gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
MATEMÁTICA – 2ª SÉRIE
COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
LISTA DE APOIO – FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA - GABARITO
1) Sejam f e g funções reais definidas por f ( x)  3 x  1 e g ( x)  x  2 . Determine:
Solução.
a) f ( g (5)) = f(5-2) = f(3) = 3(3) + 1 = 10.
b) g ( f (2)) = g[3(-2) + 1] = g(-5) = - 5 – 2 = – 7
c) f ( g ( x)) = f(x – 2) = 3(x – 2) + 1 = 3x – 6 + 1 = 3x – 5.
d) g ( f ( x)) = g(3x + 1) = (3x + 1) – 2 = 3x – 1.
2) Sejam f : R  R tal que f ( x)  x 2  2 x e g : R  R tal que g ( x )  x  1 . Determine:
Solução.
a) f g (1) = f(1 + 1) = f(2) = (2)2 – 2 (2) = 4 – 4 = 0.
b) g
f (2) = g[(2)2 – 2(2)] = g(4 – 4) = g(0) = 0 + 1 = 1.
c) f ( g ( f (4))) = f(g[(4)2 – 2(4)] = f(g(16 – 8)) = f(g(8)) = f(8 + 1) = f(9) = (9)2 – 2(9) = 81 – 18 = 63.
d) f ( f (1)) = f[(-1)2 – 2(- 1)] = f(1 + 2) = f(3) = (3)2 – 2(3) = 9 – 6 = 3.
3) Sejam f , g e h funções reais definidas por f ( x)  x3 , g ( x)  x  3 e h( x)   x 2 . Determine:
Solução.
a) f
g ( x ) = f(x + 3) = (x + 3)3 = x3 + 6x2 + 27x + 27.
b) g
f ( x ) = g(x3) = x3 + 3.
c) h
f ( x) = h(x3) = - (x3)2 = - x6.
d) f
h( x) = f(- x2) = (- x2)3 = - x6.
4) Sejam as funções f e g reais definidas por f ( x)  2 x  a e g ( x)  3 x  2 com a  R.
Determine a a fim de que, para todo x real, f ( g ( x)) = g ( f ( x)) .
Solução.
i) f(g(x)) = f(3x – 2) = 2(3x – 2) + a = 6x – 4 + a
ii) g(f(x)) = g(2x + a) = 3(2x + a) – 2 = 6x + 3a – 2
Se f(g(x)) = g(f(x)), então: 6x – 4 + a = 6x + 3a – 2.
Temos: a – 3a = 4 – 2. Logo – 2a = 2 implicando que a = - 1.
VERIFICAÇÃO: f(g(x)) = 6x – 4 – 1 = 6x – 5.
g(f(x)) = 6x + 3(-1) – 2 = 6x – 3 – 2 = 6x – 5.
5) Sejam f e g funções reais definidas por f ( x)  x  1 e g ( x)  x 2  3 .
Resolva, em R, as equações:
Solução.
i) f(g(x)) = f(x2 – 3) = (x2 – 3) – 1 = x2 – 4.
ii) g(f(x)) = g(x – 1) = (x – 1)2 – 3 = x2 – 2x + 1 – 3 = x2 – 2x – 2.
iii) g(g(x)) = g(x2 – 3) = (x2 – 3)2 – 3 = x4 – 6x2 + 9 – 3 = x4 – 6x2 + 6.
2
a) f ( g ( x))  0 . x  4  0  x  2
2
2
b) g ( f ( x))  1 . x  2 x  2  1  x  2 x  3  0  ( x  1)( x  3)  0  x  1; x  3
x 4  6x 2  6  1  x 4  6x 2  5  0
c) g ( g ( x))  1 .
x 2  y  y 2  6 y  5  0  ( y  1)( y  5)  0  y  1; y  5
y  1  x 2  1  x  1
y  5  x2  5  x   5
6) Sejam f ( x)  x 2  5x  6 e g ( x)  2 x  1 , qual é a solução da equação
f (1)  g ( x) f (2)
?

