Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica

Fundamentos de Matemática
Curso: Informática Biomédica
Profa. Vanessa Rolnik Artioli
Assunto: sequências e matrizes
05 e 06/06/14
Sequências
Def.: chama-se sequência finita ou n-upla toda aplicação f do conjunto
N∗n = {1, 2, 3, ..., n} em R que associa a cada número natural
i = 1, 2, 3, ..., n, um número real ai .
Em notação matemática, f = {(1, a1 ), (2, a2 ), ..., (n, an )}, ou, de forma
simplificada, f = {a1 , a2 , ..., an }.
Def.: chama-se sequência infinita toda aplicação f de N∗ em R que
associa a cada i ∈ N∗ um número real ai .
Em notação matemática, f = {(1, a1 ), (2, a2 ), ..., (i, ai ), ...}, ou, de forma
simplificada, f = {a1 , a2 , ..., ai , ...}.
Notação geral: f = (ai )i∈L para “sequência f dos termos ai onde o
conjunto de índices é L”.
Exemplos e Igualdade
Ex 1) (1, 2, 3, 4, 6, 12) seq. finita dos divisores inteiros positivos de 12
dispostos em ordem crescente.
Ex 2) (2, 4, 6, ..., 2i, ...) seq. infinita dos múltiplos inteiros positivos de 2.
Igualdade: duas aplicações são iguais quando têm domínios e
contradomínios iguais e mesma lei de formação. Assim,
f = g ⇐⇒ ai = bi , ∀i ∈ L
Lei de formação
I
I
I
Fórmula de recorrência
Expressando cada termo em função de sua posição
Por propriedade dos termos
Ex. 1) Escrever a sequência finita f cujos termos obedecem a seguinte
fórmula de recorrência: a1 = 2 e an = an−1 + 3, ∀n ∈ {2, 3, 4, 5, 6}.
Ex. 2) Escrever os cinco termos iniciais da sequência infinita g dada pela
seguinte fórmula de recorrência: b1 = 1 e bn = 3bn−1 , ∀n ∈ N e n ≥ 2.
Ex. 3) Escrever a sequência finita f cujos termos obedecem à lei:
an = 2n , n ∈ {1, 2, 3, 4}.
Lei de formação
Ex. 4) Escrever os cinco termos iniciais da sequência infinita g em que os
termos verificam a relação bn = 3n + 1, ∀n ∈ N∗ .
Ex. 5) Escrever a sequência finita f de seis termos em que cada termo é
igual ao número de divisores inteiros do respectivo índice.
Ex. 6) Escrever os cinco termos iniciais da sequência infinita g forma da
pelos números primos positivos colocados em ordem crescente.
Progressões
Progressão
aritmética (P.A.): sequência com fórmula de recorrência:
{
a1 = a
, ∀n ∈ N, n ≥ 2, a e r números dados.
an = an−1 + r
Progressão
geométrica (P.G.): sequência com fórmula de recorrência:
{
a1 = a
, ∀n ∈ N, n ≥ 2 a e q números dados.
an = an−1 .q
Exemplos:
f1 = {1, 3, 5, 7, 9, ...}
f2 = {0, −2, −4, −6, −8, ...}
f3 = {4, 4, 4, 4, ...}
f4 = { 12 , 32 , 52 , 27 , 92 , ...}
10
8
f5 = {4, 11
3 , 3 , 3, 3 , ...}
f6 = {−1, −2, −4, −8, −16, ...}
f7 = {4, 4, 4, 4, ...}
1
1
f8 = {1, 13 , 91 , 27
, 81
, ...}
f9 = {4, 0, 0, 0, ....}
f10 = {4, −4, 4, −4, ...}
Progressões
Termo geral de uma P.A.: an = a1 + (n − 1).r
Soma de uma P.A.: Sn =
n(a1 + an )
2
Termo geral de uma P.G.: an = a1 .q n−1
Exemplos
1) Calcular o 17o termo da P.A. de primeiro termo 3 e razão 5.
2) Obter a razão da P.A. em que o 1o termo é −8 e o 20o é 30.
3) Interpolar 5 números igualmente espaçados entre 1 e 2.
4) Qual é a soma dos 15 primeiros termos iniciais da P.A. (−2, 1, 4, 7, ...)?
5) Calcular o 10o e o 15o termos da P.G. (1, 2, 4, 8, ...).
6) Obter o 100o termo da P.G. (2, 6, 18, ...).
Matrizes
Matriz m × n: tabela formada por números reais distribuídos em m linhas
e n colunas.
[
Exemplos
3
0
5
4
5
−1
√
2
]
(
0 9
−1
7
)
Notação: M = (aij )m×n denota uma matriz de elementos (aij ) (elemento
da linha i coluna j) e de dimensões m × n.


