5.3 Geração e Detecção de FM e PM O fato da amplitude dos sinais

5.3 Geração e Detecção de FM e PM
O fato da amplitude dos sinais modulados exponencialmente ser constante é uma vantagem em
termos de hardware.
Nã existe
Não
i preocupação
ã com dissipação
di i ã excessiva
i de
d potência
ê i ou ruptura por alta
l tensão
ã devido
d id a
picos de envoltória (como na modulação AM).
A imunidade s distorção não linear permite o uso de dispositivos eletrônicos não lineares, motivo
d grande
de
d preocupação
ã na modulação
d l ã linear.
li
Consequentemente, uma tolerância considerável é possível no projeto e seleção dos equipamentos.
Em pparticular,, emprega-se
p g
FM em enlaces com repetidoras
p
de microondas ppara comunicação
ç por
p
longas distâncias, porque os amplificadores lineares banda larga exigidos na modulação AM não
são disponíveis, ou então, são pouco eficientes nessas frequências.
FM Direto
Di t e VCOs
VCO
O processo de FM direto é imediato e requer apenas um oscilador controlado por tensão (VCO –
Voltage Controlled Oscillator), cuja frequência de oscilação exibe uma dependência linear com a
t ã aplicada.
tensão
li d
Pode-se modular um circuito oscilador* sintonizado convencional pela introdução de um elemento
de reatância variável como parte de um circuito ressonante RLC paralelo.
_____________________________________________________________
*Ver o Adendo no final desse item
Se a capacitância equivalente tem uma dependência temporal da forma:
e, se Cx(t) for pequeno e lento o suficiente, então, o oscilador produz x c (t )  Ac cos  c (t )
1
1
1
1
onde
f (t ) 


2 LC (t ) 2 L[C 0  Cx (t )] 2 LC 0 1  (C / C 0 ) x (t )
Como c (t )  2f (t ) ,
Sabendo-se q
que,
1
1 a
 1
1
1 .3 2 1 .3 .5 3
a
a 
a  ... , a  1
2
2 .4
2 .4 . 6
pode-se expandir c (t ) como
c (t ) 
pois Cx(t ) / C 0  1 .
1
LC 0
[1 
1 C
x (t )]
2 C0
Chamando  c  1 / LC 0 , a frequência de saída do oscilador na ausência de sinal (frequência da
portadora)
t d )
1 C
c (t )   c [1 
x(t )]
2 C0
ou
__________________________________________________________
Portanto:
t
 c (t )  2f c t  2 f   x( ) d
para
confirmando q
que f depende
p
do circuito empregado.
p g
Visto que x(t)  1, esta aproximação podes ser boa dentro de 1%, quando C/C0 < 0,013.
(Mostrar isto!)
Neste caso, o desvio de frequência associado está limitado a:
a qual quantifica a condição de Cx(t) ser pequeno o suficiente.
Similarmente, a condição W << fc assegura que Cx(t) é lento o suficiente.
Obs: O diodo varactor (ou varicap )
+
v

C

Opera sob polarização reversa.

linear range
v

C
Quando reversamente polarizados, os diodos apresentam em sua junção PN uma capacitância devido
à presença de portadores de carga separados pela região de depleção; ao se variar a tensão nos
terminais do diodo, varia-se a largura da camada de depleção (o que equivale a aumentar o meio
dielétrico entre as placas de um capacitor),
capacitor) e daí,
daí sua capacitância.
capacitância
Os varicaps* são construídos de modo a se ampliar esse efeito capacitivo, tornando-os mais sensíveis
a variações de tensão.
___________________________________________________________
* Malvino, A., Electronic Principles, 7th ed., McGraw-Hill, 1986.
(continua)
Torna-se necessário polarizar o varicap para operar na sua região mais linear (em torno do ponto Q).
Um valor DC, igual a C0, está presente na saída do dispositivo.
C(t)=C0Cx(t)
C
C0
Q

C0
VQ
v
v(t)
(t)
t
x(t)
t
São usados na implementação de geradores de frequência variável, em sintonia automática de canais de
televisão etc
televisão,
etc.
#
Na Fig
Fig. 5.3
5 3-1
1 tem-se
tem se um oscilador com um diodo varactor polarizado para se obter Cx(t).
Cx(t)
O transformador de entrada, choque de RF e bloqueio DC servem para isolar a baixa frequência,
alta frequência e termo DC entre si.
A ffonte VB polariza
l i reversamente Cv no ponto quiescente;
i
o trafo
f e o bloqueio
bl
i DC impedem
i
d VB de
d
atingir x(t) ou xc(t).
O choque RFC se comporta como um curto-circuito para x(t) no secundário do trafo, e assim,
modula
d l Cv de
d acordo
d com x(t)
( ) /N
/N.
Este sinal não consegue atravessar o bloqueio DC.
O circuito oscilador percebe em sua saída o seguinte sistema equivalente:

Cv

Cv  C0 
C
x(t )
N
A ffrequência
ê i da
d portadora
t d
é definida
d fi id por:
output
resonant
circuit (fc)
fc 
1
2 L(C1  C 0 )
A frequência instantânea deve ser:
f ((tt ) 
1
2 LC v (t )

1
C
x(t )]
N
Desvantagem:
g
como o varactor é um semicondutor,, C0 é susceptível
p
à variações
ç
de temperatura,
p
,e
assim, a frequência portadora fc tende a sofrer deriva e precisa ser estabilizada por controle de
frequência realimentado.
2 L[C1  C 0 
g
linear podem
p
gerar
g
uma forma de
Osciladores controlados ppor tensão à base de circuito integrado
onda FM direta que é relativamente estável e exata.
Contudo necessitam de vários componentes externos,
Contudo,
externos como o mostrado na Fig.
Fig 5.3
5 3-22, para o
transmissor de FM direto usando o CI da Motorola MC1376, de 8 pinos.
O VCO é bem linear entre 2 e 4 V, opera com portadoras entre 1,4 e 14 MHz e pode produzir um
pico de desvio de frequência de aproximadamente 150 kHz.
Devido a sua baixa potência de saída, são mais adequados para aplicações como telefone sem fio.
Reatância capacitiva com JFET
O circuito mostrado na figura abaixo ilustra como sintetizar uma capacitância controlada por tensão
usando-se um transistor JFET, em substituição ao varicap.
id
s
modelo  equivalente
impedância
de entrada
A corrente AC de dreno é calculada como:
R
R
v gs  ic R 
v  id  g m v gs  g m
v
R  jX c
R  jX c
Escolhendo-se Xc >> R, determina-se a impedância de entrada vista pelos terminais AA’:
v R  jX c  jX c
z 

id
gm R
gm R
Trata-se de uma reatância capacitiva com impedância equivalente:
X
1
1
X eq  c 