f [ g (2)]
f (0)
Solução.
i) f(1) = (1)2 – 5(1) + 6 = 1 – 5 +6 = 2
ii) f(2) = (2)2 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0
iii) f(0) = (0)2 – 5(0) + 6 = 0 – 0 + 6 = 6
iv) f(g(2)) = f[2(2) + 1)] = f(4 + 1) = f(5) = (5) 2 – 5(5) + 6 = 25 – 25 + 6 = 6
f (1)  g ( x) f (2)
2  g ( x) 0


  2  g ( x)  0  g ( x)  2.
f [ g (2)]
f (0)
6
6
7) Sendo g(x) = 3x + 1 e g(f(x)) =
3x
 11 , determine f(x).
2
Solução.
g(f(x)) = 3.f(x) + 1. Igualando ao valor indicado no problema, temos:
3x
 11  6. f ( x)  2  3 x  22  6. f ( x)  3 x  24
2
3 x  24
f ( x) 
6
3. f ( x )  1 
8) Sendo g(x) = 2x - 1 e f(g(x)) = 2x – 5, determine f(x).
Solução.
2x  1  t
Fazendo a substituição de g(x) = 2x – 1 = t, vem:
t 1
x
2
f ( g ( x))  f (t )  2.
t 1
 5  t  4 . Como a lei vale para qualquer variável, temos: f(x) = x – 4.
2
9) Seja a função f definida por f ( x  2)  2 x 2  4 x  3. Obtenha f (x) .
Solução.
Substituindo x + 2 = t então x = t – 2.
f ( x  2)  f (t )  2(t  2) 2  4(t  2)  3
f (t )  2(t 2  4t  4)  4t  8  3  2t 2  8t  8  4t  8  3 . Como a lei de f vale para qualquer
f (t )  2t 2  12t  19
variável, temos: f(x) = 2x2 – 12x + 19.
10) Seja a função f : R  R , definida por f ( x)  3 x  4 .
Solução.
f ( x)  3 x  4
a) Obtenha a função inversa f . y  3 x  4
1
x  3 y  4  3 y  4  x  y 
4 x
4 x
 f 1 ( x) 
.
3
3
f (2)  3(2)  4  6  4  2
b) Calcule f (2) e f (3) . 1
4  (3) 4  3 7
f (3) 

 .
3
3
3
1
11) Determine a função inversa em cada caso:
Solução.
f ( x) 
a) f ( x ) 
1
1
y
x
x
1
( f : R*  R* ).
1
1
1
x
x   xy  1  y   f 1 ( x)  .
y
x
x
h( x )  x 3  1
3
b) h( x)  x3  1 . y  x  1
x  y 3  1  y 3  x  1  y  3 x  1  h 1 ( x)  3 x  1.
2x  1
x 1
2x  1
y
2x  1
x 1
c) f ( x) 
( f : R  {1}  R  {2} ).
x 1
2y 1
x
 xy  x  2 y  1  xy  2 y  x  1
y 1
x 1
x 1
y
 f 1 ( x) 
x2
x2
f ( x) 
g ( x) 
d) g ( x) 
1
x 1
1
1
( f : R  {1}  R* ). y 
x 1
x 1
1
1 x
1 x
x
 xy  x  1  y 
 g 1 ( x) 
.
y 1
x
x
12) Obtenha f 1 (7) , sabendo que f ( x) 
1
.
3x  1
Solução.
1
3x  1
1
y
3x  1
1
1 x
1 x
x
 3xy  x  1  y 
 f 1 ( x) 
3y  1
3x
3x
1 7  6  3
f 1 (7) 


3(7) 21
7
.
f ( x) 
13) Dada f(x) = ax + 3, com a ≠ 0, determine o valor de a sabendo que f -1(6) = 3.
Solução.
f ( x)  ax  3
y  ax  3
x  ay  3  ay  x  3  y 
f
1
(6) 
3a  3
a  1.
.
63
3
a
x3
 f
a
1
( x) 
x3
a