b) 2b² a². + c) b² 5. + 4 4 4 4 ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 4 0 0 4 ⌈ ⌉ ⌊ ⌋ 0 0 0 0

Extras- Matrizes -Matemática1-2°anos-2014
 x2 
3 0 
0 3 
x
1. (Insper 2013) Considere as matrizes A  
, B
, X    e Y    . Se x e y são as


 y 2 
 0 1
8 0 
y
0 
soluções não nulas da equação A  Y  B  X    , então x  y é igual a:
0 
a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.
2. (Fgvrj 2012) Seja X a matriz que satisfaz a equação matricial X.A = B, em que:
 2 1
A
 e B  8 5  .
5 3 
Ao multiplicar os elementos da matriz X , obteremos o número:
a) - 1 b) - 2 c) 1 d) 2 e) 0
3. (Uftm 2012) Considere as matrizes:
A   aij 
B   bij 
22
, tal que aij  i2  j2 , e
, tal que bij   i  j  .
2
22
Determine:
a) pela lei de formação, a matriz C resultante da soma das matrizes A e B.
b) a matriz M de ordem 2 que é solução da equação matricial A  M  B  0, em que 0 representa a
matriz nula de ordem 2.
 a b
4. (Uftm 2011) É dada a matriz A  
 , onde a e b são números reais. Se
 b a 
então o determinante de A é igual a:
a) 3b  4a. b) 2b²  a². c) b²  5. d) 5a  2. e) 5a.
 0 1  a   2 

.     ,
 3 5   b   22 
 1 5 
 1 0
5. (Udesc 2011) Dadas as matrizes A  
 , calcule as matrizes (C, D, E, F e G)
 e B
3 2
 1 3
resultantes das seguintes operações:
a) C  A  B t
b) D  A 2
c) E  2A - B t
d) F  3A  2B
e) G  A  B
t
Obs.: B é a matriz transposta da matriz B.
2 0 
0 1
2
2
6. (Ufc 2009) O valor 2A  4B quando A  
eB

 é igual a:
0 2
1 0 
4 4
4 
a) 
4
4 0 
4 
b) 
0
0 0 
c) 
0 0 
0 4 
0 
d) 
4
6 0 
6 
e) 
0
2
2
2
2
7. (Cftmg) Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i - j e bij = - i + j , o
valor de A - B é:
0 0 
a) 

0 0 
0 6 
b) 

6 0 
0 6 
c) 

0 0 
 0 6
d) 

 6 0 
8. (Pucmg ) Considere as matrizes de elementos reais:
Sabendo-se que A . B = C, pode-se afirmar que o produto dos elementos de A é:
a) 20 b) 30 c) 40
d) 50
9. (Ufc ) O valor de a para que a igualdade matricial seja verdadeira é:
a) 1 b) 2
c) 0 d) -2
e) -1
3i  j, se i  j
10. (Pucmg ) Seja A a matriz A = (aij)2x3, cuja lei de formação é dada por aij  
.É
2i  3j, se i  j
correto afirmar que:
 1 5 
 1 7 
 1 7 5 
 1 5 6 


a) A   6 7  b) A   5 2  c) A  
d) A  


6 2 9 
7 2 9 
 2 9 
 6 9 
2
2
11. (Ufscar ) Seja a matriz M = (mij)2x3, tal que mij = j - i .
a) Escreva M na forma matricial.
t
t
b) Sendo M a matriz transposta de M, calcule o produto M.M .
12. (Uel 1999) Sejam as matrizes A = (aij)3x2, tal que aij = 2i - 3j e B = (bjy)2x3, tal que bjy = y - j . O
determinante da matriz A . B é igual a:
a) -12 b) - 6 c) 0 d) 6 e) 12
0 1
4 5
13. (Fgv 1995) Observe que se A = 
eB= 

 , então A.B é a matriz:
2 3 
6 7
0 5
a) 

12 21
6 7
b) 

26 31
6 26 
c) 

7 31
0 12 
d) 

5 21
0 0
e) 

12 14 
2
14. (Unesp ) Seja A = [aij] a matriz 2 x 2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j. Calcule A .
Ótimo Estudo!
*Tente fazer todos e se tiver dúvidas consulte o gabarito/resolução abaixo.
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“A perseverança é a mãe da boa sorte”(Miguel de Cervantes)
Gabarito/Resoluções:
Resposta da questão 1:
[C]
Sabendo que x  0 e y  0, vem
0 
3 0   x 2  0 3   x  0 
AY BX     
  2  
    
0 
0 1  y  8 0   y  0 
3x 2   3y  0 
  

 y 2  8x  0 
3x 2  3y  0 
 

 y 2  8x  0 
3x 2  3y  0

2
 y  8x  0
 y   x 2

3
 x(x  8)  0
 x  2

.
 y  4
Portanto, x  y  ( 2)  (4)  8.
Resposta da questão 2:
[B]
Logo,  2a  b a  3b    8 5 
Resolvendo o sistema, temos:
2a  5b  8

 a  3b  5
a  1 e
b2
X   1 2 
Portanto, o produto dos elementos de X é 2   1  2 .
Resposta da questão 3:
a) A lei de formação da matriz C é tal que
cij  aij  bij
 i2  j2  (i  j)2
 2  [(i  j)2  i  j].
Portanto,
c12 
c
C   11

 c 21 c 22 
 2  [(1  1)2  1 1] 2  [(1  2)2  1 2] 


 2  [(2  1)2  2  1] 2  [(2  2)2  2  2] 


 6 14 

.
 14 24 
2 5
b) Pela lei de lei formação da matriz A, obtemos A  
 . Daí, o determinante de A é
5 8
det A  2  8  5  5  9.
Assim, podemos obter a inversa de A, que é dada por
 8
 9
8

5
1


1
A 


2  5
9  5

 9
5
9
.
2
 
9
4 9 
Portanto, como B  
 , segue que
 9 16 
A  M  B  0  A  M  B
 A  1  A  M   A 1  B
 M   A 1  B
5
 8
 9
9  4 9 
 M  


 5  2   9 16 


 9
9
8
 13
 
 9
9
M
.
  2  13 


 9
9 
Resposta da questão 4:
[E]
Fazendo o produto de matrizes, temos:
 b   2

 b2 ea=4
 3a  5b   22 
Considerando a  4 e b  2 , calculamos o determinante de A:
det  A   a2  b2  42  22  20  5.a
Resposta da questão 5:
 1 5   1 3   0 8 
a) C  A  B t  



 1 3 0 2  1 5
 -1 5   1 5   6 10 
b) D  



 1 3   1 3   4 14 
 1 5   1 3   1 13 
c) E  2 



 1 3 0 2  2 8 
 1 5 
 1 0   1 15 
d) F  3. 
  2. 


 1 3
 3 2   9 13 
 -1 5   1 0   14 10 
e) G  
.


 1 3   3 2   10 6 
Resposta da questão 6:
[B]
2 0  2 0   4 0 
A2  


0 2 0 2  0 4
0 1 0 1  1 0
B2  


0  0 1
 1 0  1
4 0
 1 0  4 0 
2A 2  4B2  2  
 4

.

0 4 
 0 1 0 4 
Resposta da questão 7:
[B]
Resposta da questão 8:
[C]
Resposta da questão 9:
[B]
Resposta da questão 10:
[D]
Resposta da questão 11:
A ser feito pelo aluno.
Resposta da questão 12:
[C]
Resposta da questão 13:
[B]
Resposta da questão 14:
A ser feito pelo aluno.