Capítulo 10 Excitação Senoidal e Fasores

EA-513 – Circuitos Elétricos I
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Capítulo 10
Excitação Senoidal e Fasores
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10.1 Propriedades das Senóides:
Onda senoidal:
Vm
v(t ) = Vm sen (ωt )
π/ω
Amplitude = Vm
-Vm
Freqüência angular = ω [rad/s]
Senóide é uma função periódica:
v(t + T ) = v(t )
Período: T = 2π/ω
Freqüência: f = 1/T = ω/2π
Expressão geral: v(t ) = Vm sen (ωt + φ )
onde φ é o ângulo de fase.
2π/ω
t
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Curva de uma senóide defasada de φ radianos:
v(t ) = Vm sen (ωt + φ )
v(t ) = Vm sen (ωt )
φ/ω
π/ω
Note que:
π

cos ωt −  = sen (ωt )
2

π

sen ωt +  = cos(ωt )
2

2π/ω
t
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Exemplo: Determinação de quanto uma senóide antecede ou segue outra da
mesma freqüência.
v1 = 4 cos(ωt + 30°)
v2 = −2 sen (ωt + 18°)
v2 = 2 sen (ωt + 18° + 180°)
v2 = 2 cos(ωt + 18° + 180° − 90°)
v2 = 2 cos(ωt + 108°)
Portanto, v1 antecede v2 de 30º − 108º = −78º, ou v1 está defasada em relação a
v2 de 78º.
Soma de uma senóide com uma cossenóide de mesma freqüência:
2
A
A cos(ωt ) + B sen (ωt ) = A + B 
cos(ωt ) +
2
2
 A + B
2

sen (ωt )
2
2

A +B
B
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B
A2 + B 2
θ
A
A cos(ωt ) + B sen (ωt ) = A2 + B 2 [cos(ωt ) cos(θ ) + sen (ωt )sen (θ )]
ou
A cos(ωt ) + B sen (ωt ) =
A2 + B 2 [cos(ωt − θ)]
 B
θ = tan −1 
 A
Obs.:
cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) = cos(a − b)
cos(a)cos(b) − sen(a)sen(b) = cos(a + b)
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Exemplo:
− 5 cos(3t ) + 12 sen (3t ) =
(− 5)2 + 122 [cos(3t − θ)]
 12 
θ = tan −1  = 112,6°
 − 5
− 5 cos(3t ) + 12 sen (3t ) = 13[cos(3t − 112,6°)]
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10.2 Exemplo de um Circuito RL
Encontrar if .
vg = Vm cos(ωt)
R
+
−
i
L
L
di
+ Ri = Vm cos(ωt )
dt
Por tentativa, temos: i f = A cos(ωt ) + B sen (ωt )
L
d
[A cos(ωt ) + B sen(ωt )] + R[ A cos(ωt ) + B sen(ωt )] = Vm cos(ωt )
dt
− LωA sen (ωt ) + LωB cos(ωt ) + RA cos(ωt ) + RB sen (ωt ) = Vm cos(ωt )
Então:
LωB + RA = Vm
− LωA + RB = 0
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Assim,
A=
B=
RVm
2
2 2
R +ω L
ωLVm
R 2 + ω2 L2
Portanto,
if =
RVm
2
2 2
R +ω L
cos(ωt ) +
ωLVm
2
2 2
R +ω L
sen (ωt )
mas
A cos(ωt ) + B sen (ωt ) =
A2 + B 2 [cos(ωt − θ)]
 B
θ = tan −1 
 A
Portanto,
if =

 ωL 
cos ωt − tan −1

2
2 2
R



R +ω L
Vm
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Então, podemos escrever a corrente forçada como:
i f = I m cos[ωt + φ]
onde
Im =
Vm
R 2 + ω2 L2
 ωL 
φ = − tan −1

