NOTA DE AULA I - Cap 16 - Oscilações - SOL

NOTA DE AULA
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
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Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II (MAF 2202)
Coordenador: Prof. Dr. Elias Calixto Carrijo
CAPÍTULO 16 – OSCILAÇÕES
1. Oscilações
Os movimentos que se repetem são chamados de oscilações e estamos rodeados pelos
mesmos. É o caso das cordas de violão, tambores, sinos, diafragmas de telefones, sistemas de autofalantes, cristais de quartzo em relógio de pulso, etc. neste capítulo será abordado o comportamento
desse fenômenos da natureza.
2. Movimento Harmônico Simples
Uma grandeza importante no (MHS) movimento oscilatório é a freqüência, ou número de
oscilações completadas a cada segundo. O símbolo é f e a unidade é o hertz (hz), onde:
1 hertz = 1 hz = 1 oscilação por segundo = 1 S-1
O período é o tempo necessário para uma oscilação completa, ou seja:
T=
1
f
Um movimento harmônico simples é um movimento que obedece à relação:
x(t ) = xm cos(ωt + φ ),
onde,
xm → amplitude: posição máxima do corpo
ω → - freqüência angular
φ → constante de fase
t → tempo
Nota de Aula I – FISICA GERAL E EXPERIMENTAL II
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Nota-se que esta equação horária tem em comportamento senoidal. Assim, após percorrido
um tempo equivalente ao período T, o corpo assume novamente a posição original.
Então:
xm cos ωt = xm cos ω (t + T )
como o período do cosseno é 2 π , tem-se:
ω (t + T ) = ωt + 2π ⇒
ω = 2π / T = 2π f
A unidade da freqüência angular é o rad/seg.
A VELOCIDADE NO MHS
A velocidade de um movimento é obtida derivando-se a equação horária no tempo. Então:
dx(t ) d
= ( xm cos (ωt + φ )) ⇒
dt
dt
v(t ) = −ω xm sen (ωt + φ )
v(t ) =
A grandeza ω x m é a amplitude da velocidade, ou velocidade máxima.
A Aceleração no MHS
Para se obter a aceleração basta derivar a velocidade no tempo, ou seja:
a (t ) =
dv(t ) d
= (−ω xm sen(ωt + φ )) ⇒
dt
dt
a (t ) = −ω 2 xm cos(ωt + φ )
onde ω 2 xm é a aceleração máxima da partícula. O gráfico a seguir mostra o comportamento
da posição, velocidade e aceleração para um MHS.
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Nota de Aula I – CAPÍTULO 16: OSCILAÇÕES
3. Lei da Força para o Movimento Harmônico Simples.
Pode-se compreender o movimento harmônico simples a partir do sistema massa-mola,
representado na figura a seguir:
Figura 01
O diagrama de corpo livre do bloco de massa m indica as forças atuantes no mesmo:
r
N
r
F = − kxiˆ
r
P
Fig.02
Na direção horizontal a força resultante é a força que a mola exerce no bloco. O sinal
negativo indica uma força restauradora. Então:
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Fres = − kx
m.ares = − kx
d 2x
m. 2 = − kx ⇒
dt
2
d x k
+ x=0
dt 2 m
A última equação é a eq. Diferencial do sistema massa-mola. Adotando a eq. Horária do
MHS como a solução desta e.d., tem-se:
x(t ) = xm cos (ωt + φ )
d2x
= −ω 2 xm cos(ωt + φ )
2
dt
substituindo as relações anteriores na e.d. tem-se:
(−ω 2 +
k
) xm cos(ωt + φ ) = 0
m
que resulta em:
k
=0
m
k
ω=
m
−ω 2 +
Assim obtemos a freqüência angular para o (mhs, e por também o) sistema massa-mola, e também o
período:
T = 2π
m
k
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Nota de Aula I – CAPÍTULO 16: OSCILAÇÕES
4. Energia no Movimento Harmônico simples
A energia mecânica associada a um movimento qualquer é resultado da adição das energias
potencial e cinética. Para um oscilador harmônico do tipo massa-mola a energia potencial e cinética
são dadas por:
1 2 1 2
kx = k x m cos 2 (ωt + φ )
2
2
1
1
K (t ) = mv 2 = mω 2 x 2 m sen 2 (ωt + φ )
2
2
U=
usando ω 2 = k / m , obtém-se para a energia mecânica:
E =U + K
1
1
E = kx 2 m cos 2 (ωt + φ ) + kx 2 m sen 2 (ωt + φ ) ⇒
2
2
1
E = kx 2 m
2
A energia total desse sistema é constante, conforme figura a seguir:
Fig. 16.6
5. Um Oscilador Harmônico Simples Angular
O oscilador harmônico simples angular é constituído de um disco suspenso por um fio com
uma constante de torça K.
