Cálculo de Funções de Várias Variáveis e Operadores

Estudo dirigido de Introdução às Funções de Várias Variáveis
Prof. Walter Martins Rodrigues
CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
2ª Lista de Exercícios – Regra da Cadeia, Vetor Gradiente e Derivadas Direcionais.
REGRA DA CADEIA
1)Utilize a Regra da Cadeia (1° caso) para encontrar
a ) z  x 2 y  xy 2 ,
b) z  x 2  y 2 ,
c) z  senx. cos y,
d ) z  x. ln( x  2 y ),
y
z
dw
dz
ou
.
dt
dt
x  2  t 4, y  1 t3
x  e 2t , y  e  2t
x   .t , y  t
x  sent , y  cos t
e) w  x.e ,
x  t 2 , y  1  t , z  1  2t
f ) w  xy  yz 2 ,
x  e t , y  et .sent , z  e t . cos t
2)Utilize a Regra da Cadeia (2° caso) para encontrar as derivadas parciais
a ) z  x 2  xy  y 2 ,
b) z 
x
,
y
c) z  arctg (2 x  y ),
d ) z  e xy .tg ( y ),
e) z  e x . cos( y ),
x = s +t,
y = s.t
x = s.et,
y = 1 + s.e-t
x = s2t
y = s.ln(t)
x = s+2t
y = s/t
x = s.t
y = s2  t 2
z
z
e
.
s
t
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VETOR GRADIENTE
3) Encontre o vetor gradiente f paras as funções a seguir, nos pontos indicados.
Regra: f ( x, y, z ) 
f  f  f 
i
j k
x
y
z
a) f ( x, y)  2 x 2  y 2  3x  y
b) f ( x, y ) 
2
(1,-2)
2
x
y

16 9
c) f ( x, y, z )  x.sen( yz )
(4,3)
(1,3,0)
DERIVADAS DIRECIONAIS
4) Determine a derivada direcional de f no ponto dado e a direção e sentido indicados pelo
ângulo .
a ) f ( x, y )  x 2 y 3  y 4 ,
(2,1) e  = /4
b ) f ( x, y )  5 x  4 y ,
(4,1) e  = - /6
c) f ( x, y )  x.sen( xy),
(2,0) e  = /3
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5) Determine a derivada direcional Duf das funções abaixo no ponto dado e na direção e
sentido do versor u.
a ) f ( x, y )  5 xy 2  4 x 3 y,
5 12
P(1,2)
u
,
13 13
b) f ( x, y )  y. ln( x),
P(1,-3)
u
4 3
,
5 5
c) f ( x, y, z )  x.e 2 yz ,
P(3,0,2)
u
2 2 1
,
,
3 3 3
2 3 6
, ,
7 7 7
6) Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção e sentido
definidos pelo vetor v.
d ) f ( x, y , z ) 
P(1,3,1)
x  yz ,
a ) f ( x, y )  1  2 x y ,
(3,4)

v  4,3
b) f ( x, y )  ln( x 2  y 2 ),
(2,1)

v   1,2
c ) g ( s, t )  s 2 e t
(2,0)

v i j
d ) g (r ,  )  e .sen
0,  3 
r
e) f ( x, y , z ) 
f ) f ( x, y , z ) 
x 2  y 2  z 2 , (1,2,-2)
x2
,
yz
g ) f ( x, y , z )  ( x  2 y  3 z )
(4,1,1)
3
2
(1,1,2)
u

v  3i  2 j

v   6,6,3

v  1,2,3

v 2jk
7) Determine a derivada direcional de f ( x, y)  xy em P(3,8) na direção de Q(5,4).
Determine os planos tangentes ao gráfico de f no ponto (1,2,f(1,2)) e no ponto (3,1,f(3,1)).