Derivada do produto e quociente

Derivadas Elementares – Cálculo e Aplicações
Exercício – Calcule a derivada da seguinte função y = (x2 – 2x).(x + 3).
Atenção! verifique que a derivada do produto de duas funções não é o produto de suas derivadas.
REGRA 6 – Derivada do produto
Sejam u e v duas funções diferenciáveis, então é possível mostrar que:
(u.v)’ = u’.v + u.v’
Exemplo 1. Calcule a derivada das funções abaixo:
a) y = (x2 – 2x)(x + 3)
b) w = (t + 1).(t2 + 4)
Exemplo 2. Sendo g(x) = (x3 – 2x2 + 5)(x3 – 1), obtenha g’(1)
REGRA 7 – Derivada do quociente
Sendo u e v duas funções diferenciáveis é possível mostrar que:
u
u ' v - uv'
( )' =
v
v2
Exemplos:
a) y =
x2
x +1
b) S =
3t 2 + 2
2t - 3
c) S =
1
3t + 2
4.5 Derivadas Sucessivas e Aplicações das Derivadas
Problema 1. Calcule as derivadas sucessivas da função y = 2x5 – 6x3 + 2x2 – 5 até a terceira ordem.
Problema 2. A posição de um corpo no instante t é dada pela função S = t3 + 2t2 + 1. Determine a velocidade e a
aceleração desse corpo no instante t = 2s.
Problema 3. A corrente instantânea em qualquer circuito elétrico é dada por 𝑖 = $%
$&
onde q é a carga elétrica (em
Coulombs) e t o tempo (em segundos). Determinar a corrente i onde q = 1000t3 + 50t quando t = 0,01 s.
Problema 4. Sabendo-se que o diâmetro de uma esfera, medido com um micrômetro, é de 2 cm e considerando
que a precisão desse instrumento é de 0.01, determine a variação do volume dessa esfera.
Problema 5. Considere a seguinte função: f(x) = - x2 + 4x.
a)
Determine f '(3).
b) Qual o significado geométrico do número f '(3)?
c)
Esboce o gráfico de f e da reta tangente a esse gráfico no ponto de abscissa x = 3.
d) Escreva a equação da reta tangente citada no item anterior.
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Derivadas Elementares – Cálculo e Aplicações
Problema 6. Quando um esquiador atinge o ponto A sobre uma trajetória parabólica ( y =
x2
) ele tem uma
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velocidade de 6 m/s. Determine o ângulo que sua velocidade forma com o eixo horizontal.
Problema 7. Determinar a velocidade escalar de um objeto móvel no instante t = 1 s sabendo-se que seu vetor
posição é dado por 𝑟 = 𝑡 + 3 𝚤 + (𝑡 - − 1)𝚥 .
Problema 8. Dado que v = Ri, determinar a taxa de variação da tensão (v) em relação ao tempo (t), no instante
t = 3s, se a corrente i = 6 + 2t3 (A) e a resistência R = 20 – 5t (W).
Problema 9. Determinar a velocidade de um objeto após 3 s de percurso onde a distância S (em metros), percorrida
pelo objeto, é dada por S =
&23
& 4 23
.
Problema 10. Sabendo – se que a carga elétrica de um circuito é dada por q =
&
&25
determine sua corrente no
instante t = 2 s.
Problema 11. Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área A da
superfície da mancha em relação ao raio r do círculo para r = 200 m.
Problema 12. Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número n
de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia de epidemia) é,
aproximadamente, dado por n = 64t -
t3
.
3
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5° dia?
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