Matemática I

Matemática I
Capítulo 5
Capítulo 4
Números complexos
Sistemas lineares
1. (Insper/2014) A equação x3 – 3x2 + 7x – 5 = 0 possui uma
raiz real r e duas raízes complexas e não reais z1 e z 2.
O módulo do número complexo z1 é igual a:
2
ax + 4 y = a
1. (ESPM/2013) O sistema 
em x e y, é possível
x + ay = −2
a)
e indeterminado se, e somente se:
a)a ≠ –2
b)a ≠ 2
c)a = ± 2
d) a = –2
e)a = 2
b) 5
c) 2 2
d) 10
e) 13
2. (Uece/2014) Se x e y são números reais não nulos, pode-se
2. (UFRGS/2013) O sistema de equações
afirmar corretamente que o módulo do número complexo
x − iy
z=
é igual a
x + iy
5x + 4 y + 2 = 0

3x − 4 y − 18 = 0
a)1
possui
a) nenhuma solução.
b) uma solução.
c) duas soluções.
d) três soluções.
e) infinitas soluções.
b)2
c)x2 + y2
d) | xy |
3. (Mackenzie/2013) Em C o conjunto solução da equação
x +1 x x −1
2x 2x 2x =x2 + 2x + 5 é:
−1 −1 −1
3. (Enem/2013) Na aferição de um novo semáforo, os tempos
são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verdeamarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por
a) {2 + 2i, 2 – 2i}
5 segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa
2
igual a
do tempo em que a luz vermelha fique acesa.
3
A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e
b) {–1 – 4i, –1 + 4i}
c) {1 + 4i, 1 – 4i}
d) {–1 + 2i, –1 – 2i}
e) {2 – 2i, 1 + 2i}
cada ciclo dura Y segundos.
2
Qual a expressão que representa a relação entre X e Y?
a) 5X – 3Y + 15 = 0
b) 5X – 2Y + 10 = 0
c) 3X – 3Y + 15 = 0
d) 3X – 2Y + 15 = 0
e)3X – 2Y + 10 = 0
4. (EsPCEx (Aman)/2013) Sendo Z o conjugado do número
complexo Z e i a unidade imaginária, o número complexo Z
que satisfaz à condição Z + 2Z = 2 − Zi é:
a) z = 0 + 1i
b) z = 0 + 0i
c) z = 1 + 0i
2x + y = 5
4. (EsPCEx (Aman)/2011) Para que o sistema linear 
ax + 2y = b
seja possível e indeterminado, o valor de a + b é:
a) –1
b) 4
c) 9
d) 14
e) 19
ensino
ensino médio médio
d) z = 1 + i
e) z = 1 - i
1
1
2º ano
2ª-série
3. (Esc. Naval/2012) Seja p a soma dos módulos das raízes da
equação x3 + 8 = 0 e q o módulo do número complexo
Z, tal que ZZ = 108 , onde Z é o conjugado de Z. Uma
representação trigonométrica do número complexo p + qi é:
π
π

a) 12  cos + i sen 
3
3

Capítulo 6
Números complexos na forma
trigonométrica
π
π

b) 20  cos + i sen 
3
3

n ⋅ (n − 1) n ⋅ (3 − n) ⋅ i
, em que
+
2
2
n ∈ N* e i é a unidade imaginária, a expressão da soma dos
1. (Puc-SP/2012) Seja Sn =
c) 12  cos π + i sen π 
6
6

