CF353 – Mecânica Clássica I Lista 6

CF353 – Mecânica Clássica I
Lista 6
N Entregar somente o problema [8].
[1] (Marion) Encontre a razão do raio R para a altura H de um cilindro circular reto de volume fixo que minimiza a
área superficial. (Obs.: Este problema é especı́fico para a turma da Licenciatura.)
[2] (Marion) Um disco de raio R rola sem deslizar dentro da parábola y = a x2 . Encontre a equação de vı́nculo.
Expresse a condição que permite ao disco rolar de forma a tocar a parábola em um e somente em um ponto, independentemente de sua posição.
[3] (Marion) Um aro de massa m e raio R rola sem deslizar para baixo de um plano inclinado de massa M que
faz um ângulo α com a horizontal. Encontre as equações de Lagrange e as integrais de movimento (constantes de
movimento) sabendo que o plano pode deslizar sem atrito sobre uma superfı́cie horizontal.
[4] (Marion) Um pêndulo duplo consiste de dois pêndulos simples, com um pêndulo suspenso a partir da massa
do outro. Se os dois pêndulos têm comprimentos iguais e mesma massa e se ambos os pêndulos são confinados a
mover-se num mesmo plano, encontre as equações de Lagrange do movimento do sistema. (Obs.: este sistema é
caótico!)
[5] (Marion+Symon) Um pêndulo simples de comprimento b e massa m é fixado a um suporte de massa desprezı́vel
que se move horizontalmente com aceleração constante α. Determine (a) as equações de movimento e (b) o perı́odo
de pequenas oscilações. (c) Resolva o problema novamente considerando agora que o suporte se move verticalmente
para cima com aceleração α. (d) Determine as equações de movimento no caso em que o suporte oscila horizontalmente de acordo com a função a cos ωt. Mostre que para pequenas oscilações a equação de movimento reduz-se à
equação de movimento de um oscilador harmônico forçado.
[6] (Marion) Uma partı́cula é confinada a mover-se (sem atrito) num arame circular que roda com velocidade angular
constante ω em torno de um diâmetro vertical. Encontre a posição de equilı́brio da partı́cula e calcule a frequência de
pequenas oscilações em torno desta posição. Encontre e interprete fisicamente a velocidade angular crı́tica ω = ωc
que divide o movimento da partı́cula em dois tipos diferentes.
[7] (Symon) Uma escada encontra-se em repouso, encostada a uma parede lisa, e desliza sem atrito com a parede
e o chão. Escreva as equações de movimento supondo que a escada mantém contato com a parede. Se ela estiver
inicialmente em repouso formando uma ângulo α com a horizontal, em que ângulo, se existir, a escada perderá o
contato com a parede?
[8] (Symon) Uma partı́cula de massa m desliza sobre a superfı́cie interna de um cone invertido. A metade do ângulo
do cone é igual a α. O ápice do cone está na origem e o seu eixo estende-se verticalmente para cima. A única
força exercida sobre a partı́cula, além da força de vı́nculo, é a força da gravidade. (a) Escreva as equações de movimento, usando como coordenadas a distância horizontal ρ da partı́cula ao eixo e o ângulo ϕ medido num cı́rculo
horizontal ao redor do cone. Mostre que ϕ é uma coordenada ignorável e discuta o movimento pelo método do
potencial efetivo. (b) Para um dado raio ρ0 , determine a velocidade angular de revolução ϕ̇0 num cı́rculo horizontal
e a frequência angular ω de pequenas oscilações em torno deste movimento circular. Mostre que estas pequenas
oscilações são vibrações ou um movimento em forma de espiral para cima e para baixo, dependendo de o ângulo α
ser maior ou menor que o ângulo crı́tico αc = arcsen
√1
3
.
[9] Revisite os problemas acima escrevendo a Hamiltoniana e as equações de Hamilton em cada caso.