problema do triângulo acutângulo

PROBLEMA DO TRIÂNGULO ACUTÂNGULO
Sobre os lados AB e AC de um triângulo acutângulo ABC são
construídos, exteriormente ao triângulo, semicírculos tendo estes
lados como diâmetros. As retas contendo as alturas relativas aos
lados AB e AC cortam esses semicírculos nos pontos P e Q.
Prove que AP = AQ.
RESOLUÇÃO :
1o) Traçando-se os segmentos PB e QC, temos que os triângulos PAB e QAC são
retângulos em P e Q, respectivamente. Logo
(AQ)2 = (AC).(AD) (I)
(AP)2 = (AB).(AE) (II)
e
2o) Por outro lado, tem-se
AD = (AB)cos(BÂC) (III)
e
AE = (AC)cos(BÂC) (IV)
3o) Substituindo (III) e (IV) em (I) e (II), respectivamente, tem-se
(AQ)2 = (AC). (AB)cos(BÂC) e (AP)2 = (AB). (AC)cos(BÂC)
Então, (AQ)2 = (AP)2 ⇒ AQ = AP.