gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III
1a SÉRIE - MATEMÁTICA
COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
LISTA DE APLICAÇÕES DAS LEIS DO SENO E COSSENO - GABARITO
1) Um triângulo é tal que AB = 2 3 cm e AC = 6cm. Calcule a medida do lado BC sabendo que os
ângulos internos dos vértices B e C são tais que B = 2C.
Solução. O lado AC está oposto ao ângulo B. O lado AB está oposto ao ângulo C. Aplicando a lei
dos senos, temos:
6
2 3

. O termo sen2C pode ser desenvolvido como: 2senCcosC.
sen 2C senC
Voltando ao problema, temos:
2 3 (2senC cos C )
6
2 3
6
6 3
3

6
 6  4 3 cos C  cos C 


. Logo C = 30º
sen 2C senC
senC
2
4 3 4 3 3
e B = 2C = 60º. Esse resultado indica que o terceiro ângulo vale 90º e o triângulo é retângulo. O
 
2
lado BC oposto ao ângulo reto é hipotenusa e vale: a  6  2 3
2
 36  12  48  4 3cm.
2) No triângulo da figura, x = 30º, y = 15º e AC mede 15 2 . Calcule o lado BC.
Solução. O ângulo B vale: 180º - (30º + 15º) = 135º.
Aplicando a lei dos senos, temos:
15 2
BC
15 2
BC
15 2 BC





1
senB senx
sen135º sen30º
2
2
2
1
2
15 2.  BC .
 BC  15.
2
2
3) Considere um triângulo cujos lados medem 5cm, 6cm e 9cm. Qual a área de um quadrado cujo lado é
a mediana relativa ao maior lado do triângulo considerado em centímetros quadrados?
Solução. Aplicando a lei dos cossenos, temos:
i) 6  5  9  2(5)(9) cos y  cos y 
2
2
2
2
36  106 70

 90
90
9
9
m  5     2(5)( ) cos y
2
2
ii)
.
81
70
2
2
2
m  25   45( )  m  10,25cm
4
90
2
2
4) Calcule o cosseno do ângulo obtuso x do triângulo ABC.
Solução. Aplicando a lei dos senos, temos:
3
4
3
4
1

 
 3senx  4.
1 senx
sen30º senx
2
2
2
2
3senx  2  senx  .  cos x  1   
3
3
cos x  1 
cos x  
2
4
5
5


9
9
3
5
(obtuso  negativo)
3
5) Calcule a soma dos lados AC e BC do triângulo.
Solução. Aplicando a lei dos senos, temos:
 
3 2
BC
3 2
4
3 2




1
sen30º sen 45º
2
2
i)
2
2
32. BC
2.3.2

 BC 
6
2
2
2
2
 BC .
1
2
ii) Aplicando a lei dos cossenos em relação ao lado AB, temos:
(3 2 ) 2  BC 2  AC 2  2( BC )( AC ) cos 30º  12  36  AC 2  2(6)( AC ).
3
2
12 3
AC 
AC  18  36  0  AC 2  6 AC  18  0  AC 2  6 3 AC  18  0
2
. Resolvendo:
2
AC 
 (6 3 )  108  4(1)(18) 6 3  36 6 3  6


 3( 3  1) . Como o ângulo oposto
2
2
2
ao lado AC é obtuso, ele é o maior lado. Logo AC = 3( 3  1). Logo a soma pedida AC + BC será o
valor AC  BC  6  3( 3  1)  3(2,73)  6  14,2.
6) Calcule o valor de cos x no triângulo da figura.
Solução. Aplicando a lei dos cossenos, temos:
2
 3R 
2
2
2
2
2
   R  R  2( R)( R) cos x  9 R  8 R  8( R ) cos x
 2 
1
R 2  8( R 2 ) cos x  cos x 
8
7) Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do
trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio. Se o ângulo XYZ é o
dobro do ângulo XWZ, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é:
(A) 7,5.
(B) 5,7.
Solução. Traçando uma paralela ao
lado WX, construímos um triângulo
isósceles com os dois ângulos iguais
(C) 4,7.
a “b”. Logo, o lado YZ possui a
(D) 4,3.
mesma medida de 3,7km do outro
(E) 3,7.
lado.
8) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terreno plano. Um observador, no pé do
edifício X (ponto P), mede um ângulo α em relação ao topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, no
topo do edifício X, num ponto R, de forma que RPTS formem um retângulo e QT seja perpendicular a
PT, esse observador mede um ângulo β em relação ao ponto Q no edifício Y. Sabendo que a altura do
edifício X é 10 m e que 3 tg α = 4 tg β, a altura h do edifício Y, em metros, é:
(A)40/3
Solução. Observando os triângulos QPT e
(B)50/4
QRS, calculamos as tangentes de  e :
(C) 30.
tg 
(D) 40.
QT
h

e
PT PT
tg 
QS h  10

. Como
RS
PT
h
h  10
 4.
3tg = 4tg, temos:
PT
PT
3h  4h  40  h  40m
3.
(E) 50.
9) Calcule a área do triângulo.
Solução. A área do triângulo é dada pelo metade do produto
da base pela altura: A 
b.h
. A base “x” pode ser calculada
2
7 2  5 2  x 2  2(5)( x) cos 60º
1
2
( x  8)( x  3)  0  x  8( positiva)
pela lei dos cossenos: 49  25  x 2  10 x   x 2  5 x  24  0
 3

(8).(5).
 40 3
2
h


 10 3  17
Como  sen60º  h  5sen60º , a área do triângulo será: A 
2
4
5