kA2 /4; hT ix = 2hU it = kA2 /3
12. ω0 ≃ 632.1 rad/s; ωR ≃ p
624.5 rad/s.
4. –
rad
13. x = 0 (instável), x = ± a/b (estável)
5. ω0 = 2.7386 /s
6. τ ≃ 0.18 s
14. –
p
7. – p
15. τ = 4 2mA/F0
p
8. ω = (ẋ21 − ẋ22 )/(x22 − x21 ); A = (ẋ21 x22 − ẋ22 x21 )/(ẋ21 − ẋ22 )