Proposta de miniteste de avaliação

Proposta de miniteste de avaliação
Matemática A
12.O ANO DE ESCOLARIDADE
Duração: 45 minutos | Data:
Grupo I
Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o
número do item e a letra que identificam a opção escolhida.
1.
Na figura ao lado está representado o gráfico de uma
função f de domínio  2, 5 \ 1 .
Indique os valores de a tal para os quais existe:
lim f  x 
x a
(A) a   2, 5 \ 1
(B) a   2, 5 \ 3
(C) a   2, 5 \ 3
(D) a   2, 5 \ 1, 3
2.
contínua no intervalo  3, 3 .
Seja g uma função de domínio
Sabe-se que g  3  2 e g  3  4 .
Indique qual das expressões define uma função h , de domínio
, para o qual o Teorema de
Bolzano-Cauchy garante a existência de pelo menos um zero no intervalo 3, 3 .
3.
1
(A) h  x   x  g 2  x 
2
1
(B) h  x   x  g 2  x 
2
1
(C) h  x   x 2  g  x 
2
1
(D) h  x   x 2  g  x 
2
Na figura está representada parte de um gráfico de uma função f de domínio

.
Tal como a figura sugere a reta de equação y  1 é assíntota ao
gráfico de f .
 ln  x 

 f  x  .
Indique o valor de lim 
x
 x

(A) 0
(B) – 1
(C) 1
(D)  
Proposta de miniteste de avaliação – Matemática A, 12.o ano – Página 2
Grupo II
Na resposta aos itens deste grupo apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as
justificações necessárias.
1.
Calcule.
1.1. lim
x  x4
x
1.2. lim
x2  6x  8
ln  x  3
x 0
x 4
2.
Considere a função f , de domínio
, definida por:
f  x  2 
x2
ex
Mostre, usando exclusivamente métodos analíticos, que o gráfico da função f tem uma única
assíntota.
3.
Seja g a função definida em
por:
 x 1
se x  1

x

1

g  x   k  e x
se x  1
 1 e  ex
 
se x  1
 2 ex  e
3.1. Determine k de modo que a função seja contínua em x  1 em
.
3.2. Resolva, no intervalo 1,   , a equação g  x   2 .
FIM
Cotações
Grupo I
1.
8
2.
8
3.
8
1.1.
30
1.2.
30
2.
40
Total
24
Grupo II
3.1.
40
3.2.
36
Total
176
Proposta de miniteste de avaliação – Matemática A, 12.o ano – Página 3
Proposta de resolução
Grupo I
1.
Resposta: (C)
2.
1
h  3  3   22  3  2  1
2
1
h  3  3   42  3  8  11
2
h  3  h  3  0 .
Pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe pelo menos um zero em 3, 3 .
Resposta: (A)
3.
ln x
 ln x

lim 
 f  x   lim
 lim f  x   0   1  1
x

x x
 x

Resposta: (C)
x 
Grupo II
 
x 1  x 3  x
x 1  x  x
x 1  x  x
x  x4  0 
 lim
 lim
 lim

1.1. lim
x 0
x

0
x

0
x

0
x
x
x
x x
0
 lim 1  x  x   1  0   0  0
x 0
0
 
x2  6x  8  0 
1.2. lim

x 4 ln  x  3
.
 lim
 x  4 x  2 
ln  x  3
C.A.
x2  6x  8  0 
6  36  32
x

2
 x  4 x  2
 lim
x4
 lim  x  2  
ln  x  4  1 x 4
y  x4 x  y4
Se x  4, y  0
 lim
y
2 
ln  y  1
x 4
x 4
y 0
1

ln  y  1
lim
y 0
y
1
 2  2
1
2.1. Como D f 
e f é contínua, então f não tem assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais:
Quando x   :
m  lim
x 
f  x
 lim
x 
x
x2
e x  lim  2  x   lim 2 


x  x
x
e x  x  x

2
1
x
lim
x 
e
x
 0
1
0

Logo, m  0 .
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
x2 
1
1
b  lim  f  x   mx   lim  2  x   2 
 2
2
x
x 
x 
e
e




lim
x  x 2
A reta de equação y  2 é uma assíntota ao gráfico da função quando x    .
Quando x   :
m  lim
x 
f  x
 lim
x 
x
x2
e x  lim  2  x   0    


x  x
x
ex 
0

2
Portanto, não existe assíntota quando x   .
Logo, a reta de equação y  2 é a única assíntota ao gráfico da função f .
0
 
x 1  0
 lim
3.1. lim
x 1
x 1
x 1
 lim
x 1

 x  1  lim x  1 
 x  1  x  1
 x  1  x  1
x 1
x 1
1
1

x 1 2
e 1  e x 1 
 1 e  ex 
1
e  ex
1
lim  
   lim

    xlim
x 1
2 1 ex  e
2 x 1 e  x  1
 2 ex  e 
1
e x 1  1
1
e y 1
1
1
   lim
   lim
  1 
2 x 1 x  1
2 y 0 y
2
2
k  e1 
1
1
 k  e
2
2
3.2. g  x   2  x  1 

x 1  y  x  y 1
Se x  1 , y  0
x 1
x 1
 2  x  1 
 2  0 x 1
x 1
x 1
x 1 2x  2
 0  x  1  x  2x  3  0  x  1 
x 1
 x  3  2x  x  1 
 x
2
  3  2 x   x  1  x  9  12 x  4 x 2  x  1 
2
 4 x2  13x  9  0  x  1 
9
9

  x  1 x    x  1  x 
4
4


Verificação:
9
3
1 ?
1
9
x : 4
 2  2
 2 
5
4 9 1
4
4
1
2  2  4  2  2  2 (Proposição falsa)
5
10
5
4
Logo, S   .
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