1 i 1 i + - Elite Master

Exercícios de Matemática: Números complexos
1. (Unicamp 2015) Sejam x e y números reais
tais que x  yi  3  4i, onde i é a unidade
imaginária. O valor de xy é igual a
a)
b)
c)
d)
2.
1.
1.
2.
7. (FGV 2010) Sendo i a unidade imaginária, então
(1 + i)20 – (1 – i)20 é igual a
2. (Unicamp 2014) O módulo do número complexo
z  i2014  i1987 é igual a
a) 2.
b) 0.
a) –1024.
b) –1024i.
c) 0
d) 1024.
e) 1024i.
8. (FGV 2008) Os quatro vértices de um quadrado
no plano Argand-Gauss são números complexos,
sendo três deles 1 + 2i, - 2 + i e -1 - 2i. O quarto
vértice do quadrado é o número complexo
c) 3.
d) 1.
3. (Unicamp 2013) Chamamos de unidade
imaginária e denotamos por i o número complexo
2
tal que i  1.
Então i0  i1  i2  i3 
 i2013 vale
a) 0.
b) 1.
c) i.
d) 1  i.
a) 2 + i.
b) 2 - i.
c) 1 - 2i.
d) -1 + 2i.
e) - 2 - i.
9. (G1 - cftmg 2004) Sendo o complexo z = 2 [cos
(ð/6) + sen (ð/6) i], calculando z6 obtemos
4. (Espcex (Aman) 2013) Sendo Z o conjugado do
número complexo Z e i a unidade imaginária, o
número complexo Z que satisfaz à condição
Z  2 Z  2  Zi é
a)
b)
c)
d)
e)
a) 9i
b) – 9 + i
c) –9
d) 9
e) 9 – i
z  0  1i
z  0  0i
z  1  0i
a) - 32 i
b) - 32
c) - 64 i
d) - 64
10. (Ufes 2001) Sejam ù1, ù2, ù3, ù4 e ù5 as raízes
complexas da equação
z5 - 1 = 0.
z  1 i
z  1– i
a) Calcule S = ù1+ ù2+ ù3+ ù4+ù5
5. (Espcex (Aman) 2012) Seja o número complexo
x  yi
z
, com x e y reais e i2   1.
3  4i
Se x2  y2  20, então o módulo de z é igual a:
b) Represente geometricamente os números ù1, ù2,
ù3, ù4 e ù5 no plano de Argand-Gauss e, a partir
daí, calcule o cosseno de 36°.
a) 0
b) 5
2 5
5
d) 4
e) 10
c)
6. (Mackenzie 2010) Se y = 2x, sendo x=
=
1 i
ei
1 i
1 , o valor de (x + y)2 é
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Gabarito:
Sabendo que
Resposta da questão 1:
[D]
|z|
Elevando os dois membros da igualdade ao
quadrado, vem
(x  yi)2  ( 3  4i)2  (x2  y2 )  2xyi  3  4i.
z1
|z |
 1 , com z2  0, obtemos
z2 | z2 |
x2  y2
| x  yi |


| 3  4i |
32  42
20
25

2 5
.
5
Resposta da questão 6:
[C]
1  i 1  i i 2  2i  i 2 2i


 i e y = 2i
1 i 1 i
2
12  i 2
Portanto, temos 2xy  4 se, e somente se, xy  2.
x=
Resposta da questão 2:
[A]
(x+y)2 = (i + 2i)2 = (3i)2 = 9i2 = - 9
Como i4  (i2 )2  ( 1)2  1, vem
z  i2014  i1987
4503  2
i
4 503
2
i
(1  i)20  ((1  i)2 )10  (1 2i  i2 )10  (2i)10  1024.i2
4496 3
4 496
 (i )
 i  (i )
 1  i.
Resposta da questão 7:
[C]
(1  i)20  ((1  i)2 )10  (1 2i  i2 )10  ( 2i)10  1024.i2
3
i
logo (1  i)20  (1  i)20  0
Portanto,
Resposta da questão 8:
[B]
| z |  | 1  i |  ( 1)2  12  2.
Resposta da questão 9:
[D]
Resposta da questão 3:
[D]
Calculando a soma dos 2014 termos de uma P.G de
primeiro termo 1 e razão i, temos:
0
1
2
3
i i i i 
2013
i
Resposta da questão 10:
a) S = 0
b) Observe a figura a seguir:
1.(i2014  1) i2  1 2 (1  i)




 i1
i 1
i  1 i  1 (1  i)
Resposta da questão 4:
[D]
Se z  a  bi, com a e b reais, então z  a  bi.
Desse modo,
z  2z  2  zi  a  bi  2  (a  bi)  2  (a  bi)  i
 3a  bi  (b  2)  ai.
cos 36° = (1+ 5 )/8
Logo, obtemos o sistema
3a  b  2


a  b
a  1
.

b  1
Portanto, o número complexo z que satisfaz a
condição dada é z  1  i.
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
=
=
=
=
=
1
(cos
(cos
(cos
(cos
72° + i
144° +
216° +
288° +
sen 72°)
i sen 144°)
i sen 216°)
i sen 288°)
Resposta da questão 5:
[C]
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