(A -1 )

Professora:Janaína Fernandes Lacerda
Matrizes
 Nesta primeira aula, vamos trabalhar com as tabelas
numéricas chamadas matrizes.
 Introduziremos algumas operações no conjunto de todas as
matrizes e mostraremos algumas de suas principais
propriedades. Os assuntos tratados aqui têm importância
fundamental na resolução de equações lineares simultâneas, que
são uma parte importante desta disciplina.
 Para esta aula, é necessário apenas que você conheça as quatro
operações usuais com números reais. Na verdade, na prática,
trabalharemos mais com números inteiros e frações.
 É desejável, também, que você tenha alguma experiência com
resolução de equações do primeiro grau.
Objetivos
 Ao término desta aula, você deverá ser capaz de:
adicionar matrizes,multiplicar uma matriz por um
número real (escalar), multiplicar duas matrizes, bem
como encontrar a transposta de uma matriz dada e a
inversa (se existir) de uma matriz quadrada (pelo
menos 3 × 3).
Definição de matriz
 Em Matemática, é conveniente considerar tabelas
quadradas ou retangulares de números reais da forma
 A = a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
············
am1 am2 · · · amn
 Uma tabela desse tipo chama-se matriz e os números
(reais) a11, a12, · · · , amn são os elementos da matriz. A
matriz A acima tem m linhas e n colunas e, por isso, chamase uma matriz m × n (m por n).
 Se o número de linhas e colunas for claro ao contexto, a
matriz A acima será representada na forma abreviada
[aij ] . O elemento genérico aij indica o elemento
localizado na i-ésima linha e j-ésima coluna. Por
exemplo, a13 é o elemento localizado na primeira linha
e terceira coluna. No lugar do colchete em [aij ],
podemos usar um parêntese; neste caso, a matriz será
denotada por (aij ). O uso matemático de tabelas assim
tem origem muito antiga.
 Há registros chineses sobre matrizes que datam de 250
anos antes de Cristo.
 As matrizes aparecem em várias áreas da Matemática e
suas aplicações. Por exemplo, uma matriz pode servir
de modelo ou representar uma situação do nosso
cotidiano. Considere a matriz 4×3
 A= 8 75
649
10 5 6
79 8
 Nessa matriz A, cada linha pode representar um aluno
e cada coluna pode representar seu grau de aprovação
em uma dada avaliação. Isto é, a matriz A pode
representar o seguinte quadro de avaliação:
1ª avaliação
2ª avaliação
3ª avaliação
Aluno 1
8
7
5
Aluno 2
6
4
9
Aluno 3
10
5
6
Aluno 4
7
9
8
 Muitas vezes, para se construir uma matriz, é definida
uma lei de formação para o elemento genérico aij da
matriz, como no exemplo a seguir. Exemplo
 Em Gonçalves e Souza (1977, p.4), é considerada a
seguinte ligação entre pontos (os quais podem
representar pessoas, cidades, nações etc.), dada pelo
diagrama:
 Essas ligações são indicadas definindo-se aij = 1, se o ponto
i está ligado ao j, caso contrário, isto é, se o ponto i não está
ligado ao j, define-se aij = 0. É admitido que nenhum ponto
está ligado a ele mesmo. É fácil ver que a forma matricial
deste diagrama é dada por
0101
A= 1 0 1 1
0100
1100
Igualdade de matrizes
 Duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] são ditas iguais
se, e somente se, tiverem o mesmo número de
linhas, o mesmo número de colunas e aij = bij
para todos i, j.
Por exemplo, as matrizes
 A= 124
305
e
B= 124
−1 0 5
 não são iguais, pois, embora tenham o mesmo número
de linhas (2) e o mesmo número de colunas (3) veja
que a21 = 3, enquanto b21 = −1.
Algumas matrizes especiais
 Seja A = [aij ] uma matriz m × n. Se m = n, diz-se que A
é uma matriz quadrada de ordem n. Por exemplo, as
matrizes
 A= 3
0
4/3
1
B= 4 3 1
0 2 6
5 7 -1
são quadradas de ordem 2 e 3, respectivamente.
 Numa matriz quadrada A = [aij ] de ordem n, os
elementos a11, a22, . . . , ann formam a diagonal
principal de A.
 Uma matriz quadrada, na qual todos os elementos
acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero,
chama-se matriz triangular.
 A matriz triangular superior é aquela que os elementos
abaixo da diagonal são iguais a zero.
 A matriz triangular inferior é aquela onde os
elementos acima da diagonal principal são iguais a
zero.
 Agora, uma matriz é dita matriz nula, se todos os seus
elementos são iguais a zero.