 Ceq  g m RC
g m R 2fCg m R 2fCeq
X
1
1
X eq  c 

 Ceq  g m RC
g
R
2

fCg
R
2

fC
m
m
eq
______________________________________________________________
Trata-se de uma capacitância equivalente, que pode ser variada pela tensão de polarização DC, via
modulação da transcondutância gm.
Alternativamente, se C e R forem intercambiados no circuito, e, R >> Xc , obtém-se:
v g  ic R 
Como R >> Xc , resulta:
z
 jX c
( jX c )
v  id  g m v g  g m
v
R  jX c
R  jX c
1
jR
v R  jX c

( X c  jR ) 

id  jX c g m X c g m
X c gm
A partir da qual, obtém-se a indutância equivalente:
X eq 
R
2fCR

 2fLeq
X c gm
gm
 Leq 
RC
gm
a qual pode ser controlada pela tensão de polarização DC do circuito.
Em geral, não se costuma empregar o JFET nesta configuração para modulação de FM direto.
Adendo: Circuitos Osciladores
Considere-se o diagrama de blocos mostrado abaixo:
Vi
Vo
Vf
V f ( s )   ( s )Vo ( s )
A tensão de saída é:
Vo ( s )  G ( s )[Vi ( s )  V f ( s )] sendo
e assim,
Vo ( s )  G ( s )[Vi ( s )   ( s )Vo ( s )]  Vo ( s )[1  G ( s )  ( s )]  G ( s )Vi ( s )
O ganho do oscilador será:
A f ( s) 
na qual o ganho de malha é dado por:
Vo ( s )
G ( s)
G ( s)


Vi ( s ) 1  G ( s )  ( s ) 1  L( s )
L(s)  G (s) (s)
Se Vi = 0 em  = 0 , a única forma de ocorrer Vo diferente de zero é que L(0 )  G (0 )  (0 )  1 .
Nesta condição, a saída será finita mesmo quando a entrada externa Vi for nula.
Critério de Barkhausen:
 G (0 )  (0 )  1

arg[G (0 )  (0 )]  0
(continua...)
Operação do oscilador:
Vo
Vi=0
Vo
Vf
Logo que se liga a alimentação do oscilador, os únicos sinais no sistema são as tensões de ruído.
Para partida do oscilador, se faz G > 1 na frequência 0, sendo que  é um circuito ressonante tal que o desvio de
fase é 0o em 0 (realimentação positiva).
O ruído de entrada é amplificado, aparece na saída, realimenta o circuito ressonante  e é filtrado de modo a haver
apenas uma componente senoidal com fase exatamente correta para a realimentação positiva, que ocorre em 0.
Quando o sinal atinge a amplitude desejada, diminui-se G para 1 (caso contrário, o amplificador G seria conduzido
à saturação) e a oscilação prossegue por si só.
Condições:
ç
G
G
 G
 
(continua...)
O método das três impedâncias
Quando se emprega uma rede de amplificadores G(s) em configuração inversora (desvio de fase de
180º entre saída e entrada), torna-se necessário usar uma rede de realimentação (s) que produza uma
defasagem de 180º entre seus terminais.
Isto pode ser obtido através de três impedâncias dispostas como na figura abaixo:
G(s)
V
R0

V

V0


AvV

0
Z1
Vf 
Z2


(s)
Z3
Foi considerado que a impedância de entrada do amplificador é infinita, e assim, não flui corrente do
circuito de realimentação
ç ((s)) para
p a entrada do amplificador
p
G(s).
()
Considera-se que a impedância de saída do amplificador seja R0.
Aplicando o divisor de tensão à malha de realimentação:
Z1
V f   V0 
V0
Z1  Z 3
donde se conclui que
G(s)
V
R0

V


Vf 
Z1
V0


AvV
Vf
V0

Z1
Z1  Z 3
Além disso,, observa-se qque a impedância
p
Zp, na saída do amplificador G(s), é:

0
(continua...)

Z2
(s)
R0
 V0
AvV

I0
 V0
Zp
Z3
Z p  Z 2 //( Z1  Z 3 ) 
Desta forma, a corrente I0 vale:
e daí, obtém-se o ganho do amplificador
Z 2 ( Z1  Z 3 )
Z1  Z 2  Z 3
 AvV V 0

R0  Z p Z p
 Av Z p
V
G 0 
V R0  Z p
I0 
(continua...)
V
Z1
 Av Z p
V
Z (Z  Z 3 )
 f 
G 0 
Z p  Z 2 //( Z1  Z 3 )  2 1
V0 Z1  Z 3
V R0  Z p
Z1  Z 2  Z 3
______________________________________________________________
G
 Av Z 2 ( Z 1  Z 3 )
R0 ( Z 1  Z 2  Z 3 )  Z 2 ( Z 1  Z 3 )
O ganho de malha é dado por:
 Av Z 1 Z 2
R0 ( Z 1  Z 2  Z 3 )  Z 2 ( Z 1  Z 3 )
G 
Se Z1 = jX1 , Z2 = jX2 e Z3 = jX3,
Av X 1 X 2
jR0 ( X 1  X 2  X 3 )  X 2 ( X 1  X 3 )
G 
ou
G X 2 ( X 1  X 3 )  Av X 1 X 2  jG R0 ( X 1  X 2  X 3 )  0
g
é obedecida se ambas,, a pparte real e pparte imaginária,
g
, forem nulas.
Esta igualdade
Fazendo a parte imaginária igual a zero:
X 1  X 2  X 3  0 , pois G,  e R0 são não nulos.
Uma alternativa possível ocorre quando X1 e X2 são reatâncias do mesmo tipo, por exemplo,
capacitiva
iti (indutiva),
(i d ti ) e X3 é do
d tipo
ti oposto,
t ou seja,
j indutiva
i d ti (capacitiva).
(
iti )
Fazendo a parte real igual a zero, resulta: G 
 Av X 1
X1  X 3
X 2  ( X 1  X 3 ) é não nulo.
assumindo-se que
(continua...)
 Av X 1
X 2  ( X 1  X 3 )
G 
X1  X 3
____________________________________________________________
Neste caso,
X
G  Av 1
X2
Aplicando-se o critério de Barkhausen, para que a oscilação se mantenha é necessário que G = 1
e arg [G , ou seja
X
X
G  Av 1  1  Av  2
X1
X2
Conforme será visto adiante, no oscilador Colpitts, X1 e X2 são reativos capacitivos e X3 é reativo
indutivo.
Chamando: X 2  ( X 1  X 3 )  X
tem-se, da malha com I2:
G(s)<0
V
R0

