Lista de exercícios: Função Composta e Inversa – Problemas Gerais

Lista de exercícios: Função Composta e Inversa – Problemas Gerais – Prof ºFernandinho
Questões:
01.(FUVEST) Sejam 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 9 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 5𝑥 + 3. Qual é o valor da soma dos valores absolutos (módulo) das
raízes da equação 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥)?
02.(GV) Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções de ℝ em ℝ, tais que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 e 𝑔(𝑥) = 2 − 𝑥. Qual é o valor de x na equação
𝑓(𝑔(𝑥)) + 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑓(𝑥)) + 𝑔(𝑔(𝑥)).
03.(MACK) As funções 𝑓(𝑥) = 3 − 4𝑥 e 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 𝑚, onde 𝑚 é uma constante, são tais que 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)),
qualquer que seja x real. Nessas condições, qual é o valor da constante 𝑚?
04.(MP) Sendo 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 funções de ℝ em ℝ calcule:
a) o valor de 𝑓𝑜 𝑔𝑜 𝑓𝑜 𝑔𝑜 𝑔(3).
b) os valores reais de x para que se tenha 𝑓(𝑔(𝑥)) ≤ 2. 𝑔(𝑥)
05.(ESPM) Considere as funções 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥, definidas para todo x real estritamente positivo. Se
𝑎 > 0 e 𝑓(𝑔(2𝑎)) = 3, quanto vale 𝑓(𝑎)?
06.(MACK) Sejam as funções 𝑓 e 𝑔 de ℝ em ℝ, definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 10 e 𝑔(𝑥) = −5𝑥 + 20. Qual é o valor
da expressão 𝑦 =
(𝑓(4))2 − 𝑔(𝑓(4))
𝑓(0) − 𝑔(𝑓(0))
?
07.(MACK) Se 𝑓(𝑥) = √𝑎 − 𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = √𝑏 − 𝑥, e 𝑓(𝑔(2)) = 2, calcule o valor de 𝑓(𝑔(0)).
08.(MP) Para um número real fixo 𝛼, a função 𝑓(𝑥) = 𝛼. 𝑥 − 2 é tal que 𝑓(𝑓(1)) = −3. Qual é o valor de 𝛼?
09.(ESPM) Considere as funções reais 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 𝑘, com 𝑘 𝜖 ℝ. Podemos afirmar que
𝑓𝑜 𝑔(𝑥) = 𝑔𝑜 𝑓(𝑥) para qualquer x real se o valor de 𝑘 for igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) – 2
e) – 1
10.(ESPM) Na função real 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏, com 𝑎 e 𝑏 reais e 𝑎 ≠ 0, sabe-se que 𝑓(𝑥 2 − 1) = 3𝑥 2 − 2 para qualquer x
real. Então, podemos afirmar que:
a) 𝑎 + 𝑏 = 5
b) 2𝑎 − 𝑏 = 5
c) 𝑎 − 𝑏 = 1
d) 𝑎 − 2𝑏 = 0
e) 𝑎 + 2𝑏 = 7
11.(ESPM) Na função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥, o valor de 𝑓𝑜 𝑓(0) + 𝑓𝑜 𝑓(1) + 𝑓𝑜 𝑓(2) + 𝑓𝑜 𝑓(3) é:
a) 28
b) 29
c) 30
d) 31
e) 32
12.(MACK) Considere as funções 𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 5 e ℎ(𝑥) = 3𝑥 − 2, definidas em ℝ. Um estudante que resolve
corretamente a equação 𝑔(ℎ(𝑥)) + ℎ(𝑔(𝑥)) = 𝑔(ℎ(2)) − ℎ(𝑔(0)), encontra para x o valor:
a) −
5
12
b)
3
4
c) −
1
12
d)
5
12
e) −
12
5
13.(UNICAMP) Seja 𝑎 um número real positivo e considere as funções afins 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 3𝑎 e 𝑔(𝑥) = 9 − 2𝑥,
definidas para todo número real x.
a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) > 0.
b) Encontre o valor de 𝑎 tal que 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)) para todo número real x.
14.(MP) Qual á a função inversa da função bijetora 𝑓: ℝ − {−4} → ℝ − {2} definida por 𝑓(𝑥) =
2𝑥−3
?
