yx - UFRN

Funções de varias variáveis ou
Funções reais de variável vetorial
F : Rn  R
(x1 , x 2 ,..., x n )  w  F(x1 , x 2 ,.., x 3 )
Dom( F )  S  R
n
Exemplo 1: Seja F tal que
S é um subconjunto de Rn
F : R2  R
(x, y)  w  x 2  y 2  1
Identifique o domínio e a imagem de F
Exemplos
Gráfico de função
z  1 x  y
2
2
Exemplos
Domínio f : semi-plano superior a y=x
Imagem f : toda reta real.
Observações importantes
Disco aberto, disco fechado
Identifique o domínio e a imagem de F
Seja : z = f(x,y), logo G(f)={(x,y,f(x,y)) C R3 }  superfície
Curva nível = { (x,y,c) C R3 , c=f(x,y)}  curvas
Seja : w = f(x,y,z), logo G(f)={(x,y,z,f(x,y,z) )C R4 }  hiper-superf.
Curva nível = { (x,y,z,c) C R4 , c=f(x,y,z)}  superfícies
Curvas de nível: c=f(x,y); c = cte.
Gráfico: = {(x,y, z) ϵ R3 , (x,y) ϵ D(f)}, z=f(x,y))
w  f ( x, y)  x 2  y 2  1
c  x  y  1  1,
2
2
c 1  x  y
2
2
Curva de
nível
2
x
2
z
y
4
z= ln(y-x)
Curvas de nível :
c  ln( y  x)
ec  y  x  y  x  ec
z: R2  R, z(x,y)= -5x/(x2 + y2 + 1)
A gráfica da função z,
se da no espaço R3
(é uma superfície ).
Qual é a equação das
curvas de nível ???
f: R3  R
w= f(x,y,z) = z-x2-y2,
Gráfico (f) = {(x,y,z,w) ϵ R4, (x,y,z) ϵ Domin(f) ϵ R3}
não da para ver, só podemos visualizar as superf. De
nível
Superfície de nível: c = z-x2-y2
Limite e continuidade de funções reais
com variável vetorial (varias variáveis)
Exemplo: Seja
f ( x, y)  x  y  1
provar que
2
2
lim ( x, y )(0,0) f(x, y)  L  1
L
lim ( x, y )( x0 , y0 ) f(x, y)  L
Imagem de f
   ( )
lim
0  ( x  x0 )  ( y  y0 )  
2
2
disco de radio δ
Limite e continuidade
Continuidade de funções reais
de variável vetorial
Exemplo 1.- A função f(x,y)= x2+y2+1, é continua para todo ponto
(x,y) do domínio de f =R2
Exemplo 2.- f(x,y) = (x+y)/(x-y), domínio(f) = R2 - {a reta x=y}
Exemplo 3
Exemplo 4. verifique se a função f ( x, y) 
continua no ponto (1,1/4)
y  x2
e
Limite e continuidade: exercícios
Exercício 1.- Analise a continuidade da função
z= f(x,y) = ln(x2+y2+1) no ponto (0,0);
Reposta: a função f(x,y) é continua no ponto (0,0).
Exercício 2.- Em que ponto do espaço R3 a função
1
é continua?
h( x, y, z ) 
x2  y 2 1
Resposta: em qualquer lugar exceto no cilindro x2+y2=1
Exercícios
1.- Identifique o domínio e a imagem da função w =
w(x,y) definida assim
2
2
w  x  y 1
2.-Desenhe a superfície definida pela equação
z 
x2
y2