V
0


AvV
Vf
V0
Vf 
V0  Z 2 I 2  jX 2 I 2  jXI 2
Da malha
lh com I1:
L
C2
(s)<0
jXI 2   jXI1  I 2   I1  I
Logo:
I2
 V0
C1

V0  ( Z1  Z 3 ) I1  j ( X 1  X 3 ) I1   jXI1

I1
V0
Assim:

Vf
V0

jX 1 I1 X 1 (  I )
X

 1
jX 2 I 2
X 2I
X2
(continua...)
I 2   I1  I
_________________________________________________________________
G(s)<0
V
R0

V

V0


AvV

0
I2
Vf 
 V0
I1
C1
L
C2
(s)<0
V
R0

V
AvV
I 2   I1  I
V
jX I
X ( I )
I
C1
V0

0A
0A
Vf 
I

0A

0

L
C2
I=I2
 V0
I
X
 f  11  1
 1
V
jX
I
X
I
X2
0
2 2
2
___________________________________________________________
Portanto, o ganho da rede de realimentação (s) vale:
 +Vcc
1 /( 2f 0C1 )
C
 
 2
Vf
1 /( 2f 0C2 )
C1
G(s)
 V0

com Vf a180º fora de com a saída V0, proporcionando
realimentação positiva.
0
L
Pelo critério de Barkhausen, a oscilação se mantém quando
(s)
1 C1
G  1  G   1  G 

C1 C2
(s)
 C2
A oscilação começa quando:
Vf
C
V0
G  1  G   1  G  1
C2
Em altas frequências, costumam-se utilizar osciladores transistorizados, dentre os quais se destacam:
 Oscilador Colpitts
 Oscilador
O il d Hartley
H l
 Oscilador por deslocamento de fase (Phase Shift Oscillator)
 Oscilador com coletor sintonizado (Tuned Collector Oscillator)
O
Oscilador em pponte de W
Wien
 Oscilador a cristal
(continua...)
Oscilador Colpitts
Osciladores que utilizam transistores (FETs ou TBJs) e circuitos sintonizados como elementos de
realimentação são usados na faixa de frequência de 100 kHz até centenas de MHz.
p é mostrado abaixo:
O oscilador Colpitts
O choque de RF (RFC) fornece alta reatância na frequência
de oscilação 0, mas baixa resistência em DC.
Em DC, os capacitores C1 e C2 estão
abertos, e, os indutores L e RFC estão
em curto circuito.
(Na verdade, deve restar uma pequena
resistência em série com o coletor,, devido
às perdas do indutor L.)
Em geral, RB1 e RB2 são da ordem de
dezenas a centenas de k.
(continua...)
Recordação: transistores em altas frequências*
Em frequências de RF, o modelo  do TBJ exibe uma resistência (rx, da ordem de algumas dezenas
de ohms) e duas capacitâncias (C, da ordem de pF até algumas de pF, e C, entre frações de pF até
alguns pF) parasitas.
D fforma similar,
De
i il o MOSFET exibe
ib duas
d
capacitâncias
itâ i (Cgs, da
d ordem
d de
d dezenas
d
de
d fF,
fF e Cgd, da
d
ordem de alguns fF) parasitas. (femto, f = 10-15)
(rx é nulo e r é infinito)
______________________________________________________________
* Sedra, A. S. & Smith, K. C., Microeletrônica, 5ª. Edição, Pearson/ Prentice Hall, Brasil, 2007.
(continua...)
Em AC, os capacitores de passagem entram em curto-circuito e o
choq e de RF fica em aberto.
choque
aberto
Como rx << r (da ordem de k), este pode ser desconsiderado.
O resistor RB2 ficará em paralelo com r para o TBJ
TBJ, ou com infinito
infinito,
para o MOSFET, e, sendo RB2 e r muito elevados, tal associação
pode ser desprezada (aberto).
O resistor R modela a combinação das resistências de carga e a
resistência de saída do transistor (ro).
No modelo  em condição de oscilação
oscilação, despreza-se
despreza se a capacitância
C (faixa de fração de pF até alguns pF).
A capacitância C (faixa de alguns pF até dezenas de pF) pode ser
considerada como parte de C2.
(continua...)
Modelo de 3 impedâncias:
L
C2

Vo


C1

R
D
Desprezando-se
d
a grande
d resistência
i ê i r//RB2 (aberto),
( b
) as análises
áli AC para o TBJ e MOSFET tornam-se
equivalentes.
(continua...)
Pode-se observar o amplificador de ganho G(s) e a malha de realimentação positiva (s) no circuito
equivalente à direita:
C
G(s)

 Vo
Vo
R
V
0
L


C2
C1
Vo
VosC1
(s)
Aplicando-se a lei de Kirchhoff ao nó C:
V
sC2V  Vo sC1  o  g mV  0
R
1

2
sC2V    sC1 (1  s LC 2 )V  g mV  0
R

Quando as oscilações estiverem estabelecidas,
estabelecidas V  0,
0 e então,
então pode ser eliminada da equação:
LC 2
1
s 2 LC1C2  s 2
 s C1  C2 ( g m  )  0
R
R
(continua...)
1
LC 2
 s C1  C2 ( g m  )  0
s 2 LC1C2  s 2
R
R
_____________________________________________________________
Substituindo-se: s = j, s2 = 2 e s3 = j3, vem