 R 
Resposta natural:
 R 
in = A1 exp − t 
 L 
A corrente se estabiliza em seu valor de regime permanente c.a. dado pela
corrente forçada.
Método muito trabalhoso para a obtenção das equações de corrente!
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10.3 Método Alternativo utilizando Números Complexos
Para a análise de circuitos com excitação senoidal.
Propriedades dos números complexos:
Representação na forma retangular de um número complexo:
A = a + jb
onde j = − 1, a = parte real de A e b = parte imaginária de A.
Representação na forma polar:
A = Ae
jα
= A ∠α
Im
A = a + jb
b
onde
2
A = a +b
2
b
α = tan −1 
a
A
α
a
Re
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Exemplo: A = 4 + j 3
A = 42 + 32 = 5
(4 )
α = tan −1 3 = 36,9°
A = 5∠36,9°
Exemplo: A = −5 −j 12
Im
A=
(− 5)2 + (− 12)2 = 13
( )
α = 180º + tan −1 − 12 = 247,4°
−5
-5
α
Re
A = 13∠247,4°
A
A = −5 − j12
-12
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Outras relações úteis:
j = 1∠90°
2
j = −1 = 1∠180°
Fórmula de Euler:
Vm cos(ωt ) + jVm sen (ωt ) = Vme
Re Vme

jωt 
ImVme

jωt 
 = Vm cos(ωt )

 = Vm sen (ωt )

jωt
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Retomando o exemplo do circuito RL:
R
vg = Vm cos(ωt)
+
−
i
L
Seja v1 = Vmejωt a excitação complexa do circuito, então
vg = Vm cos(ωt) = Re{v1}
Componente forçada da corrente i1 na forma complexa deve resolver a equação:
di
L 1 + Ri1 = v1
dt
onde v1 = Vme jωt
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Para resolver a equação vamos tentar:
i1 = Ae
jωt
Então,
di
jωt
L 1 + Ri1 = Vme
dt
jωLAe
( jωL + R ) Ae jωt
= Vme
jωt
jωt
Logo,
A=
=
Vm
R + j ωL
Vm
R 2 + ω2 L2
 ωL 
− j tan −1

R


e
+ RAe
jωt
= Vme
jωt
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Então:
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−1  ωL  

− j tan 

Vm
jωt 
 R   jωt
i1 = Ae
=
e
e
2
2 2
 R +ω L



i1 =
Vm
2
2 2
R +ω L

 ωL  
j ωt − tan −1

R


e 
mas if = Re{i1}, assim
−1  ωL   


j ωt − tan 


Vm
 R   

i f = Re 
e
=
2
2 2
 R +ω L



−1 ωL  

cos ωt − tan 

2
2 2
R 


R +ω L
Vm
Portanto, se i1 é a resposta complexa para a função excitação complexa v1,
então if = Re{i1} é a resposta para a excitação vg = Re{v1}.
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Note que:
jωt
 di

Re  L 1 + Ri1  = Re Vme 


 dt

pode ser escrita como:
L
d
(Re{i1}) + R(Re{i1}) = Vm cos(ωt )
dt
e, portanto, de
L
di
+ Ri = Vm cos(ωt )
dt
temos:
i = i f = Re{i1}
Portanto, é mais fácil usar a função excitação complexa v1 para encontrar a
resposta complexa i1.
A função excitação real é Re{v1} ⇒ a resposta real é Re{i1}.
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10.4 Excitações Complexas
Sem perda da generalidade, vamos considerar a entrada como sendo uma fonte
de tensão e a saída como sendo uma corrente através de um elemento.
Em geral, a excitação é da forma:
v g = Vm cos(ωt + θ)
Enquanto que a resposta forçada é da forma:
i = i f = I m cos(ωt + φ )
Portanto, sabendo-se os valores de ω, θ e Vm, podemos calcular Im e φ.
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vg = Vm cos(ωt + θ)
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+
−
Circuito
i = I m cos(ωt + φ )
Para resolver i no circuito, vamos considerar a excitação complexa:
v1 = Vme j (ωt + θ )
v1 = Vme
j (ωt + θ )
+
−
Pois sabemos que i = Re{i1}
Circuito
i1
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A equação representativa do circuito pode ser resolvida para a resposta forçada,
visto que
v1 = Vme jθe jωt
a solução tentativa é:
i1 = Ae jωt
Comparando i = I m cos(ωt + φ ) com i = Re{i1}, temos
Assim,
jωt
I m cos(ωt + φ) = Re Ae 


