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TT015 - Mecânica dos Sólidos II - Engenharia Ambiental - UFPR
Gabarito P6
Data: 18/11/2015
Professor: Emílio G. F. Mercuri
Antes de iniciar a resolução leia atentamente a prova e verifique se a mesma está completa.
A avaliação é individual e sem consultas. Marque a resposta final a caneta. Boa sorte!
(1) (50,0 pontos) Um corpo de 10 kg está suspenso por uma mola de constante k = 2,5 kN/m. No instante de tempo
t = 0, possui uma velocidade para baixo de 0,5 m/s quando passa através da posição de equilíbrio estático. Determine:
(a) a deflexão estática da mola δest
(b) a frequência natural do sistema tanto em rad/s (ωn ) quanto em ciclos/s (fn )
(c) o período do sistema τ
(d) o deslocamento x como uma função do tempo, onde x é medido a partir da posição de equilíbrio estático
(e) a velocidade máxima vmáx atingida pela massa
(f) a aceleração máxima amáx atingida pela massa.
k = 2,5 kN/m
m =10 kg
Solução da Questão 1
mg 10(9,81)
=
= 0,0392 m ou 39,2 mm
sk
s2500
k
2500
(b) ωn =
=
= 15,81 rad/s
m
10
1
fn = (15,81) = 2,52 ciclos/s
2π
1
1
(c) τ =
=
= 0,397 s
fn 2,52
(d) Da solução para o movimento harmônico simples:
(a) δest =
x = x0 cos ωn t +
ẋ0
sen ωn t
ωn
Aplicando as condições iniciais:
x = (0) cos ωn t +
0,5
sen ωn t
15,81
A equação do deslocamento é:
x = 0,0316 sen(15,81t)
(e) A velocidade é ẋ = 15,81(0,0316) cos(15,81t) = 0,5 cos(15,81t). Como a função cosseno não pode ser superior a 1
ou inferior a −1 a velocidade máxima é vmáx = 0,5 m/s.
(e) A aceleração é ẍ = −15,81(0,5) sen(15,81t) = −7,91 sen(15,81t). Como a função seno não pode ser superior a 1 ou
inferior a −1 a aceleração máxima é amáx = 7,91 m/s2 .
(2) (50,0 pontos) A massa de 2 kg é liberada a partir do repouso a uma distância x0 à direita da posição de equilíbrio.
(a) Determine a equação do deslocamento x como uma função do tempo.
(b) Qual a posição do sistema no tempo t = 3 segundos se x0 = 0,1 metros?
(c) Faça um esboço do gráfico da posição x em função do tempo t para a massa.
x
c = 42 N.s/m
2 kg
k = 98 N/m
Solução da Questão 2
(a) Equação do movimento
Calcula-se o fator de amortecimento viscoso ou razão de amortecimento ζ para determinar se temos um movimento
superamortecido (ζ > 1), criticamente amortecido (ζ = 1) ou subamortecido (ζ < 1):
s
r
c
42
k
98
=
= 7 rad/s
ζ=
=
= 1,5
Movimento superamortecido!
ωn =
m
2
2mωn
2(2)7
A equação do movimento é:
√
√
2
2
x = A1 e(−ζ+ ζ −1)ωn t + A2 e(−ζ− ζ −1)ωn t
Deriva-se a equação acima e substitui-se o ζ e o ωn para obter as expressões para posição e velocidade:
x = A1 e−2,674t + A2 e−18,326t
ẋ = −2,674A1 e−2,674t − 18,326A2 e−18,326t
Para encontrar as constantes A1 e A2 basta aplicar as condições iniciais: x0 em t = 0 e v0 = ẋ0 = 0 em t = 0.
x0 = A1 + A2
0 = −2,674A1 − 18,326A2
Resolvendo para A1 e A2 , obtemos:
x = x0 1,171e−2,674t − 0,1708e−18,326t
(b) Posição do sistema no tempo t = 3 segundos se x0 = 0,1 metros
x3 = 0,1 1,171e−2,674(3) − 1,708e−18,326(3) = 0,1171e−8,022 − 0,01708e−54,978
x3 = 3,8428 × 10−5 − 2,269 × 10−26 = 3,8428 × 10−5 m = 3,8428 × 10−2 mm = 0,038428 mm (c) Gráfico da posição x em função do tempo t
x(t)
t
Relações Matemáticas
s
ωn =
k
m
ζ=
c
2mωn
ẍ + ωn2 x = 0
q
ωd = ωn 1 − ζ 2
x = x0 cos ωn t +
τ=
2π
1
=
fn
ωn
ẋ0
sen ωn t
ωn
ẍ + 2ζωn ẋ + ωn2 x = 0
√
√
2
2
x = A1 e(−ζ+ ζ −1)ωn t + A2 e(−ζ− ζ −1)ωn t
x = (A1 + A2 t)e−ωn t
x = (A1 eiωd t + A2 e−iωd t )e−ζωn t
x = C sen (ωd t + ψ)e−ζωn t