1  2 LC 2
 g m  
R
R


  j[ (C1  C 2 )   3 LC1C 2 ]  0

Esta igualdade ocorre se as partes real e imaginária são nulas.
Igualando-se
Igualando
se a parte real à zero, tem-se
tem se a frequência de oscilação:
C  C2
 0 [(C1  C 2 )   02 LC1C 2 ]  0   02  1
 0 
LC1C 2
Igualando a parte real a zero, para o valor de 0 acima resulta:
gm 
1
L
C1C 2
C1  C 2
C2
1  2 LC 2
1 1 C

 0  gm    2  0 
 gm R
C1
R
R
R R C1 R
Nestas condições, o ganho de malha deve estar na condição unitária: L( s )  G ( s )  ( s )  1 .
p o coletor,, é: V0   g mV R  G 
O gganho G,, da base para
V0
 gm R
V
e portanto, para manter a oscilação, G = gmR (em módulo) deve ser igual a razão C2/C1 :
C
G  gmR  2
C1
(continua...)
C
G  gmR  2
C1
_______________________________________________________
Para que as oscilações tenham início, o ganho de malha L(s) = G(s) (s) deve ser maior do que a
Unidade, o que pode ser obtido aumentando-se G(s), mantendo-se (s) fixo.
C
Esta condição pode ser declarada como:
gmR  2
C1
Com as oscilações aumentando em amplitude, as características não lineares do TBJ diminuem o
valor efetivo de gm .

g m1 
diC
dv BE

g m 2  g m1




Com a diminuição do ganho efetivo gmR, reduz-se o ganho de malha até o ponto em que L(s) = 1 é
exatamente satisfeito, mantendo-se, portanto, as oscilações (oscilador auto-realimentado).
(continua...)
Oscilador Hartley
O circuito AC do oscilador Hartley é mostrado no circuito baixo (dual do oscilador Colpitts):
A frequência de oscilação é:
0 
1
( L1  L2 )C
As características não-lineares do TBJ implicam que a forma de onda da corrente no coletor
também será distorcida de modo não-linear.
e a o, o sinal
s a de tensão
e são de saída
sa da ainda
a da será
se á senoidal
se o da de alta
a a pureza
pu e a por
po causa da ação de filtroo
Entretanto,
do circuito LC sintonizado.
(fim do Adendo)#
Moduladores de fase e FM indireto
Moduladores de PM são interessantes porque:
 Sua implementação é relativamente fácil;
 A portadora pode ser suprida por uma fonte de frequência estável
estável, como um oscilador controlado
a cristal;
 Integrando-se o sinal de entrada do modulador de fase, se produz uma saída modulada em frequência.
Modulador de fase com banda estreita (NBPM)
Sejam as equações da seção 5.1:
Assim, justifica-se o circuito por:
xc (t )  Ac cos  c t  Ac  x(t ) sin  c t
xc (t )  Ac cos  c t  Ac  x(t ) sin  c t
______________________________________________
Alternativamente, o circuito NBPM pode ser obtido através de um modulador balanceado:
 x(t)
c
c
Este circuito opera adequadamente se a condição f x(t) <<1 rad for satisfeita.
Desvios de fase menores que 100 resultam em modulação distorcida.
Moduladores de frequência com banda estreita (NBFM)
A forma geral de um sinal FM (bandas estreita ou larga) é:
t
ou
xc (t )  Ac cos[ c t  2f   x( )d  ]  Ac cos[ c t  2f  g (t )]
sendo
se
do
g (t )   x( )d

t
Se f(t)=f g(t)<<1 rad, para f pequeno, tem-se um caso análogo ao NBPM.
g(t)
x(t)
NBPM
Problema: torna-se difícil trabalhar com f ppequeno,
q
, uma vez que
q os sistemas de rádios comerciais
operam com f elevados (normalmente, f = 75 kHz).
Adendo: Comparadores
Alimentação simétrica:
vo
v1
v2
A
vo= A (v2v1)
v2v1
Se v1  v 2  v 2  v1  0  vo  0
Se v1  v 2  v 2  v1  0  vo  0
Alimentação simples:
vo
v1
v2
A
vo= A (v2v1)
Se v1  v 2  v 2  v1  0  vo  0
Se v1  v 2  v 2  v1  0  vo  Vsat
v2v1
Adendo: Flip-flop
p p JK mestre-escravo
+Vcc


CLK
CLK
J
Q
K
Q
J
K
Qn+1

0
0
Qn

0
1
0

1
1
1

1
1
Qn
CLK
Q
Modulador de fase banda larga com circuito de chaveamento
O sinal de modulação x(t) e a onda dente-de-serra no dobro da frequência portadora são aplicados a
um comparador.
1/2fc



A saída do comparador vai a nível alto sempre que x(t) excede a onda dente
dente-de-serra,
de serra, e, o flip flop
chaveia a entrada a cada borda de subida de um pulso do comparador.
O flip-flop produz uma onda quadrada modulada em fase (tal qual a saída de um limitador), e, a
filtragem passa
passa-banda
banda gera xc(t).
dente-de-serra
x(t)








saída do comparador
saída do flip flop
3>2
2>1
1>0
1
=0
1/fc
2
3
1/fc
Modulação de FM banda larga com multiplicador de frequências
A necessidade de operar com = f/W elevado para FM é equivalente à operação com índice de
modulação AM () elevado, de forma a tornar barato o receptor.
E
Entretanto,
a NBFM não
ã pode
d trabalhar
b lh com f grande,
d pois
i xc(t)
( ) poderá
d á apresentar distorção
di
ã em
seus terminais: f grande  C/C0 grande  torna-se necessário mais termos na sua série binomial
 termos em x2(t)  distorção.
C t d pode-se
Contudo,
d
obter
bt FM bbanda
d llarga utilizando-se
tili d
como bloco
bl
bá
básico
i o FM bbanda
d estreita.
t it
Para fm e Am fixos, e, sendo = (f Am )/ fm , varia-se f .
fm
NBFM,  << 1
t
Ac cos[ c t  2 f   x( )d  ]