A = I me
e
jφ
jφ jωt
i1 = I me e
Re{ }
i = I m cos(ωt + φ )
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Exemplo: Cálculo da resposta forçada if de
d 2i
+2
di
+ 8i = 12 2 cos(2t + 15°)
dt
dt 2
Troca para a excitação complexa:
v1 = 12 2e j (2t +15° )
Resposta complexa i1 deve satisfazer:
d 2i1
di
+ 2 1 + 8i1 = 12 2e j (2t +15° )
dt
dt 2
Então, i1 pode ter a seguinte forma:
i1 = Ae j 2t
Substituindo, obtemos
d
(
Ae j 2t ) + 2 (Ae j 2t ) + 8(Ae j 2t ) = 12
dt
dt 2
d2
2e j (2t +15° )
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Assim,
(− 4 +
j 4 + 8) Ae j 2t = 12 2e j15°e j 2t
Logo,
12 2e j15° 12 2∠15°
=
= 3∠ − 30°
A=
4 + j4
4 2∠45°
Portanto,
i1 = Ae j 2t = (3∠ − 30°)e j 2t = 3e j (2t −30° )
E a resposta real é:
{
i = Re{i1} = Re 3 e j (2t −30° )
} = 3cos(2t − 30°)
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Exercício: Calcular a resposta forçada v:
10 Ω
a)
i
vg = 10e
j8t
[V]
+
−
1/20 F
5Ω
v − vg
10
+i+
v − vg
10
dv
+ 6v = 2vg
dt
1 dv
=0
20 dt
5i = v
v 1 dv
+ +
=0
5 20 dt
dv
j8t
+ 6v = 20e
dt
+
v
-
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Resposta forçada:
v = Ae
j8t
dv
j8t
+ 6v = 20e
dt
(6 + j8) Ae j8t
A=
j8 Ae
j8t
= 20e
j8t
+ 6 Ae
j8t
20
20∠0°
=
= 2∠ − 53,1°
6 + j8 10∠53,1°
v = 2e
− j 53,1° j8t
e
= 2e
j (8t −53,1° )
b) Se vg = 10 cos(8t) [V], então:
{
}
v = Re 2e j (8t −53,1° ) = 2 cos(8t − 53,1°)
= 20e
j8t
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10.5 Fasores
Fasores permitem colocar os resultados obtidos anteriormente em uma forma
mais compacta.
Tensão senoidal:
v = Vm cos(ω t + θ )
Forma fasorial
V = Vme
jθ
= Vm∠θ
Razão para a definição de fasor (fórmula de Euler):
{
Vm cos(ωt + θ ) = Re Vme
Assim,
{
v = Re Ve
jω t
}
jθ j ω t
e
}
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Exemplo: Dado v = 10 cos(4t + 30°)
[V]
Representação fasorial:
V = 10∠30° [V ]
Visto que ω = 4 rad/s, v é prontamente obtida de V.
Representação fasorial para corrente:
i = I m cos(ω t + φ )
I = I me
jφ
= I m∠φ
Exemplo: Dado ω = 6 rad/s, e I = 2∠15º, então temos:
i = 2 cos(6 t + 15°)
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Representação fasorial para tensão e corrente é feita a partir da representação
temporal na forma de cosseno.
Exemplo: Dada a função: v = 8 sen (3t + 30°)
[V]
Podemos mudá-la para:
v = 8 cos(3t + 30° − 90°)
= 8 cos(3t − 60°)
Assim, a representação fasorial é:
V = 8∠ − 60° [V ]
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Exemplo:
vg = Vm cos(ωt)
R
+
−
L
i
L
di
+ Ri = Vm cos(ω t )
dt
v1 = Vme
jω t
= Ve
jω t
pois θ = 0 e portanto, V = Vm ∠0º. Substituindo este valor e fazendo i = i1 na
equação representativa, temos:
di
jω t
L 1 + Ri1 = Ve
dt
onde i = Re{i1}
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Tentando a solução: i1 = Ie jω t
obtemos:
jωLIe jω t + RIe jω t = Ve jω t
j ωL I + R I = V
Assim,
I=
V
=
R + jωL
Vm ∠0º
 ωL 
R 2 + ω 2L2 ∠ tan−1