Nota de Aula I – FISICA GERAL E EXPERIMENTAL II
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Ele é posto para oscilar na forma angular. Esse dispositivo é chamado de pêndulo de torção.
O torque restaurador é dado por
τ = − kθ
como
d 2θ
τ = Iα = I 2 ,
dt
tem-se
d 2θ
= − kθ ⇒
dt 2
d 2θ k
+ θ =0
dt 2 I
I
A última relação é a equação diferencial do pêndulo de torção. Por analogia com a e.d. do
sistema massa mola tem-se:
θ (t ) = θ m cos(ωt + φ )
e
T = 2π
w=
I
k
k
I
6. Pêndulos
Pêndulos Simples
O pêndulo simples é um dispositivo constituído de um fio inextensível e de massa
desprezível, que sustenta um corpo de massa m que oscila em um plano com ângulos de abertura
inferiores a 5º, conforme figura a seguir:
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Nota de Aula I – CAPÍTULO 16: OSCILAÇÕES
Neste caso, o torque restaurador é dado por:
τ = −l.P senθ
I
d 2θ
= −lmg senθ
dt 2
Para ângulo menores que 5º tem-se que sen θ ≈ θ considerando o momento de inércia como
I = m.l 2 tem-se:
d 2θ
= −lmgθ ⇒
ml
dt 2
d 2θ g
+ =0
dt 2 l
2
Também por analogia com o MHS vem:
θ = θ m cos(ωt + φ )
T = 2π
l
g
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O Pêndulo Físico
Considera-se como pêndulo físico um corpo suspenso
por um ponto qualquer e que oscila em torno de uma posição
de equilíbrio. Por analogia com o pêndulo simples tem-se:
τ r = − P.h senθ
d 2θ
I 2 = − Phθ
dt
ou
d 2θ mgd
+
θ =θ
dt 2
I
Assim
T = 2π
I
mgd
θ = θ m cos(ωt + φ )
(a)
7. Movimento Harmônico Simples e Movimento Circular
Uniforme.
Pode-se obter as relações do MHS a partir do movimento
circular uniforme. Então, seja o movimento circular da partícula
P’ executado em um círculo de raio xm. Em um instante t a
partícula percorreu um ângulo ωt + φ . Então
cos(ωt + φ ) =
(b)
x(t )
⇒
xm
x(t ) = xm cos(ωt + φ )
A relação anterior é a eq. Horária do MHS.
A figura(b) mostra o comportamento da velocidade
tangencial da partícula. A sua componente horizontal será dada por:
(c)
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vx
⇒
v
vx = v(t ) = −vsen(ωt + φ )
sen(ωt + φ ) =
O sinal negativo indica que a velocidade está em sentido contrário ao da orientação positiva
do eixo x. Em um movimento circular, a velocidade tangencial é dada por v = ω r = ω xm . Então
v(t ) = −ω xm sen(ωt + φ )
A partir da figura (c) obtém-se a aceleração para o MHS.
a (t ) = −ω 2 xm cos(ωt + φ )
Movimento Harmônico Simples Amortecido
Em um movimento harmônico amortecido o movimento harmônico simples sofre uma força
externa que tende a reduzi-lo. Como exemplo cita-se o caso de um sistema massa-mola acoplado a
uma pá que está imersa na água. Neste caso a força que a água exerce na pá será:
Fd = −bv,
onde b é uma constante de amortecimento. Para este
sistema tem-se:
Fres = − kx − bv ⇒
ma = − kx − bv
sendo a = d 2 x / dt 2 vem:
m
d2x
dx
+ b + kx = 0
2
dt
dt
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A solução desta eq. Diferencial é dado por:
x(t ) = xm e − bt / 2 m cos(ω 't + φ )
onde
k
b2
ω =
−
m 4m 2
'