Este bloco fornece informações sobre o espaçamento entre linhas, fm.
D j
Deseja-se:
t
xc (t )  Ac cos[[ c 2 t  2 f  2  x( )d  ] ,

com
este fator permanece o mesmo
f >> f .
Deseja-se:
t
xc (t )  Ac cos[ c 2 t  2 f  2  x( )d  ] ,

com
f >> f .
este fator permanece o mesmo
_______________________________________________________
fm
Alterando-se f do sistema, pode-se aumentar
= (f Am )/ fm sem alterar fm  surgem mais
linhas  aumenta-se a banda de mensagem.
Uma forma de aumentar f utiliza uma cadeia de duplicadores e triplicadores de frequência
frequência,
formando um conjunto multiplicador de frequência.
Os multiplicadores típicos consistem de unidades duplicadoras ou triplicadoras como a indicada na
Figura 5.2-6b:
5 2 6b:
Figura 5.2-6b
eout
ein
_________________________________________________
Importante: o processo de multiplicação é sutil, afetando a faixa da variação de frequência mas não
a sua taxa
taxa.
Por exemplo, numa modulação de tom, a multiplicação de frequência aumenta a frequência da
portadora e o índice de modulação, mas não a frequência de modulação, tal que a amplitude das
linhas de banda lateral é alterada,
alterada enquanto o espaçamento de linhas permanece o mesmo.
mesmo
Exemplo: Multiplicador com dispositivo de lei quadrática
t
Entrada
d NBFM: ein (t )  Ac cos[[ c1t  2 f 1  x( )d  ]
t
eout (t )  ein2 (t )  cos 2 [ c1t  2f 1  x( )d ] 
sendo:
 c 2  2 c1
f  2  2 f 1
R
Removendo-se
d
o termo DC,
DC obtém-se:
bé
eout (t ) 



t
1
1  cos[2 c1t  2  2f 1  x( )d ]
2
t
1
 1  cos[2 c 2 t  2f  2  x( )d ]
2
Saída FM:

t
1
cos[[2 c 2 t  2f  2  x( )d ]
2
o qual possui a forma geral do sinal FM, porém, com f mais elevado que em NBFM.
Tanto o desvio de frequência
q
do sinal de saída quanto
q
a portadora
p
são iguais
g
ao dobro dos valores
correspondentes ao sinal de entrada. #
Modelo de FM indireto (ou de Armstrong)
Prosseguindo, se T for a constante de proporcionalidade do integrador,
1 t
xc1 (t )  Ac cos[[ c1t  2 f 1  x( )d  ]  Ac cos  c1 (t )
T 
a frequência instantânea do sinal NBFM é:

1 
1 2f 1
f1 (t ) 
 c (t )  f c1 
x(t )  f c1   x(t )
2
2 T
2T
sendo  = 2 f1 .
O desvio de frequência inicial, portanto, é igual a /2T , e deve ser aumentado para o valor
desejado f , através de um multiplicador de frequências.
_____________________________________________________________
f
f
f1 (t )  f c1  1 x(t ) na entrada  f 2 (t )  n f1 (t )  nf c1  n 1 x(t )  f c 2  f  2 x(t ) na saída.
T
T
onde f   n
f 1
1 2f 1
1 
, ou seja,
n
n
T
2 T
2 T
.
O valor de n adequado depende do desvio de frequência final desejado, f:
n
f


f 1  1
Normalmente, isto resulta em fc2 >> fc1 , e assim, a frequência central pode atingir valores muito
elevados
elevados.
Portanto, a Fig. 5.3-5 inclui um conversor de frequência que translada o espectro, intacto, para uma
frequência mais baixa f c  nf c1  f LO , e assim, a frequência total torna-se f (t )  f c  f  x(t ) .
O último componente do sistema é um amplificador de potência,
potência desde que todas as operações
anteriores devem ser utilizadas sob baixos índices de potência.
Exemplo 5.3-1:
5 3 1: FM indireto
Transmissor de Armstrong para FM comercial: fc1 = 200 kHz,  /2T = 15 Hz e f = 75 kHz.
O valor

2 f 
f
pequeno garante que,
que para W = 15 kHz,
kHz ocorre:

 1  75 Hz pequeno,
2T
2T
T
f
15T
 1  1 max  1 
 T  10 3
3
W
15  10
pequeno, a condição necessária para NBFM sem problemas de distorção.
Como o desvio de frequência desejado é f = 75 kHz, n 
f  75k

 5.000 ,
15
f 1
o qual pode ser obtido com uma cadeia de 4 triplicadores e 6 dobradosres, pois n = 34  26 = 5.184.
Porém, fc2 = nfc1 = 5.000200 kHz = 1.000 MHz, um valor muito grande.
Utiliza-se um estágio de heterodinagem, com um segundo oscilador a cristal, para transladar o
espectro para um local conveniente: 88 MHz a 108 MHz para FM comercial.
Por exemplo,
exemplo para a emissão com fc = 100 MHz
MHz, usa-se
usa se fOL = 900 MHz
MHz. (ver diagrama a seguir)
(continua...)
Transmissor de FM indireto: fc1 = 200 kHz,  /2T = 15 Hz e f = 75 kHz.
f c1  200 kHz,
f 1
 15 Hz
T
f = n f1 = 75 kHz
fc2 = nfc1 = 1.000 MHz
fc = 100 MHz
fOL = (1000100) MHz
FM com onda triangular (FM triangular wave)
O método gera modulação sem distorção em frequência portadora até 30 MHz, e, é bastante
conveniente para aplicações em instrumentação eletrônica.
O FM triangular será definido recorrendo-se a
com
onde o deslocamento de fase inicial   (0) foi incluído tal que  c (0)  0 .
Esta fase inicial não afeta a frequência instantânea
Um sinal de FM triangular de amplitude unitária é expresso em termos de  c (t ) como
a qual define uma forma de onda triangular quando  (t )  0 [e, por isso,  (0)  0 ]:
ct
cosct
x (t) = (2)arcsin[cosct ]
0
1
(2) arcsin1= (2) /2=1
/2
0
(2) arcsin0 = 0

1
(2) arcsin(1)=(2) (/2) = 1
3
0
((2)) arcsin0 = 0
2
1
(2) arcsin1 = 0
x
+1
0
1
1


3

________________________________________________
Mesmo quando (t)  0, a equação (5.3-5a) representa uma função triangular periódica de c :
2


x  (t )  arcsin[cos  c (t )]  sin  x  (t )   cos  c (t )

2






a) cos  x  (t )    cos  c (t )  cos  [1  x  (t )]  cos  c (t )  [1  x  (t )]   c (t )
2
2
2
2




3 




b) cos  x  (t )    cos  c (t )  cos  [3  x  (t )]  cos  c (t )  [3  x  (t )]   c (t )
2 
2
2
2