π
π

d) 20 2  cos + i sen 
6
6

n primeiros termos de uma progressão aritmética. Se an é o
enésimo termo dessa progressão aritmética, então a forma
trigonométrica da diferença a15 – a16 é:
π
π

e) 10  cos + i sen 
3
3

3π
3π 
a) 2 2  cos
+ i ⋅ sen 
4
4 

4. (G1 – CFTMG/2011) A medida do argumento dos números
complexos z = x + yi pertencentes à reta y = x, em radianos, é:
5π
π
a)
ou
4
4
3π
π
b)
ou
2
2
π
π
c) −
ou
4
4
4π
π
d)
ou
3
3
5π
5π 
b) 2 2  cos
+ i ⋅ sen 
4
4 

c) 2 2  cos 7π + i ⋅ sen 7π  4
4 

5π
3π 

+ i ⋅ sen  d) 2  cos
4
4 

e)
3π
3π 

2  cos
+ i ⋅ sen 
4
4 

2. (UFSM/2012) Observe a vista aérea do planetário e a
representação, no plano Argand-Gauss, dos números
complexos z1, z2, ..., z12, obtida pela divisão do círculo de
raio 14 em 12 partes iguais.
z4
z6
z3
z2
z7
z1
z8
z9
z10
z11
Polinômios
Reprodução/UFSM 2013
y
z5
Capítulo 7
1. (Unesp/2014) Sabe-se que, na equação x3 + 4x2 + x – 6 = 0,
uma das raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto
solução (S) desta equação é:
a) S = {– 3, – 2, – 1}
b) S = {– 3, – 2, + 1}
c) S = {+ 1, + 2, + 3}
d) S = {– 1, + 2, + 3}
e) S = {– 2, + 1, + 3}
x
z12
2. (Unesp/2014) O polinômio P(x) = ax3 + 2x + b é divisível
por x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa resto – 45.
Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) –1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e –12.
Considere as seguintes informações:
I. z2 = 7 3 + 14i
II. z11 = z3
III. z5 = z 4 ⋅ z11
Está(ão) correta(s):
3. (Puc-RJ/2014) Sabendo que 1 é raiz do polinômio
p(x) = 2x3 – ax2 – 2x, podemos afirmar que p(x) é igual a:
a)2x2 (x – 2 )
b) 2x(x –1) (x + 1)
c) 2x (x2 – 2)
d) x (x – 1) (x + 1)
e) x (2x2 – 2x – 1)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e)apenas II e III.
ensino
ensino médio médio
2
2
2º ano
2ª-série
4. (Puc-RS/2014) A representação gráfica da função dada por
y = f(x) = ax2 + bx + c, sendo a ≠ 0, intercepta o eixo das
abscissas no ponto em que x = 2. Então, o resto da divisão
de f(x) por x – 2 é
a)–2
b)0
c)2
d)–c
e)c
Capítulos 8 e 9
Equações algébricas I e II
1. (Uece/2014) A interseção do gráfico da função f:  → ,
definida por f(x) = x3 – 3x2 – 6x + 8, com o eixo dos x (eixo
horizontal no sistema de coordenadas cartesiano usual), são
pontos da forma (x, 0). Os valores de x correspondentes a
tais pontos estão no intervalo:
a)  −π, 10 
b)  − 2, 19 
c )  − 5 , π + 1
d)  − 6 , π 
2. (Mackenzie/2014) Se α, b e g são as raízes da equação
x3 + x2 + px + q = 0, onde p e q são coeficientes reais e
α = 1 – 2i é uma das raízes dessa equação, então α ⋅ b ⋅ g
é igual a:
a) 15
b) 9
c) – 15
d) – 12
e) – 9
3. (FGV/2014) O número 1 é raiz de multiplicidade 2 da equação
polinomial x4 – 2x3 – 3x2 + ax + b = 0. O produto a · b é igual a:
a) –8
b) –4
c) –32
d) 16
e) –64
4. (EsPCEx (Aman)/2014) Dado o polinômio q(x) que satisfaz
a equação x3 + ax2 – x + b = (x – 1) · q(x) e sabendo que
1 e 2 são raízes da equação x3 + ax2 – x + b = 0, determine
o intervalo no qual q(x) ≤ 0:
a) [–5, –4]
b) [–3, –2]
c) [–1, 2]
d) [3, 5]
e) [6, 7]
ensino
ensino médio médio
3
3
2º ano
2ª-série