Terceira Lista - Potencial Elétrico

Terceira Lista - Potencial Elétrico
FGE211 - Fı́sica III
Sumário
• Uma força F~ é conservativa se a integral de linha da força através de
um caminho fechado é nula:
I
F~ · d~r = 0
• A mudança em energia potencial associada a uma força conservativa
F~ atuando em um objeto entre os pontos A e B é
∆U = UB − UA = −
Z B
F~ · d~r
A
• A diferença de potencial ∆V entre dois pontos A e B imersos em
~ é
um campo elétrico E
∆V = VB − VA =
∆U
=−
q0
Z B
~ · d~r.
E
A
Essa grandeza representa a quantidade de trabalho realizado por unidade de carga.
• O potencial elétrico devido a uma carga pontual Q a uma distância r
da carga é
1 Q
V =
.
4π0 r
Para um conjunto de cargas, usando o princı́pio da superposição,
V =
1 X Qi
4π0 i ri
• A energia potencial associada a duas cargas q1 e q2 separadas por uma
distância r12 é
1 q1 q2
U=
4π0 r12
1
• Partindo do potencial elétrico, obtemos o campo elétrico tirando o
gradiente do potencial:
~ = −∇V
~
E
Em coordenadas cartesianas
∂V
∂V
, Ey = −
,
Ex = −
∂x
∂y
Ez = −
∂V
∂z
• O potencial elétrico devido a uma distribuição contı́nua de cargas é
Z
1
dq
V =
4π0
r
• As propriedades gerais de superfı́cies equipotenciais são:
1. As linhas de campo elétrico são sempre perpendiculares as equipotenciais e apontam do potencial maior para o potencial menor.
2. Por simetria, as superfı́cies equipotenciais de uma carga pontual
formam uma famı́lia de esferas concêntricas e as superfı́cies equipotenciais de um plano infinito uma famı́lia de planos infinitos
paralelos ao plano.
3. A componente tangencial do campo elétrico ao longo de uma
superfı́cie equipotencial é sempre nula. Caso contrário, trabalho
teria de ser realizado para mover uma carga ao longo de uma
superfı́cie.
4. Nenhuma trabalho é necessário para mover uma carga ao longo
de uma superfı́cie equipotencial.
Estratégia para resolução de problemas: cálculo do
potencial elétrico
O potencial elétrico pode ser calculado a partir de distribuições discretas ou
contı́nuas de carga fazendo uso das expressões fornecidas na seção anterior.
O procedimento para computar o potencial elétrico, apesar de análogo ao
para computar o campo elétrico, é mais simples já que o potencial é uma
grandeza escalar e não vetorial. Os passos abaixo podem ser úteis para
calcular o potencial elétrico.
1. Comece com dV = k dq
r .
2. Rescreva o elemento de carga dq como
dq =

λdl






(comprimento)
σdA (area)