Portanto,
e assim por diante, para c > 2.
Figura 5.3-6(a)
ct
Adendo: Schmitt trigger (circuito biestável não inversor)
inversor)*
Circuito usando amplificador operacional:
realimentação
ç positiva
p
Quando a tensão de entrada aumenta e ultrapassa VTH a saída chaveia do estado baixo (L) para
alto (+L
( L+).
Ocorre o inverso quando a entrada diminui e fica menor que VTL .
Tensões de disparo:
VTL   L
R1
R2
VTH   L
R1
R2
_____________________________________________________
* Sedra, A. S. & Smith, K. C., Microeletrônica, 5ª. Edição, Pearson/ Prentice Hall, Brasil, 2007.
(fim do Adendo)
A Fig. 5.3-6(b) mostra o diagrama de blocos de um sistema que produz x(t) a partir da tensão:
a qual é prontamente obtida a partir da mensagem x(t).
O circuito consiste de um inversor analógico, um
integrador e um Schmitt trigger que controla uma
chave eletrônica.
_______________________________________________
O trigger coloca a chave na posição upper sempre que x(t) aumenta para +1, e, coloca a chave na
posição lower sempre que x(t) decresce para 1.
t = t1
upper
Supõe se que o sistema opera em t = 0 com x(0) = +1,
Supõe-se
+1
e com a chave na posição upper  x(0) = +1.
t=0
Então, para 0 < t < t1 :
1
+1
x(t)
t = t2
tal que x(t) percorre a rampa decrescente na
Fig. 5.3-6a, até o tempo t1 , quando x(t1) = 1,
correspondendo a c(t1) = .
lower
x(t) percorre a rampa decrescente até o
tempo t1 , quando x(t1) = 1 e c(t1) = .
_________________________________________________
O trigger leva a chave para a posição lower:
t = t1
upper
t=0
t = t2
t=0
1
+1
x(t)
t = t1
t = t2
lower
A seguir, x(t) percorre a rampa ascendente, até o tempo t2 , quando x(t2) = +1 com c(t1) = 2:
A chave retorna à posição upper, e o ciclo de operação segue periodicamente, para t > t2 .
Exemplo: fc = 10 kHz, fm = 1 kHz,  = 5.
 c (t )   c t   (t )   c t    x(t )  2f c t    cos 2f m t  2 10.000t    cos 2 1000t
x(t)
x(t)
Um sinal FM senoidal é obtido a partir de x(t) usando um formatador de onda não-linear, com
característica de transferência:


T [ x  (t )]  Ac sin  x  (t )
2


que executa a operação inversa da Eq. (5.3-6a).
(continua...)


T [ x  (t )]  Ac sin  x  (t )
2

______________________________________________________________


 2

Ac sin  x  (t )  Ac sin 
arcsin(cos c )  Ac sin[arcsin(cos  c )]  Ac cos[ c t   (t )   (0)]
2

2 

Outra alternativa, é aplicar x(t) a um hard limiter para produzir FM com onda quadrada:
+Ac
Ac
t
A seguir
seguir, um filtro passa banda pode gerar uma onda FM de amplitude constante,
constante desde que as
componentes da forma de onda ceifada não tenham sobreposição espectral.
Detectores de Frequência (Discriminadores de FM)
Um detector de frequência, frequentemente chamado de discriminador, produz uma tensão de saída
que varia linearmente na frequência instantânea de entrada.
Se o sinal de entrada do discriminador de FM obedecer a (5.1-7), ou seja, a:
sua saída será:
t
y D (t )  K D [2 f   x( )d ]
onde KD é a sensibilidade do discriminador.
A maioria dos circuitos para detecção de frequência se enquadra numa das quatro categorias abaixo:
i – Conversor de FM para AM;
ii – Discriminador por deslocamento de fase;
iii – Detecção de cruzamento de zero;
iv – Realimentação de frequência.
sendo que as três primeiras são discutidas neste capítulo,
capítulo enquanto a quarta (PLL – Phase Locked
Loop) é estudada no capítulo 7.
A detecção de fase analógica (PM) não será discutida, pois raramente é utilizada na prática.
Além disso, isto pode ser realizado integrando-se a saída de um detector de frequências.
Lembre-se que a modulação PM é definida por (5.1-1), ou seja, por:
com
ou seja:
j
Em PM ocorre:
 fc 
1
 x (t )
2
e então, o sinal na entrada de um discriminador de FM seria:
xc (t )  Ac cos[[c t  (t )]  Ac cos[[c t   x (t )]
Na saída do discriminador, se teria um sinal proporcional a frequência instantânea:
y DFM (t )  K D(t )  K D x (t )
Portanto, integrando-se yD(t) no tempo, recupera-se o sinal de mensagem:
y PM
(t )  K D x(t )
D
i - Conversão de FM para AM
Qualquer dispositivo ou circuito cuja saída é igual à derivada temporal da entrada produz conversão
de FM para AM.
Seja
xc (t )  Ac cos  c (t ) com c (t )  2 [ f c  f  x(t )] .
Então, diferenciando:
mensagem + bias DC
portadora
O diagrama da Fig. 5.3-7a esquematiza o detector de frequência baseado na Eq. (5.3-6):
(5.3‐6)
O diagrama da Fig. 5.3-7a esquematiza o detector de frequência baseado na Eq. (5.3-6):
___________________________________________________________________
Li i d de
Limitador
d entrada:
d remove quaisquer
i
variações
i õ espúrias
ú i de
d amplitude
li d de
d xc(t)
( ) antes que atinjam
i j o
detector de envoltória.
Boqueio DC: remove o offset constante produzido pela frequência portadora do sinal na saída.
LPF remove descontinuidades
LPF:
d
ti id d na forma
f
de
d onda,
d e assim,
i facilita
f ilit a diferenciação.
dif
i ã
Para a implementação prática do conversor FM para AM, recorda-se o fato que um diferenciador
ideal tem H(f)=2f.
Ligeiramente acima e abaixo da ressonância (f0), a resposta em frequência de um circuito sintonizado,
como a mostrada na Fig. 5.3-8a, se aproxima da resposta linear em amplitude desejada, ao longo de
uma pequena faixa de frequências.
fc  f
fc  f
resonance
fc
fc
correspondência
entre FM e AM
fc
Ac 2 f  x(t )
Ac 2 f c
carrier
f0
f (t )  f c  f  x(t )
Há conversão de f(t) em hertz para x(t) em volts: fx(t), Hz  Ac2f fx(t), Hz; fc  Ac2fc, volts.
A operação em torno dos pontos A ou A´ é indiferente (apenas introduz um desvio de fase de 1800
ao sinal detectado).
detectado)
Exemplo: Discriminador de FM com circuito RL
Detector de inclinação + receptor de AM não sintonizado.
DC+Kd fx(t)
discriminador
detector de envoltória
Problema: p
pouca sensibilidade e bias DC.
Exemplo: Circuito RLC sintonizado em fc<f0
DC+Kd fx(t)
detector de envoltória
discriminador
A sensibilidade
ibilid d melhora,
lh
porém,
é não
ã é muito
it linear
li
e apresenta
t bias
bi DC.
DC
Discussão: O problema do bias DC
As redes anteriores tornam necessária a utilização de um bloqueio DC nas suas saídas, devido à
presença do bias DC.
p
de bloqueio
q
eliminaria uma característica inerente da modulação
ç FM,, qual
q
Entretanto,, o capacitor
seja, que a FM responde à DC.
output
H(f)
conversão de
d FM para A
AM

