Função Inversa - PET Engenharias

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CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2
Função Inversa
Alex Oliveira da Silva - Engenharia Civil
Função Injetora
Definição 1
Uma função f é chamada função injetora se ela
nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é;
𝑓(x1 )≠𝑓(x2 )
sempre que x1 ≠ x2
Teste da Reta Horizontal
Função Sobrejetora
Definição 2;
Seja f uma função com domínio A e imagem B.
Dizemos que a função é sobrejetora se a Imf=B.
Equivalente para todo elemento y pertence a B,
existe x pertence a A tal que y = f(x).
Exemplificando
A função sucessor
f: IN->IN definida por f(n)=n+1 não é sobrejetora,
pois Im(f) = IN* e IN*≠ IN. Em outras palavras, dado 0
Є IN, não há natural algum que seja transformado
em 0 pela função f, isto é, 0 não é sucessor de
nenhum número natural.
Função Bijetora
Definição 3
Seja f uma função. Dizemos que f é bijetora, se for
injetora e sobrejetora.
Função Inversa
Seja f uma função bijetora com domínio A e imagem
B. Então sua função inversa 𝑓 −1 tem domínio B e
imagem A, sendo definida por
𝑓 −1 y = x
f x =y
Equações de Cancelamento
𝑓 −1 (f(x)) = x
para todo x em A
f(𝑓 −1 (x)) = x
para todo x em B
Como Achar a Inversa de Uma Função
Passo 1: Escreva y = f(x)
Passo 2: Isole x nessa equação, escrevendo-o em
termos de y.
Passo 3: Para expressar 𝑓 −1 como uma função de x,
troque x por y.
A equação resultante é y = 𝑓 −1 (x)
Exemplo 01
Encontre a função inversa de f(x) = 𝑥 3 + 2
Exemplo 02
Esboce os gráficos de f(x) = 𝑥 3 e de sua função
inversa, usando o mesmo sistema de coordenadas.
Gráfico da Inversa:
g(x) = 𝑥 3
h(x) = 𝑥 1/3
y=x
Funções Trigonométricas
Inversas
Funções Trigonométricas Inversas
Função Seno
Seno com Domínio Restringido
Logo;
sen y = x
𝑠𝑒𝑛−1 x = y
Com;
𝜋
2
- ≤y≤
𝜋
2
Exemplo 01
(a) Calcule
1
−1
𝑠𝑒𝑛 ( )
2
(b) Calcule tg (arcsen
3
)
2
Cosseno com Domínio Restringido
Logo;
cos y = x
𝑐𝑜𝑠 −1 x = y
Com;
0≤y≤𝜋
Exemplo 02
Encontre o valor exato da expressão 𝑐𝑜𝑠 −1 (-1).
Tangente com Domínio Restringido
Exemplo 03
Simplifique a expressão cos(𝑡𝑔−1 x).
Obrigado pela atenção!
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