R 
=
 ωL 
∠ − tan−1

2
2 2
R


R +ω L
Vm
Substituindo na expressão de i1, obtemos
i1 =
 
−1 ω L  
exp j ω t − tan 
 
2
2 2
R

 


R +ω L
Vm
Tomando a parte real desta expressão temos:
i=

−1 ω L 
cos ω t − tan 

2
2 2
R



R +ω L
Vm
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Note que podemos ir da equação característica do circuito:
L
di
+ Ri = Vm cos(ωt )
dt
direto para a equação fasorial:
j ωL I + R I = V
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10.6 Relações Tensão-Corrente para Fasores
Tensão-Corrente para resistores:
v = Ri
onde
v = Vm cos(ωt + θ )
i = I m cos(ωt + φ )
Tensão e corrente complexas:
v1 = Vme j (ω t +θ )
i1 = Ime j (ω t +φ )
Substituindo na lei de Ohm e eliminando o fator ejωt:
Vme j (ω t +θ ) = RIme j (ω t +φ )
Vme
jθ
= RI me
jφ
V = RI
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Da equação:
Vme
jθ
= RI me
jφ
podemos verificar que
Vm = RI m
θ =φ
Portanto, a tensão e a corrente senoidais para um resistor possuem o mesmo
ângulo de fase, isto é, estão em fase.
v,i
v
i
t
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Exemplo: R = 5 Ω, v = 10 cos(100t + 30º) [V]
I
i
+
v
+
R=5Ω
V = RI
−
−
V = 10∠30° [V ]
I=
V 10∠30°
=
= 2∠30° [A ]
R
5
No domínio do tempo:
i = 2 cos(100t + 30°)
[A]
R=5Ω
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Tensão-Corrente para indutores:
i
I
+
+
v = Ldi/dt
V = jωLI
L
−
−
v=L
di
dt
Tensão e corrente complexas: v1 = Vme j (ωt +θ )
Vme j (ωt +θ ) = L
Vme
jθ
[
i1 = I me j (ωt +φ )
]
d
I me j (ωt +φ ) = jωLI me j (ωt +φ )
dt
= jωLI me
jφ
V = j ωL I
jωL
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Se a corrente no indutor é dada pela a equação i = I m cos(ωt + φ )
Então, como j = 1∠90º, temos:
V = jωLI = jωL(I m∠φ )
= ωL( I m∠φ + 90°)
Portanto, no domínio do tempo temos: v = ωLI m cos(ωt + φ + 90°)
Comparando com i = I m cos(ωt + φ ) , verificamos que a corrente está atrasada da
tensão de 90º.
v,i
v
i
t
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Tensão-Corrente para capacitores:
I= jωCV
i = Cdv/dt
+
+
v
1/jωC
V
C
−
−
i = C dv
dt
Tensão e corrente complexas: v1 = Vme j (ωt +θ )
I me j (ωt +φ ) = C
I me
jφ
[
i1 = I me j (ωt +φ )
]
d
Vme j (ωt +θ ) = jωCVme j (ωt +θ )
dt
= jωCVme
jθ
I = jωCV
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Se a tensão no capacitor é dada pela a equação v = Vm cos(ω t + θ )
Então, como j = 1∠90º, temos:
I = jωCV = jωC (Vm ∠θ )
= ωCVm ∠(θ + 90°)
Portanto, no domínio do tempo temos:
i = ωCVm cos(ωt + θ + 90°)
Comparando com v = Vm cos(ωt + θ ) , verificamos que a corrente está adiantada
da tensão de 90º.
v,i
v
i
t
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Exemplo: Capacitor C = 1 µF e tensão igual a v = 10 cos(100t + 30°)
i = Cdv/dt
+
C = 1 µF
v
−
( )
I = j ω C V = ( j100 ) ⋅ 10−6 ⋅ (10∠30°)
= 1∠120°
[A]
[mA]
Corrente no domínio do tempo:
i = cos(100t + 120°)
[mA]
[V]
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10.7 Impedância e Admitância
Circuito geral com grandezas fasoriais:
I
+
V
_
Circuito
Fasorial
V = Vm∠θ
I = I m∠φ
Impedância Z do circuito:
Z=
V
Z = Z ∠θ z = m ∠(θ − φ )
Im
V
I
[Ω]
V
Z= m
Im
θz = θ − φ
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Impedância Z segue as mesmas regras dos resistores em circuitos.
A impedância é um número complexo mas não é um fasor.
Impedância na forma retangular:
Z = R + jX
onde
R = Re{Z} = componente resistiva (resistência)
X = Im{Z} = componente reativa (reatância)
Em geral, Z = Z(jω) é uma função complexa de jω mas R = R(ω) e X = X(ω) são
funções reais de ω.
Note que
Z = R2 + X 2
θ z = tan −1
X