1
4
3.- encontre as curvas de nível da equação z=16-x2-y2
3.-Calcule
a)
lim ( x, y )(0,0) f ( x, y) se
yx 2  y 2
f ( x, y ) 
x2  y
b)
f ( x, y ) 
x
x2  y2
2 xy 2
z  2
x  y4
4.- A função z=f(x,y) esta definida como
quando para (x,y)≠(0,0), e seria 0 para (x,y)=(0,0).
Mostre se ela não é continua no ponto (x,y)=(0,0).
5.- utilize o teste dos caminhos para mostrar que
não existe, sendo
lim ( x, y )(0,0) f ( x, y)
x2 y  x4
f ( x, y )  4
x  y2
Derivada parcial
Derivada parcial em relação a x
f ( x0  h, y0 )  f ( x0 , y0 )
f
|( x0 , y0 )  lim h0
x
h
Desde que o limite exista.
Derivada parcial em relação a y
f ( x0 , y0  h)  f ( x0 , y0 )
f
|( x0 , y0 )  lim h0
y
h
Desde que o limite exista
Derivada parcial : interpretação geométrica
Derivada parcial : interpretação geométrica: f(x,y)
Coef. angular das retas tangentes
f
g ( x)  ( x, y0 ) as curvas vermelhas
x
f
h( y)  ( x0 , y)
y
f  ln( x 2  y 2  1)
f
2x
g
 2
x ( x  y 2  1)
f
2y
h
 2
y ( x  y 2  1)
Derivada parcial como taxa de variação.
f
A derivada parcial ( x0 , y0 ) é a taxa de variação de f ao longo
x
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0),
f
A derivada parcial y ( x0 , y0 ) é a taxa de variação de f ao longo
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e2 = (0, 1),
Isto é, as derivadas parciais medem a velocidade da variação
parcial da função em relação a cada variável, quando as outras
estão fixadas.
Notação
f
f
 fx;
 fy
x
y
Derivada parcial de segunda ordem.
2 f
 f  2 f
 f
 f xy  ( );
 f yx  ( )
yx
y x xy
x y
notação
2 f
2 f
2 f
2 f
 f xx ;
 f yy ;
 f yx ;
 f xy
2
2
x
y
xy
yx
Teorema das derivadas mistas.
Se f(x,y) e suas derivadas parciais fx,fy,fxy
forem definidas em uma região contendo o ponto
(a,b) e todas forem contínuas em (a,b) então
2 f
2 f
|( a ,b ) 
|( a ,b )
xy
yx
Exemplo 1.- Seja a função z=f(x,y)= ex+2y , verifique que
o teorema anterior se verifica.
Diferenciabilidade de uma função z=f(x,y).
A função z=f(x,y) é diferenciável em (x0,y0) se fx, fy
sejam definidas em uma região que contenha o
ponto (x0,y0) e que
z  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 )
satisfaz
z  f x ( x0 , y0 )x  f y ( x0 , y0 )y  1x   2 y
Na qual 1  0,  2  0
quando
x  0, y  0
Exemplo: análise a diferenciabilidade da função
z = f(x,y) =y x2+y2
Continuidade de derivadas parciais implica
Diferenciabilidade.
Dada a função
e ( x, y)  D , z=f(x,y)
se fx, fy existirem e são contínuas no domínio D,
então f é diferenciável nesta ponto (x,y).
Diferenciabilidade implica continuidade
Importante: Dada a função diferenciável
f(x,y) , logo a diferencial de f, em (x,y), relativa aos
acrescimos dx, dy é indicada por dz ou df
f : D  R 2  R,
dz  f x ( x0 , y0 )dx  f y ( x0 , y0 )dy
Plano tangente a uma superfície no espaço R3
Plano tangente a uma superfície.
O plano tangente ao gráfico de uma função f(x,y) num ponto é o
plano que contem todas as retas tangentes ao gráfico de f que
passam pelo ponto. Se todas as retas tangente a esse ponto não são
co-planares, então dizemos que o plano tangente não existe.
Seja f : A  R 2  R uma função diferençável no ponto (x0,y0)
Equação do plano tangente a o gráfico G(f) no ponto
(x0,y0,z0), z0=f(x0,y0)
( x  x0 ) f x0  ( y  y0 ) f y0  1.( z  z0)  0
f x0 
f
( x0 , y0 )
x
f y0 
f
( x0 , y0 )
y
Plano tangente a uma superfície.
A interseção do plano e a curva z=f(x,y) é justamente o ponto
(x0,y0), que é o ponto de intercepto das duas superfícies.
O plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (x0,y0,z0) só é
definida se a função f(x,y) for diferenciável neste ponto. Casso a
função for diferenciável o plano conterá todas as retas tangentes
ao gráfico de f(x,y) no ponto (x0,y0).
Se não for diferenciável em (x0,y0) , mas admitir derivadas parciais
neste ponto, então o plano existirá mas não será plano tangente.
http://www.mat.uc.pt/~picado/geomdif/anima/planotangente.html
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/t6PlanoTangente/software/planoTangente-con-normal.html
exemplos
• Determine a equação do plano tangente á superfície
w  f ( x, y)  x 2  y 2  1 , no ponto Q=(1,2,6).
Determine também a equação da reta perpendicular
ao plano que passa pelo ponto Q.
• Determine a equação do plano tangente à superfície
S definida pela equação z = ln(y-x) , no ponto
Q=(1,2,0). Encontre também um vetor unitário
perpendicular a dita superfície S no mesmo ponto.
Regra da cadeia:funções de 2 variáveis
independes
Dada a função w=f(x,y), e se fx, fy são contínuas e
se x=g(t), y=h(t) forem funções diferenciáveis de t
então a função composta w(t)=f(g(t),h(t)) será uma
função diferençável de t, logo
df
f dx
f dy

.