ρdV
2
(volume)
3. Substitua dq na expressão de dV .
4. Rescreva dV em termos das variáveis de integração.
5. Complete a integração obtendo V .
Usando o potencial, é possı́vel calcular o campo elétrico tirando o gradiente do potencial. A precisão do resultado pode ser facilmente testada em
casos onde a distribuição de carga é finita. Para isso, cheque se no infinito
a distribuição se assemelha a de uma carga pontual e cai com 1/r2 .
Questões conceituais
• Qual a diferença entre energia potencial eletrostática e o potencial
elétrico?
• Um campo elétrico uniforme é paralelo ao eixo dos x. Em que direção
uma carga pode ser “movida”nesta região de tal forma que nenhum
trabalho seja realizado pelo campo elétrico?
• É seguro ficar em um automóvel feito de metal durante uma tempestade?
• Porque superfı́cies equipotenciais são sempre perpendicular ao campo
elétrico?
• O campo elétrico dentro de uma esfera oca carregada é zero. Isso
implica que o potencial lá dentro também é?
1
1.1
Potencial de configurações discretas de carga
Potencial de duas cargas
Considere o sistema de duas cargas descrito na figura 1. Calcule o potencial
elétrico em um ponto arbitrário do eixo x e grafique seu resultado.
Figura 1: Duas cargas
3
1.2
Três cargas
Considere o sistema descrito na figura 2 onde q = 3×10−18 C, q1 = 6×10−6 C
e a = 60cm.
Figura 2: Três cargas
(a) Qual a força total exercida na carga q devido as outras duas cargas?
(b) Qual o campo elétrico na origem devido as duas cargas q1 ?
(c) Qual o potencial elétrico na origem devido as duas cargas q1 ?
2
Distribuições contı́nuas de carga: integração direta do potencial
Nesta seção o objetivo é calcular o potencial a partir de distribuições contı́nuas
de carga por integração direta. Estes problemas são iguais aos resolvidos
na primeira lista. Note como calcular o potencial é significativamente mais
simples que calcular o campo elétrico.
2.1
Anel carregado
Considere um anel de raio R carregado com uma carga Q como mostra a
figura 3.
(a) Calcule o potencial elétrico em um ponto P sobre o seu eixo de simetria
e e grafique o seu resultado.
(b) Para testar a validade dos seus calculos, calcule Ez e compare com o
resultado obtido na primeira lista.
2.2
Disco carregado
Considere um disco de raio R carregado com uma densidade superficial de
carga σ como mostra a figura 4. Calcule o potencial em um ponto sobre o
seu eixo de simetria e grafique o resultado.
4
Figura 3: Anel de raio R.
Figura 4: Disco de raio R.
2.3
Potencial de um anel maciço carregado
Considere um anel de raio interno a e raio externo b carregado com uma
carga total Q como mostra a figura 5.
(a) Calcule o potencial elétrico em um ponto sobre o seu eixo de simetria.
(b) Estudo o limite a → 0 e compare com o problema 2.2
2.4
Potencial elétrico de um fio finito
Considere o fio mostrado na figura 6 que está carregado com uma densidade
de carga constante λ. Calcule o potencial elétrico no ponto A.
5
Figura 5: Anel carregado com raio interno a e externo b.
Figura 6: Fio carregado com densidade não constante
3
3.1
~ a partir de V
Cálculo de E
Utilizando o gradiente
(a) Suponha que em uma região do espaço há um potencial elétrico
V (x, y, z) = V0 − E0 z +
E0 a3 z
,
(x2 + y 2 + z 2 )3/2
onde a é uma constante com dimensões de comprimento. Ache Ex , Ey
e Ez .
(b) Suponha agora que
V (x, y, z) = V0 e−k|z| cos(kx).
Calcule o campo elétrico em todo o espaço. Faça um esboço das linhas
de campo no plano x-z.
6
3.2
Graficamente
Suponha que para um certo sistema o potencial elétrico varia em função de
x na forma mostrada na figura 7. O potencial não varia nas direções y e
z. Dos intervalos mostrados (ignorando o comportamento nas extremidades
dos intervalos), determine em quais intervalos Ex tem:
(a) maior valor absoluto;
(b) menor valor absoluto.
(c) Faça um gráfico de Ex como função de x.
Figura 7: Potencial elétrico de um sistema em função de x.
4
Distribuições contı́nuas de carga: lei de Gauss
Estes problemas correspondem a situações de alta simetria e portanto o
campo elétrico pode ser obtido a partir da lei de Gauss. Obtenha o potencial a partir do campo. É um bom exercı́cio refazer os cálculos do campo
elétrico ao invés de copia-los da lista anterior. Ao terminar os exercı́cios
reflita, comparando com os problemas da seção 2, sobre em quais problemas
é mais simples calcular o potencial a partir do campo e em quais é mais
simples calcular o potencial por integração direta. Além disso, quando terminar todos os problemas, verifique os seus resultados e observe como é a
dependência de V com a carga do sistema Q.
4.1
Dois planos infinitos
Considere dois planos infinitos separados por uma distância d e carregados
com densidades superficiais de carga σ e −σ. Suponha que eles se encontram
paralelos ao plano xy nas posições z = d/2 e z = −d/2 respectivamente.
7
(a) Qual a diferença de potencial entre as placas?
(b) Qual placa tem maior potencial?
(c) Esboce as linhas de campo e as superfı́cies equipotenciais deste sistema.
4.2
Esfera carregada
Considere uma esfera de raio R carregada com carga Q.
(a) Se a esfera for condutora, o campo dentro dela será nulo. Calcule o
potencial elétrico em todo o espaço e grafique o seu resultado. Desenhe
as linhas de campo e as superfı́cies equipotenciais deste sistema.
(b) Considere agora o caso em que a esfera é isolante e a carga está distribuı́da uniformemente ao longo dela. Calcule novamente o potencial
em todo o espaço e grafique o resultado. Esboce as linhas de campo e
as superfı́cies equipotenciais, dentro e fora da esfera.
4.3
Cilindro infinito
Considere um cilindro infinito que é maciço e isolante, tem raio R e está
carregado com uma densidade volumétrica de carga ρ constante. Calcule o
potencial elétrico em todo o espaço e esboce as linhas de campo junto com
as superfı́cies equipotenciais.
5
O dipolo elétrico
5.1
Potencial elétrico de um dipolo
Considere um dipolo elétrico como o da figura 8 onde duas cargas de mesma
magnitude e polaridades opostas estão colocadas sobre o eixo dos y separadas
por uma distância 2a.
(a) Ache o potencial em um ponto P = (x, y, 0) do espaço.
(b) Mostre que no limite r a o potencial se reduz a
V =
p cos θ
p · r̂
=
,
2
4π0 r
4π0 r2
onde p = 2aq ĵ é o momento de dipolo.
(c) Usando que, em coordenadas esféricas, o gradiente pode ser escrito
como
∂
~ = ∂ eˆr + 1 ∂ êθ + 1
∇
êφ ,
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
8
mostre que
Er =
p cos θ
,
2π0 r3
Eθ =
p cos θ
,
4π0 r3
Eφ = 0
Figura 8: Dipolo elétrico
5.2
Torque sobre um dipolo
Considere o sistema da figura 9 onde um dipolo elétrico de momento p = 2aq
é imerso em uma região de campo elétrico constante E = E î.
(a) Qual é a força resultante sofrida pelo dipolo?
(b) Qual o torque sofrido pelo dipolo?
(c) Escreva o vetor momento de dipolo em ternos do ângulo θ e mostre
que
~τ = p × E
(d) Qual o efeito desse torque sobre o dipolo?
Figura 9: Dipolo elétrico imerso em uma região de campo elétrico constante.
9