R
 
|Z|
X
θz
R
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Exemplo: V = 10∠56,9º e I = 2 ∠20º
I
+
Circuito
Fasorial
V
_
Z=
V 10∠56,9°
=
= 5∠36,9°
I
2∠20°
[Ω]
Forma retangular:
Z = 5[cos(36,9°) + j sen (36,9°)]
= 4 + j3
[Ω]
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Impedância Z de resistores, indutores e capacitores:
ZR = R
Z L = jωL
ZC =
1
jω C
=−j
1
1
=
∠ − 90°
ωC ωC
No caso do resistor, a impedância é puramente resistiva, sendo a reatância
zero.
No caso do indutor e do capacitor, a impedância é reatância pura, sem
componente resistiva.
Reatância indutiva:
X L = ωL
Reatância capacitiva: X C = −
1
ωC
Z L = jX L
ZC = jX C
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A reatância indutiva é positiva e a reatância capacitiva é negativa.
No caso geral, Z = R + jX podemos ter as seguintes situações:
• X = 0 ⇒ circuito resistivo.
• X > 0 ⇒ circuito indutivo.
• X < 0 ⇒ circuito capacitivo.
A recíproca da impedância é chamada de admitância:
Y=
1
Z
Y = G + jB
onde G = Re{Y} é a condutância e B = Im{Y} é a susceptância.
Y = G + jB =
1
1
=
Z R + jX
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Relação entre as componentes de Y e Z:
G + jB =
G + jB =
1
R + jX
 R − jX 
×

R
−
jX


R − jX
2
R +X
2
Assim,
G=
R
2
R +X
B=−
2
X
2
R +X
2
Importante: R e G (X e B) não são recíprocos!!!
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Exemplo: Z = 4 + j 3
Então,
Y=
1
4 − j3
4
3
=
=
−j
4 + j 3 42 + 32 25
25
Portanto,
G=
4
25
B=−
3
25
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10.8 Leis de Kirchhoff e Associações de Impedâncias
As leis de Kirchhoff são válidas para fasores, assim como para as tensões e
correntes correspondentes no domínio do tempo.
A lei de Kirchhoff de tensões aplicada em um laço típico resulta na equação:
V1e
j (ωt +θ1 )
+ V2e
j (ωt +θ 2 )
+ L + VN e
j (ωt +θ N )
Dividindo por ejωt, temos:
V1 + V2 + L + VN = 0
onde
Vn = Vn∠θ n ,
n = 1, 2,L, N
=0
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A lei de Kirchhoff de correntes aplicada em um nó típico resulta na equação:
I1e
j (ωt +φ1 )
+ I 2e
j (ωt +φ2 )
+L+ INe
j (ωt +φ N )
=0
Dividindo por ejωt, temos:
I1 + I 2 + L + I N = 0
onde
I n = I n∠φn ,
n = 1, 2,L, N
Se as excitações são senoidais com freqüência comum em um circuito,
podemos encontrar as tensões e correntes fasoriais para todos os elementos e
utilizar as leis de Kirchhoff para a análise.
A análise em regime permanente c.a. é idêntica à análise para circuitos
resistivos, com a impedância no lugar da resistência.
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Exemplo:
I
+
Z1
Z2
ZN
+ V1 −
+ V2 −
+ VN −
V1 = Z1I
V2 = Z 2I
V
−
Zeq
VN = Z N I
Lei de Kirchhoff de tensões:
V = V1 + V2 + L + VN
V = (Z1 + Z 2 + L + Z N ) I
V = Z eq I
Z eq = Z1 + Z 2 + L + Z N
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De maneira análoga, temos para N admitâncias em paralelo:
I
+
V
I1
I2
IN
Y1
Y2
YN
I1 = VY1
I 2 = VY2
I N = VYN
−
Yeq
Lei de Kirchhoff de correntes:
I = I1 + I 2 + L + I N
I = (Y1 + Y2 + L + YN ) V
I = Yeq V
Yeq = Y1 + Y2 + L + YN
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No caso particular de apenas dois elementos em paralelo, temos:
Z eq =
1
1
ZZ
=
= 1 2
Yeq Y1 + Y2 Z1 + Z 2
Obs.: Regras de divisão de tensão e de corrente também são válidas para
circuitos fasoriais, com a impedância e as quantidades no domínio da
freqüência.
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Exemplo: Circuito RL.
R
vg = Vm cos(ωt)
+
−
R
i
L
Vm ∠0º
+
−
Lei de Kirchhoff de tensões no circuito fasorial:
RI + Z L I = Vm∠0°
(R + jωL )I = Vm∠0°
I=
Vm∠0°
=
R + j ωL
 ωL 
∠ − tan −1