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


 ..
..
.. 
.
.
 .
.
.
. 
am1
am2
···
amn
Matrizes especiais
I
I
I
I
matriz-linha: matriz do tipo 1 × n, isto é, formada por uma única
linha
matriz-coluna: matriz do tipo n × 1, isto é, formada por uma única
coluna
matriz nula: é toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero
matriz quadrada: é toda a matriz de dimensões n × n
I
diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n: conjunto
dos elementos aii , i = 1, 2, ..., n
I
matriz diagonal: toda matriz quadrada em que os elementos que
não pertencem à diagonal principal são iguais a zero
I
matriz identidade de ordem n: toda matriz diagonal em que os
elementos da diagonal principal são iguais a 1.
matriz simétrica: toda matriz quadrada A de ordem n tal que
aij = aji , i = 1, 2, ..., n
I
Igualdade de matrizes
Duas matrizes A = (aij )m×n e B = (bij )m×n são iguais quando aij = bij
para todo i = 1, 2, ..., m e todo j = 1, 2, ..., n.
Exemplos
] [
]
[
1 −3
1 −3
=
pois a11 = b11 , a12 = b12 , a21 = b21 , a22 = b22
7 −4
7 −4
[
1 −3
7 −4
]
[
̸=
1
7
−3 −4
]
pois a12 ̸= b12 e a21 ̸= b21
Exercícios
1) Indicar explicitamente os elementos da matriz A = (aij )3×3 tais que
aij = i − j.
2) Construir as seguintes matrizes
{
A = (aij )3×3 tal que aij =
{
B = (bij )3×3 tal que bij =
1, se i = j
0, se i ̸= j
1, se i + j = 4
0, se i + j ̸= 4
3) Determinar x e y de modo que se tenha
[
] [
]
2x 3y
x +1
2y
=
3
4
3
y +4
Adição de matrizes
Dadas duas matrizes A = (aij )m×n e B = (bij )m×n , chama-se soma
A + B a matriz C = (cij )m×n tal que cij = aij + bij , para todo
i = 1, 2, ..., m e todo j = 1, 2, ..., n.
Exemplos
[
] [
]
1 2 3
4 −1 1
+
=
4 5 6
−4 0 6
 

5
1
 11  +  −2  =
3
3
4

Propriedades da adição de matrizes
A1) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C ) , quaisquer que sejam A,
B e C do tipo m × n
A2) Comutativa: A + B = B + A , quaisquer que sejam A e B do tipo
m×n
A3) Elemento Neutro: ∃ 0, 0 = matriz nula do tipo m × n, tal que
A + 0 = A, qualquer que seja A do tipo m × n
A4) Elemento Oposto: ∃ (−A) do tipo m × n tal que A + (−A) = 0,
qualquer que seja A do tipo m × n
Produto de número real por matrizes
Dado um número k e uma matriz A = (aij )m×n , chama-se produto kA a
matriz B = (aij )m×n tal que bij = kaij , para todo i e todo j.
Exemplo
[
3.
[
1
2.
1
4
2
5
1 −3
7 −4
3
6
]
=
]
=
Propriedades do produto de número real por matrizes
P1) k1 .(k2 .A) = (k1 k2 )A
P2) k.(A + B) = k.A + k.B
P3) (k1 + k2 ).A = k1 .A + k2 .A
P4) 1.A = A
onde A e B são matrizes do tipo m × n e k, k1 e k2 são números reais
quaisquer.
Produto de matrizes
Dadas duas matrizes A = (aij )m×n e B = (bij )n×p , chama-se produto
AB a matriz C = (cik )m×p tal que
cik = ai1 .b1k + ai2 .b2k + ... + ain .b1n ,
para todo i = 1, 2, ..., m e todo k = 1, 2, ..., p.
Exemplos
[
[
1 2
4 5
1 2
3 4
3
6
]


7
. 8  =
9
] [
]
5 6
.
=
7 8
Propriedades da multiplicação de matrizes
M1) Associativa: (AB)C = A(BC ), quaisquer que sejam A = (aij )m×n ,
B = (bjk )n×p e C = (ckl )p×r
M2) Distributiva à direita em relação à adição: (A + B)C = AC + BC ,
quaisquer que sejam A = (aij )m×n , B = (bij )m×n e C = (cjk )n×p
Distributiva à esquerda em relação à adição: C (A + B) = CA + CB,
quaisquer que sejam A = (aij )m×n , B = (bij )m×n e C = (cki )p×m
M3) (kA)B = A(kB) = k(AB) quaiquer que sejam o número real k e as
matrizes A = (aij )m×n , B = (bjk )n×p
M4) ∃ In e ∃ Im tais que AIn = A e Im A = A, qualquer que seja A do tipo
m×n
Matriz transposta
Dada uma matriz A = (aij )m×n , chama-se transposta de A a matriz
At = (aji′ )n×m tal que aji′ = aij , para todo i e todo j.
Exemplos
[
A=
1 2
4 5
3
6

]
1
At =  2
3
,

B=
[
1
3 5
7
]
,

4
5 
6

1
 3 

Bt = 
 5 
7
Propriedades da matriz transposta
T1) (At )t = A, para toda matriz A = (aij )m×n
T2) (A + B)t = At + B t , para todas matrizes A e B do tipo m × n
T3) (kA)t = kAt , para toda matriz A do tipo m × n e k ∈ R
T4) (AB)t = B t At , para todas matrizes A = (aij )m×n e B = (bjk )n×p′
[
Exemplo: Verificar diretamente cada propriedade com A =
]
[
e f
B=
e k = 2.
g h
a
c
b
d
]
,
Matriz inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz
inversível se existir uma matriz B tal que AB = BA = In .
Dada uma matriz A inversível, chama-se inversa de A a matriz A−1 tal
que AA−1 = A−1 A = In .
Exemplo
[
A=
1 3
2 7
]
[
−1
é inversível e A
=
7 −3
−2 1
]
Exercícios