Prova Escrita de Matemática 2015

PROVA DE MATEMÁTICA
29 de maio de 2015
2h00
Instruções:
I- A prova é constituída por dois grupos. O grupo 1 corresponde a 7 questões de escolha
múltipla. Indique apenas a resposta que considerar correcta. O grupo 2 corresponde a 3
questões de resposta aberta. Apresente e justifique todos os cálculos neste grupo.
II- Não é permitido o esclarecimento de dúvidas durante a prova.
III - Não é permitido o uso de telemóveis ou elementos de consulta durante a prova.
Apenas é permitido o uso de máquina de calcular.
IV – No final do enunciado desta prova (página 10) existe uma folha de rascunho. Os
conteúdos presentes nesta folha não serão considerados na correcção da prova.
NOME: ________________________________________________________
1
GRUPO 1 (7 valores)
Coloque um círculo na resposta correcta a cada questão. Cada questão certa vale 1
valor, cada resposta errada vale 
1
valores e cada questão não respondida ou
3
anulada tem a cotação de 0 valores.
1- Seja X uma variável aleatória com distribuição normal, de valor médio 5 e desvio
padrão σ. Sabe-se P5  X  5,3  0,3 .
Qual dos seguintes números pode ser o valor de σ?
(A) 0,1
(B) 0,2
(C) 0,3
(D) 0,4
2- A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é a seguinte:
xi
1
2
3
P ( X = xi )
a
2a
3a
O valor médio de X é:
(A)
2a
B)
2
3- Se loga c = 3,5 então o valor de
(A) 3,5
(B) 10,5
(C)
14a
3
(D)
a
a 3loga 2  log a ( )
c
(C) 4,5
7
3
é igual a:
(D) 11,5
e x 1
ex  2
 1 , então lim
4- Sabendo que lim
é igual a:
x 0
x 0
x
x
(A) 2
(B) -1
(C) Não existe
(D) 0
2
e  x

5- Considere f ( x)   x  1


se x  0
se x  0 .
Qual o valor da derivada de f (x) no ponto x =0 ?
(A) Não existe
6-
(B) 0
(D) y  x
(C) 1
Seja f uma função derivável em  . O gráfico da função
g é a reta de
equação y  2 x  3 que é tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas
1 ,  1 . Qual o valor de  f  g ' 1 ?
(A) 0
(B)
1
(C)
4
7- Seja z = 2 + i e w = 3 – k i. Qual o valor de k, tal que
puro.
(A)

3
2
(B)
3
2
(C) 1
(D)
zw
2
seja imaginário
(D)
6
3
GRUPO 2 (13 valores)
Neste grupo não existem penalizações por respostas erradas. Apresente e justifique
todos os cálculos que efectuar.
1- A primeira parte de um exame é constituída por sete questões de escolha múltipla,
ordenadas aleatoriamente. Cada questão tem quatro alternativas de resposta, em que
apenas uma está correcta e não há penalizações para uma resposta errada. Um aluno
respondeu ao acaso às referidas sete questões.
Sabe-se que se um aluno acertar em pelo menos seis questões da primeira parte tem
80% de probabilidade de obter aprovação no exame, caso contrário tem apenas 60%
de probabilidade de obter aprovação.
Responda às seguintes questões de forma justificada. Caso necessite de fazer
arredondamentos em cálculos intermédios, use no mínimo três casas decimais.
a) (2 valores) Qual a probabilidade de um aluno obter aprovação no exame?
b) (1,5 valores) Sabendo que não teve aprovação no exame, qual a probabilidade de
ter acertado em pelo menos seis questões da primeira parte?
c) (1 valor) Dentro das sete questões da primeira parte do exame, há duas que se
referem ao capítulo das probabilidades. Qual a probabilidade destas duas
questões aparecem seguidas no enunciado do exame?
Resposta à questão 1 do grupo 2:
4
5
2- Considere a função real de variável real, definida por:
f ( x)  2  ln
a)
b)
c)
d)
1 x
1 x
(1,0 valores) Determine o domínio de f.
(1,5 valores) Mostre que se trata de uma função crescente.
(1,0 valores) Calcule os valores de m para os quais f (1- m) = 2.
(1,5 valores) Estude o sentido da concavidade do gráfico de f.
e) (1,5 valores) Averigue a existência de assimptotas do gráfico de f .
Resposta à questão 2 do grupo 2:
6
3- De uma função g de domínio  sabe-se que a sua derivada g ' também tem
domínio  e é definida por g ' ( x)  2  sin x .
7
g ( x)  g ()
.
x 
x
b) (1,5 valores) Estude o gráfico de g quanto ao sentido das concavidades e indique
a) (1 valor) Determine o valor de lim
as abcissas dos pontos de inflexão (caso existam), no intervalo  0, 2 .
c) (1,5 valores) Indique, justificando, o valor lógico da afirmação:
a  b  g (a)  g (b) , a, b 
Resposta à questão 3 do grupo 2:
8
FOLHA DE RASCUNHO
9
10