2
2 2
R


R +ω L
Vm
I
jωL
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No domínio do tempo:
I=
Vm∠0°
=
R + jωL
i=
 ωL 
∠ − tan −1

2
2 2
R


R +ω L
Vm

 ωL 
cos ωt − tan −1

2
2 2
R



R +ω L
Vm
Método alternativo de solução:
Impedância vista pelos terminais da fonte é:
Z = R + jωL
e a corrente:
I=
como obtida anteriormente.
V Vm∠0°
=
Z R + jωL
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10.9 Circuitos Fasoriais
Equação representativa de um circuito fasorial é uma equação fasorial.
Resolvendo esta equação obtemos uma resposta na forma de fasor, que é
convertida para uma resposta no domínio do tempo.
Exemplo: Cálculo de i no circuito.
i1
1Ω
i
3Ω
vg = 5 cos(3t)
+
−
1/9 F
1H
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1Ω
I1
I
3Ω
5∠0º
+
−
−j3 Ω
j3 Ω
Impedância vista dos terminais da fonte:
Z =1+
(3 + j3)(− j 3) = 4 −
3 + j3 − j3
j3
Portanto, temos:
I1 =
5∠0°
5∠0°
=
= 1∠36,9°
4 − j 3 5∠ − 36,9°
Por divisão de corrente, temos:
3 + j3
I=
I1 = (1 + j ) ⋅ (1∠36,9°) = ( 2∠45°) ⋅ (1∠36,9°) = 2∠81,9°
3 + j3 − j3
Corrente no domínio do tempo: i = 2 cos(3t + 81,9°)
[A]
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Exemplo: Cálculo de i no circuito com fonte de tensão dependente.
1/8 F
a
i
+
3cos(4t) [A]
4Ω
v1
−
+
−
(1/2)v1
+
−
(1/2)V1
-j2 Ω
a
I
+
3∠0º [A]
V1
4Ω
−
Lei de Kirchhoff de correntes em a:
1
V1 − V1
2 = 3∠0°
I+
− j2
1
V1
2
I+
= 3∠0°
− j2
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Pela lei de Ohm, temos V1 = 4I, logo
1
4Ι
2
Ι+
= 3∠0°
− j2
− j 2Ι + 2Ι = − j 6
Ι=
− j6
6∠ − 90°
3
=
=
∠ − 45°
2 − j 2 2 2∠ − 45°
2
Portanto, temos:
i=
3
cos(4t − 45°)
2
[A]
Obs.: O método fasorial de obter i, calculando primeiramente I = V/Z e
trocando I por i, não funciona se Z(jω) = 0. Pois, neste caso, o circuito é
excitado na freqüência natural jω.