.
dt
x dt
y dt
,
df
dt
é chamada de derivada
total
Exemplo 1:
Seja f(x,y)= x2 y; e seja x= cos(t), y= t, determine
df
dt
df
dt
Esta derivada total indica como esta variando a função f ao longo da
curva r(t) = (cos(t),t, cos(t)2 t) que descansa na superfície z=f(x,y)
Taxa de variação da função z=f(x,y) ao longo da curva
r(t) = (cos(t), t, cos(t)2 t)
Exemplo 2
df
Determine dt
ao longo da curva r(t)=(-t, 2 t ). A curva r(t) = (-t , 2 t, ln(3 t))
que descansa na superfície z = f(x,y)= ln (y-x) se observa na figura anterior.
A derivada solicitada daria a taxa de variação de f conforme nos movimentamos
Alo longo da curva horizontal r(t)=(-t,2t).
Regra da cadeia
Regra da cadeia:funções de 3 variáveis independes
Dada a função w=f(x,y,z), e se fx, fy , fz são contínuas e se
x=g(t,s), y=h(t,s),z=k(t,s) forem funções diferenciáveis de t
e s então a função composta w(t,s) = f(h(t,s),h(t,s),k(t,s))
será uma função diferençável de t e s, logo
,
f
f dx
f dy
f f

.

.

.
t
x dt
y dt
z t
f
f dx
f dy
f dz

.

.

.
,
s
x ds
y ds
z ds
Exemplos
1.- Seja a função z= f(u,v) = sin(u v) + cos (u v) , e considere as
seguinte parametrizações. u= x - c t, e v= x +ct. Sendo c uma
constante,
a) Determine f , f
t x
b) Determine
2 f
2 f
 f tt ,
 f xx
2
2
t
x
2.- seja a função w= x2+ 2 y2+z , e consideremos as parametrizações
x= t+s, y = t-s, z= t s;
a) Determine as derivadas parciais
w w
,
t s
b) Determine a diferencial total da função w(x,y,z), “dw”.
Derivada implícita
O teorema da função implícita afirma que se F(x,y) é
definida num disco aberto contento o ponto (a,b),
onde F(a,b)=0, Fy (a,b) ≠ 0, Fx, Fy são funções
continuas então dy/dx esta definida.
Fx
dy
F ( x, y )  0,

dx
Fy
Exemplo: Seja x3+y3 = 6xy, calcular dy/dx
Exercícios
1.- Dados
a) f(x,y)= x2y + 2y, b) f(x,y,z) = cos(x+y)z+ zy
determine fx, fxx, fy, fyy , fxz, fzzy
2.- Seja f ( x, y)  x
determine fxy e fyx em que parte do
x y
domínio são iguais.
3.- Mostrar a diferenciabilidade de f(x,y) = y2 + 4x em
qualquer ponto do seu domínio.
4.- calcular a diferencial de a) z= x3y, b) sin(x y)
5.- determine a equação do plano tangente e da reta normal
ao gráfico da função dada por
a) f(x,y)= x2+4y2+1, b) ln(x2-y) c) f(x,y)= 5x/(x2 + y2 + 1) nos
pontos (x,y,z)=(1,1,6), (x,y,z)=(2,3,0), (x,y,z)=(1,1,5/3)
respectivamente.
Exercícios
6) Uma caixa em forma de paralelepípedo de lados x y e z
estão variando de volume, de tal forma que num instante
dado esses 3 lados medem x0=1m, y0=2m, z0=3m
respectivamente. No mesmo instante a taxa de variação
dos lados x, y e z em relação ao tempo é
respectivamente 1, 1 e -3. Determine a taxa de variação
do volume e da superfície total da caixa em relação ao
tempo no mesmo instante.
7) Seja f uma função duas vezes diferençável na reta real ;
seja u(x, t) = a f(x+c t) + b f(x-c t) sendo a, b, c constantes
2
2
reais e c ≠ 0. Mostre que
Equação de
onda
u 1 u
 2 2 0
2
x c t