 Denotaremos a matriz nula por 0.
 Um outro exemplo de matriz diagonal é a matriz
identidade, In, de ordem n, em que todos os elementos
da diagonal principal são iguais a 1. Por exemplo:
 In= 1 0
0 1
 Você verá no decorrer deste estudo que essas
matrizes especiais desempenham um papel
fundamental para o desenvolvimento desta
disciplina.
A álgebra das matrizes
 Denotaremos por Mm×n(IR) o conjunto de todas
as matrizes m × n, com elementos pertencentes
ao conjunto IR dos números reais.
Introduziremos nesse conjunto
algumasoperações, a saber:
Adição de matrizes
 Se A = [aij ] e B = [bij ] são duas matrizes m × n, sua
soma A + B é definida como sendo a matriz [aij + bij ]
obtida adicionando os elementos correspondentes de A
e B.
 Observe que a soma A + B é definida somente quando A
e B são do mesmo tipo, isto é, tiverem o mesmo
número de linhas e o mesmo número de colunas.
Multiplicação por escalar
 Aqui escalar significa um número real.
 Dada uma matriz A = [aij ] e um escalar r ∈ IR,
definimos o produto de r por A, indicado por rA, como
sendo a matriz rA = [rAij ], isto é, a matriz r A é obtida
multiplicando cada elemento da matriz A por r.
Subtração de matrizes
 Observação: define-se a subtração de
duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] por
 A − B = A + (−1) · B = [aij − bij ].
Multiplicação de matrizes
 Sejam A = [aij ] uma matriz do tipo m × n e B = [bij ]
uma matriz do tipo n × p, de modo que o número de
colunas de A seja igual ao número de linhas de B.
Define-se a matriz produto de A por B, indicada por AB,
como sendo a matriz AB = [cij ], m × p, em que (∗)cij =
ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p.
 Murdoch (1972, p. 82) faz o seguinte comentário:
Você pode muito bem perguntar por que escolhemos
esta definição aparentemente tão complicada do
produto matricial (∗), em vez de, por exemplo, o
processo mais óbvio de multiplicarmos os elementos
correspondentes em duas matrizes m × n, [aij ] e [bij ],
e obtermos o “produto” [aij bij ]. A resposta é que
escolhemos a definição que nos leve ao mais
interessante e frutífero desenvolvimento matemático e
às aplicações mais úteis.
 Usando as definições de multiplicação e de igualdade
de matrizes, você pode verificar facilmente que um
sistema de equações lineares mais incógnitas x1, x2, . . .
, xn:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
·· ·······························
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
pode ser expresso na forma matricial AX = B, em que
Note que a notação matricial abrevia a notação (por equações).
Cabe salientar que essa notação matricial foi introduzida pelo
matemático inglês Artur Cayley em 1858.
 A= a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
············
am1 am2 · · · amn
 X = x1
x2
···
xn
 e B = b1
b2
···
bm
Propriedades básicas do produto matricial
 A lei associativa do produto matricial
 Sejam A uma matriz m × n, B uma matriz n × r e C
uma matriz r × s. Então,
 (AB)C = A(BC).
 Leis distributivas
 Sejam A e B matrizes m × n, C uma matriz r × m e D
uma matriz n × s.
 Então, C(A + B) = CA + CB, (A + B)D = AD + BD.
A transposta de uma matriz
 A matriz transposta da matriz A = [aij ]m × n,
indicada por AT, é a matriz obtida escrevendo as
linhas de A como colunas, isto é, AT = [aji], n × m.
 Veja que se A é do tipo m × n, então, AT é do tipo n
× m.
Propriedades
 1) (A T)T = A;
 2) (A + B)T = AT + BT;
 3) (cA)T = cAT, em que c é um escalar;
 4) (AB)T = B TAT (a transposta do produto é o produto
das transpostas na ordem inversa)
A matriz inversa
 Seja A uma matriz n × n. Se existe uma matriz n × n A-1,
tal que A · A-1 =A-1 · A = In, dizemos que A-1 é a inversa
de A.
 Neste caso, A é dita inversível (ou não singular). Se A
não possui inversa, A é chamada não-inversível (ou
singular).
Propriedades da inversa
 i) (A-1)-1 = A;
 ii) (AB)-1= B -1A-1
Referências
 LAY,DAVID C;tradução Ricardo Camelier,Valéria
de Magalhães Iório/ Álgebra linear e suas
aplicações - 2.ed. Rio de Janeiro: LTC,2007.
 KOLMAN,BERNAD/R.HILL,DAVID;tradução
Alessandra Bosquilha/Introdução à álgebra linear
com aplicações -8.edRio de Janeiro: LTC Ltda,
2006.