MO/variados/2.Série de Energia/F1_Energia

Mecânica e Ondas, 20 Semestre 2006-2007, LEIC
Série II
Energia
1. Uma partı́cula de massa m é largada sem velocidade ini-
P
cial de um ponto P situado a uma altura h = 4 R e desliza
sem atrito ao longo de uma pista contida no plano vertical
constituı́da pela curva P A, o loop ABCA de raio R e a recta
horizontal AD como se pode ver na figura. Determine:
C
4R
B
R
D
Α
a) A velocidade nos pontos A, B e C;
b) A reacção normal nos mesmos pontos;
c) A altura mı́nima de que a partı́cula deve ser largada para que o loop seja realizado com
sucesso.
2. Sabendo que a lei da atracção universal entre duas massas pontuais, M e m, distanciadas
de r é dada por:
F~ = −G Mr2m ~er
a) Mostre que para pequenos deslocamentos junto da superfı́cie da Terra se tem para o
potencial gravı́tico:
V = mgh
em que h é a distância de um ponto à superfı́cie da Terra e g = GMT /RT2 é a aceleração da
gravidade também à superfı́cie da Terra;
b) Calcule a diferença entre o potencial gravı́tico aproximado e o “exacto” a 6.0 × 104 m de
altitude.
3. Considere um planeta de raio R, que supomos sem rotação em torno do seu eixo e sem
atmosfera.
a) Determine a velocidade de mı́nima para que um corpo à sua superfı́cie se possa libertar
da sua atracção (velocidade de escape). Calcule o seu valor para o caso da Terra;
b) Suponha que um satélite descreve uma órbita de raio R. Qual o acréscimo de velocidade
que se deve comunicar ao satélite para que este se liberte da atracção do planeta?
4. Um satélite descreve uma órbita circular junto da superfı́cie da Terra. Mostre que a sua
√
velocidade é dada por v = RT g em que RT é o raio da Terra e g = G M/RT2 .
1
5. Pretende-se colocar um satélite em órbita circular geo-estacionária em torno da Terra
a) Qual ou quais os planos possı́veis para o realizar?
b) Determine o raio dessa órbita;
c) Determine a velocidade do satélite nessa órbita.
6. Um projéctil é lançado da superfı́cie da Terra para a Lua. A distância da Terra e da Lua
é dada por dT L = 3.84 × 108 m.
a) Determine a velocidade de escape do projéctil à superfı́cie da Terra e no ponto mais
próximo da Lua. Verifique que é superior à situação em que não é considerado o potencial
da Lua;
b) Não considerendo o movimento orbital da Lua, qual é a velocidade mı́nima de impacto
do projéctil na superfı́cie da Lua?
7. A órbita (de grande excentricidade) de um asteroide extende-se desde a órbita da Terra
até à de Júpiter, tocando apenas em ambas. Considerando as órbitas dos dois planetas como
circunferências de raios 1 UA = 149.6 × 109 km e 5.2 UA, respectivamente, e sabendo que a
massa do sol é MS = 1.99 × 1030 kg,
a) Determine o perı́odo da órbita do asteroide;
b) Calcule as velocidades máxima e mı́nima do asteroide no seu movimento de translacção.
8. Sabendo que aceleração da gravidade à superfı́cie da Terra igual a 9.9 m/s2 , a distância
da Terra à Lua é d = 3.844 × 105 km, o raio da Terra é de RT = 6.37 × 103 km e que periodo
de revolução da Lua em volta da Terra é de TLua = 27.32 dias, mostre que a intensidade do
campo gravı́tico é inversamente proporcional ao quadrado da distância.
9. Para cada uma das energias potenciais que se seguem, encontre a expressão da força
associada:
a) V (x, y) = x sin xy + y cos xy ,
b) V (x, y, z) =
1
2
k (x2 + y 2 + z 2 ).
10. Verifique quais das forças que se seguem são conservativas e encontre as energias potenciais correspondentes (a e b são constantes):
~ = −a (x − b) ~ex ;
a) F
b) F~ = ~a × ~r;
c) F~ = (a x + b y 2 ) ~ex + (a z + 2 b x y) ~ey + (a y + b z 2 ) ~ez .
2
11. Uma partı́cula de massa m percorre o troço AB de uma calha
A
circular de raio R disposta verticalmente, conforme mostra a figura.
a) Calcule, a partir da definição, o trabalho realizado pelo peso da
partı́cula durante o trajecto AB e verifique que iguala a variação
B
de energia potencial gravı́tica.
b) Calcule o trabalho de uma força constante de módulo Fb e sempre tangente à calha no
mesmo trajecto AB.
12. Numa partı́cula de massa m = 1 kg actua uma força dada por
F~ = −(4 x3 + 2 x y 2 ) ~ex − 2 x2 y ~ey .
a) Mostre que a força é conservativa;
b) Determine a energia potencial V (x, y) associada a esta força, escolhendo para referência
o potencial na origem, isto é, V (0, 0) = 0;
c) Verifique explicitamente que a energia potencial derivada na alı́nea anterior corresponde
à força, F~ ;
d) Determine o módulo da velocidade da partı́cula na origem, sabendo que ela é largada,
sem velocidade inicial, no ponto (1, 0).
13. Um campo de forças é dado por:
F~ = k y z sin (kxy) ~ex + k x z sin(kxy) ~ey − cos(kxy) ~ez
a) Calcule o rotacional da força para verificar se ela é conservativa;
b) Se a energia potencial de referência em (0,0,0) for zero, calcule a energia potencial no
ponto (1,1,1). Utilize um caminho conveniente qualquer.
14. Considere a seguinte força:
F~ = −k (x − z)2 (~ex − ~ez )
a) Mostre que a força é conservativa;
b) Determine a energia potencial, V (r);
c) Calcule o gradiente da energia potencial e relacione-o com a força.
15. Um campo de forças é dado por:
F~ = (x − a y) ~ex + (3 y − 2 x) ~ey
a) Calcule o rotacional da força e verifique para que valores da constante a a força é conservativa; b) Determine para esses valores o função potencial;
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