Funções de varias variáveis

Funções de varias variáveis
F : Rn  R
(x1 , x 2 ,..., x n )  w  F(x1 , x 2 ,.., x 3 )
Dom( F )  S  R n
S é um subconjunto de Rn
Exemplo 1: Seja F tal que
F : R2  R
(x, y)  w  x 2  y 2  1
Identifique o domínio e a imagem de F
Exemplos
Exemplos
z  1 x  y
2
2
Exemplos
Dominio f : semi-plano superior a y=x
Imagen f : toda reta real.
Observações importantes
Disco aberto, disco fechado
Identifique o domínio e a imagem de F
Gráfico ={(x,y, z) ϵ R 3 ,z=f(x,y)}  (x,y,c) : curva de nível
Gráfico ={(x,y, z, w) ϵ R 4 , w=f(x,y,z)} 
(x,y,z,c) : superfície de nível
Curvas de nível: c=f(x,y); c=cte.
Gráfico: z=f(x,y)
w  x  y 1
2
2
Curvas de nível
Gráfico
f: R3  R
w= f(x,y,z) = z-x2-y2, gráfica: 4D
não da para ver
Superfície de nível: c=z-x2-y2
Limite e continuidade
Limite e continuidade
Limite e continuidade
Exemplo:
Calcule o limite de f(x,y) quando (x,y)  (0,0)
f ( x, y ) 
x
x2  y2
Limite e continuidade
Exemplo:
seja
f ( x, y ) 
x
x2  y2
Analisar continuidade no ponto (1,1)
a) f(1,1)=-1 existe
1
 1
11
b)
lim x(1,1) f ( x, y) 
c)
os dois são iguais.
existe
Logo, f(x,y) é contínua no ponto (1,1).
Derivada parcial
Derivada parcial em relação a x
f ( x0  h, y0 )  f ( x0 , y0 )
f
|( x0 , y0 )  lim h0
x
h
Desde que o limite exista.
Derivada parcial em relação a y
f ( x0 , y0  h)  f ( x0 , y0 )
f
|( x0 , y0 )  lim h0
y
h
Desde que o limite exista
Derivada parcial : interpretação geométrica
Derivada parcial : interpretação geométrica: f(x,y)
Coef. angular da reta tangente
f
f
h
(
y
)

( x0 , y)
g ( x)  ( x, y0 ) as curvas vermelhas
y
x
f  ln( x 2  y 2  1)
f
2x
g
 2
x ( x  y 2  1)
f
2y
h
 2
y ( x  y 2  1)
Derivada parcial como taxa de variação.
f
A derivada parcial ( x0 , y0 ) é a taxa de variação de f ao longo
x
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0),
f
A derivada parcial y ( x0 , y0 ) é a taxa de variação de f ao longo
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e2 = (0, 1),
Isto é, as derivadas parciais medem a velocidade da
variação parcial da função em relação a cada variável,
quando as outras estão fixadas.
Notação:
f
f
 fx;
 fy
x
y
Derivada parcial de segunda ordem.
2 f
 f  2 f
 f
 f xy  ( );
 f yx  ( )
yx
y x xy
x y
notação
2 f
2 f
2 f
2 f
 f xx ;
 f yy ;
 fyx ;
 fxy
2
2
x
y
xy
yx
Teorema das derivas mistas.
Se f(x,y) e suas derivadas parciais fx,fy,fxy
forem definidas em uma região contendo o ponto
(a,b) e todas forem contínuas em (a,b) então
2 f
2 f
|( a ,b ) 
|( a ,b )
xy
yx
Diferenciabilidade de uma função z=f(x,y).
A função z=f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) se fx, fy
sejam definidas em uma região que contenha o
ponto (x0,y0) e que
z  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 )
satisfaz
z  f x ( x0 , y0 )x  f y ( x0 , y0 )y  1x   2 y
Na qual 1  0,  2  0
quando
x  0, y  0
Continuidade de derivadas parciais implica
Diferenciabilidade.
Dada a função z=f(x,y) se fx, fy são contínuas ao
longo de uma região do seu domínio então f
é diferenciável.
Diferenciabilidade implica continuidade
Regra da cadeia:funções de 2 variáveis
independes
Dada a função w=f(x,y), e se fx, fy são contínuas e
se x=g(t), y=h(t) forem funções diferenciáveis de t
então a função composta w(t)=f(g(t),h(t)) será uma
função diferençável de t, logo
df
f dx
f dy ,

.

.
dt
x dt
y dt
df 
f
dt
é chamada de derivada
total
Exemplo :
Seja f(x,y)= x2 y; e seja x= cos(t), y= t, determine
df
dt
df
dt
Esta derivada total indica como esta variando a função f ao longo da
curva r(t) = (cos(t),t, cos(t)2 t) que descansa na superfície z=f(x,y)
Taxa de variação da função z=f(x,y) ao longo da curva
r(t) = (cos(t), t, cos(t)2 t)
Regra da cadeia
Regra da cadeia:funções de 2 variáveis independes
Dada a função w=f(x,y,z), e se fx, fy , fz são contínuas e se
x=g(t,s), y=h(t,s),z=k(t,s) forem funções diferenciáveis de t
e s então a função composta w(t,s) = f(g(t,s),h(t,s),k(t,s))
será uma função diferençável de t, logo
df
f dx
f dy
f f ,

.

.

.
dt
x dt
y dt
z t
df
f dx
f dy
f dz

.

.

.
,
ds
x ds
y ds
z ds
df
dt
,
df
ds
São chamadas de derivadas totais.
Exercícios
1.- identifique o domínio e a imagem da função w =
w(x,y) definida assim
2
2
w  x  y 1
2.-Desenhe a superfície definida pela equação
z 
x2
y2

1
4
3.- encontre as curvas de nível da equação z=16-x2-y2
4.-Calcule
a)
lim ( x, y )(0,0) f ( x, y) se
yx 2  y 2
f ( x, y ) 
x2  y
b)
f ( x, y ) 
x
x2  y2
Exercícios
2 xy 2
z  2
x  y3
5.- A função z=f(x,y) esta definida como
quando para (x,y)≠(0,0), e seria 0 para (x,y)=(0,0).
Mostre se ela não é continua no ponto (x,y)=(0,0).
6.- utilize o teste dos caminhos para mostrar que 2
4
x
y

x
f ( x, y )  4
lim
f ( x, y) não existe,
2
( x , y )( 0, 0 )
x y
7.- Dado f(x,y)= x2y + 2y, determine fx, fxx, fy, fyy
8.- Sendo f(x,y,z)=x+ xy+ cos(2z+x), determine fx, fxy, fxz,
fyy, fzz,
x
f ( x, y ) 
9.- Seja
determine fxy e fyx
x y
10.- Mostrar a diferenciabilidade de f(x,y) = y2+4x, em
qualquer ponto do se domínio.
Exercícios
11) Uma caixa em forma de paralelepípedo de lados x y e
z estão variando de volume, de tal forma que num
instante dado esses 3 lados medem x0=1m, y0=2m,
z0=3m respectivamente. No mesmo instante a taxa de
variação dos lados x, y e z em relação ao tempo é
respectivamente 1m/s, 1m/s e -3m/s. Determine a taxa
de variação do volume e da superfície total da caixa em
relação ao tempo no mesmo instante.
12) Seja f uma função duas vezes diferençável em R; seja
u(x, t) = a f(x+c t) + b f(x-c t) sendo a, b, c constantes
2
2
reais e c ≠ 0. Mostre que
Equação de
onda
u 1 u
 2 2 0
2
x c t