𝑥+4
15.(GV) Considere as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), definidas para todos os números reais, tais que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 e
𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 3. Se ℎ(𝑥) é a função inversa de 𝑔(𝑥), então o valor de 𝑓(ℎ(𝑥𝑜 )) para 𝑥𝑜 = 7 é igual a:
a) 4
b) 22
c) 7
d) 17
e) 52
16.(FATEC) Parte do gráfico de uma função real 𝑓, do 1º grau, está representada na figura a seguir.
Sendo 𝑔 a função real definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥, o valor de 𝑓 −1 (𝑔(1)) é:
a) −
3
2
b) −
1
3
c)
1
3
17.(UNESP) Determine a função inversa de 𝑓(𝑥) =
d)
2
3
e)
3
2
𝑥−1
.
𝑥
1
18.(ESPM) Seja 𝑓(𝑥) =
uma função real definida para 𝑥 > 0 e seja 𝑓 −1 (𝑥) a sua função inversa. Qual é a solução da
𝑥+1
equação 𝑓(𝑥) = 𝑓 −1 (𝑥)?
19.(UFU) Sejam 𝑓 e 𝑔 funções reais de variável real definidas por 𝑔(𝑥) =
𝑓 −1 (𝑔(𝑓(𝑥)))
a)
5−𝑥
𝑥
𝑥+4
5
e 𝑓(𝑥) =
𝑥−5
,
𝑥
com 𝑥 ≠ 0. Assim, a função
é igual a:
b)
1+5𝑥
5𝑥
c) 5x
d)
1−5𝑥
𝑥
e)
1−𝑥
5𝑥
20. Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3, de domínio 𝐴 = ]−∞, 2] e contra domínio 𝐵 = [−1, +∞[.
a) Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥).
b) Obtenha a função 𝑓 −1 (𝑥).
21. Sendo 𝐴 = [1, +∞[, determine o conjunto 𝐵, dado que 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 10 é uma função bijetora e,
nessas condições, obtenha também a função 𝑓 −1 (𝑥).
22. Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 com 𝐴 = [5, 8] e 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 10𝑥 + 21. Sabe-se ainda que 𝑓(𝑥) é bijetora. Obtenha:
a) o conjunto imagem de 𝑓(𝑥).
b) a função inversa 𝑓 −1 (𝑥).
23. Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵 com 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ / 4 < 𝑥 ≤ 6} e 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 − 5. Sabe-se ainda que a função f é bijetora.
a) Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥).
b) Obtenha o conjunto imagem de 𝑓(𝑥).
c) Obtenha a função 𝑓 −1 (𝑥), inversa da função 𝑓(𝑥).
d) Esboce o gráfico de 𝑓 −1 (𝑥)
24.(FUVEST) Considere a função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 2𝑥 + 2, definida para todo x real, tal que 𝑥 ≥ −1. Encontre
para a função 𝑓(𝑥) a sua função inversa 𝑓 −1 (𝑥).
25.(UNICAMP) Considere o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) exibido na figura a seguir.
O gráfico da função inversa 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) é dado por:
a)
c)
b)
d)
Gabarito:
02. 𝑥 =
2
3
03. 𝑚 = −
05. 1
06. 𝑦 =
13
07. √2
08. 𝛼 = 1
09. A
10. B
11. D
12. C
15. C
16. D
19. C
20. 𝑓 −1 (𝑥) = 2 − √𝑥 + 1
13.
𝑎) 7
𝑏) 𝑎 = 0,5
17. 𝑓 −1 (𝑥) =
1
1−𝑥
4
14. 𝑓 − 1 (𝑥) =
18. 𝑥 =
√5−1
2
4𝑥+3
2−𝑥
6
5
𝑎) 7
01. Soma = 7
04.
𝑎) 𝐼𝑚 = [− 4, 5]
𝑏) 𝑓 −1 (𝑥) = 5 + √4 + 𝑥
21.
𝐵 = [9, +∞[
𝑓 −1 (𝑥) = 1 + √𝑥 − 9
22.
23.
𝑏) 𝐼𝑚 = ]− 5, 7]
𝑐) 𝑓 −1 (𝑥) = 2 + √9 + 𝑥
24. 𝑓 −1 (𝑥) = −1 + √𝑥 − 1
25. C
5
2
𝑏) 𝑆 = [ , 3]