K D f K

0
fc
0
t
f
0
f (t )  f c  f  x(t )  f c  f  K
i l de
d
sinal
mensagem
x(t) = K
Torna-se interessante um circuito que não gere um bias DC na saída.
t
Exemplo: Discriminador balanceado (detector Round-Travis)
Round Travis)
Uma linearidade extendida pode ser obtida com o circuito discriminador balanceado da Fig. 5.3-8b:
(continua...)
O sistema apresenta dois circuitos ressonantes no secundário, um sintonizado na frequência 1,
H1() acima da portadora c, e outro, H2(), sintonizado em 0, abaixo de c.
A curva resultante,
lt t H(),
) é denominada
d
i d de
d curva-S
S ddo di
discriminador
i i d por razões
õ evidentes.
id t
(continua...)
Análise gráfica: ponto de vista do diodo superior
signal
before D1
output
after D1
output after
DC block
0
0




FM to AM
1




envelope
detector (continua...)
Análise gráfica: ponto de vista do diodo inferior
signal
before D1
output
after D2
0
output after
DC block
0
FM to AM




envelope detector




2
(continua...)
Análise gráfica: Ao se conectar ambos os circuitos, H(f) assume a forma da curva-S
Para todos os efeitos, o diodo superior enxerga a porção acima de fc, ....
H( f )
output
p
after D1
signal
g
before D1
S-curve
+
fc
f
0
0
0
t
f (t )
+
frequência
freq
ência
instantânea




1
FM to AM
t




envelope
detector
(continua...)
....enquanto o diodo inferior enxerga a porção da reta abaixo de fc.
H( f )
S-curve
fc
0
f
0

0
f (t )
frequência
instantânea

output
after D2
signal
b f
before
D1
FM to AM




envelope detector




2
t
(continua...)
t
f1 > fc
Análise circuital:
+
xc(t)

+
xc1

+
+
yc1
yD1


+
+
xc0

yc
+
yc0
yD0


f0 < fc
Sinais de entrada: Xc1() = Xc0() tal que Xc1() = (N0 /N1) Xc().
Conforme f(t) varia, as variações de amplitude estão em sentidos opostos, de modo que a diferença
entre essas variações gera a saída:
Yc ( )  Yc1 ( )  Yc 0 ( )  H 1 ( ) X c1 ( )  H 0 ( ) X c1 ( )  [ H 1 ( )  H 0 ( )] X c1 ( )
aproximadamente linear com 
(continua...)
Yc ( )  Yc1 ( )  Yc 0 ( )  H 1 ( ) X c1 ( )  H 0 ( ) X c1 ( )  [ H 1 ( )  H 0 ( )] X c1 ( )
_____________________________________________________________
Portanto,
Yc ( )  H ( ) X c1 ( )
com
H ( )  H 1 ( )  H 0 ( )
, para 0 <  < 1 .
A resposta
p
em frequência
q
resultante forma a bem conhecida curva-S do discriminador de FM:
O discriminador de FM proporciona um sinal de saída cuja amplitude depende do desvio de
frequência instantânea em relação à frequência portadora.
q
máximo de f = 75 kHz, a característica do
Para radiodifusão de FM com desvio de frequência
discriminador de FM desejado é mostrado acima. #
Análise teórica do detector Round
Round-Travis*
Travis
Um discriminador de frequência consiste de um circuito de inclinação seguido por um detector de
envoltória.
U circuito
Um
i i de
d inclinação
i li ã ideal
id l é caracterizado
i d por uma resposta em frequência
f
ê i que é puramente
imaginário, variando linearmente com a frequência dentro de uma faixa de frequência prescrita.
H bp(1) ( f )
j
 f c1 
W
2
 f c1
 f c1 
W
2
f c1 
W
2
f c1 
f c1
W
2

W
W
W

fc   f  fc 
 j 2a f  f c  2  ,
2
2



W
W
W
H bp(1) ( f )  

j 2a f  f c   ,  f c   f   f c 

2
2
2


0 outside
_________________________________________________________
*Haykin, S., Communication Systems, 4th edition, John Wiley & Sons, NY, 2001.
O sistema equivalente passa
passa-baixa
baixa será:
H (p1) ) f )
j

W
W
W

 j 2a f   ,   f 
H (p1) ( f )  
2
2
2

 0 outside

O sinal de FM de entrada é:
W
2
t
xc (t )  Ac cos[ c t  2 f   x( )d ]

Recorrendo-se a (4.1-5),
e (4.1-11b),
obtém-se
bté
o sinal
i l equivalente
i l t passa-baixa
b i da
d estrada:
t d
xp (t ) 
Ac
t
exp[ j 2 f  0 x( )d ]
2
W
2

W
W
W

A
t
 j 2a f   ,   f 
x p (t )  c exp[ j 2 f  0 x( )d ]
H (p1) ( f )  
2
2
2

2
 0 outside
_______________________________________________
Seja y (1p) (t ) o sinal equivalente passa-baixa na saída, cujo espectro é:

W
W
W

 j 2a f   X (p1) ( f ),   f 
Y(p1) ( f )  H (p1) ( f ) X (p1) ( f )  
2
2
2

 0 outside
onde X p ( f ) é a TF de x(1p) (t ) .
Usando o teorema da diferenciação (2.3-8).ou seja
deduz-se que
Derivando-se x(1p) (t )
xp (t )

dt
e assim
 dxp (t )

y (1p) (t )  a 
 jWxp (t )

 dt
no tempo se obtém:
Ac d
t
t
t
{exp[ j 2 f  0 x( )d ]} exp[ j 2 f  0 x( )d ]  jAc f  x(t ) exp[ j 2 f  0 x( )d ]
2 dt
1 f 
t
y (1p) (t )  jWaAc     exp[
p[ j 2 f  0 x( )d ]
2 W 
1 f 
t
y (1p) (t )  jWaAc     exp[ j 2 f  0 x( )d ]
2 W 
____________________________________________________
A resposta desejada é obtida aplicando-se (4.1-12):
t


1 f

(1)
y bp
(t )  2 Re[ y (1p) (t )e jct ]  2 Re jWaAc    x(t ) exp[ c t  2f  x( )d ]
0
2 W



t


f
1





(1)
(t )  2 Re jWaAc    x(t ) exp  c t  2f  x( )d   
y bp
0
2
W
2





t


1 f

 WaAc    x(t ) cos 2f c t  2f  x( )d  
0
2


2 W
2 f
Escolhendo-se
x(t )  1 para todo t, pode-se usar um detector de envoltória para recuperar as
W
variações de amplitude, recorrendo-se a (4.1-5), ou seja: y bp (t )  A1 (t ) cos[ c t   (t )]
f

1
A1 (t )  WaAc   2  x(t )
W

2
O bias DC (W a Ac))/2 é proporcional
p p
à inclinação
ç “a “ da resposta
p
em frequência
q
do circuito de
inclinação.
Com
Isto sugere que o bias pode ser removido subtraindo-se da saída do detector de envoltória, A1(t), a
g
detector de envoltória precedido
p
por
p um circuito de inclinação
ç complementar
p
saída de um segundo
H bp( 2 ) ( f ) , tal que fc1  fc2 = W .
f
1

A1 (t )  WaAc   2  x(t )
W
2

______________________________________________
Segundo detector de envoltória precedido por um circuito de inclinação complementar H bp( 2 ) ( f ) ,
tal que fc1  fc2 = W :
W W
H bp( 2 ) ( f )
 f c2 
 f c1
2
j
W
2
 f c2
 f c2 
2
W
2
f c2 
W
2
f
f c2
f c2
f c1
W

2
Procedendo-se a uma análise similar à anterior, mostra-se que a segunda envoltória será:
f
1

(mostrar isto!)
A2 (t )  WaAc   2  x(t )
2
W


A diferença entre as duas envoltórias é:
A(t )  A1 (t )  A2 (t )  4 f  a x(t )
a qual está livre do bias.
Isto sugere que a resposta em frequência global seja obtida a partir de:
H bp ( f )  H bp(1) ( f )  H bp( 2 ) ( f )
H bp(1) ( f )
j
 f c1 
W
2
 f c1
 f c1 
W
2
f c1 
W
2
W
2
f c1 
f c1
H bp( 2 ) ( f )
 f c2
 f c1
W

2
 f c2
j
 f c2 
W
2
fc2 
W
2
f c2
f c2
A diferença entre as duas respostas em frequência será: H bp ( f )  H bp(1) ( f )  H bp( 2 ) ( f )
H bp ( f )
Resposta em
frequência global
 fc
0
fc2 
W
2
fc
f c1 
W
2
f
f c1
W

2
Pode-se modelar o discriminador de frequência ideal como um par de circuitos de inclinação com
resposta em frequência H bp(1) ( f ) e H bp( 2 ) ( f ) , seguido por detector de envoltória e um somador.
xc (t )
H bp(1) ( f )
H bp ( f )  H bp(1) ( f )  H bp( 2 ) ( f )
H bp( 2 ) ( f )
Este esquema pode ser realizado usando o detector Round-Travis:




Detector Round-Travis:
D1
Metade
superior
p
Metade
i f i
inferior
D2
H bp ( f )
Resposta em frequência
vista pela metade inferior
 fc
Resposta em frequência
vista pela metade superior
0
Resposta em frequência
vista pela metade superior
W
fc2 
2
fc
f c1 
W
2
f
Resposta em frequência
vista pela metade inferior




As seções de filtros ressonantes, superior e inferior, estão sintonizadas em frequências acima (fc1) e
abaixo (fc2) da frequência da portadora não modulada (fc), respectivamente.
Assume-se que ambos os filtros
possuam fatores Q elevados
A linearidade da porção útil da resposta em
frequência total é determinada pela separação
das duas frequências de ressonâncias.
A separação de frequência de 3 dB proporciona resultados satisfatórios, onde 2B é a largura de banda
de 3 dB de cada filtro. #
ii - Discriminador por desvio de fase
Os discriminadores por desvio de fase envolvem circuitos com resposta linear de fase, em contraste
com a resposta linear de amplitude da detecção de inclinação.
O princípio básico vem da aproximação para diferenciação no tempo:
desde que t1 seja pequeno comparado à variação de v(t).
v(t)
Dado que um sinal de FM possui (t )  2 f  x(t ) , tem-se
sendo que (tt1) pode ser obtido com a ajuda de uma linha de retardo ou, equivalentemente, com
uma rede de desvio de fase linear.
No primeiro caso, tem
tem-se
se o circuito desenhado abaixo, com uma rede de retardo de fase t1:
+
xc(t)
+
1/t1

envelope
detector
delay line t1
t1(t )  xc (t )  xc (t  t1 )
(t )  2 f  t1 x(t )
DC
block
yD(t)
+
xc(t)
somador
+
1/t1

envelope
detector
DC
block
yD(t)
delay line t1
(t )  2 f  t1 x(t )
t1(t )  xc (t )  xc (t  t1 )
_____________________________________________________
O fator t1 deve ser pequeno reativamente às variações temporais de xc(t): t1 << 1/fc.
Problema: o amplificador linear de alto ganho 1/t1 é de difícil implementação.
Detector de quadratura
Na rede abaixo, tem-se um discriminador por desvio de fase com uma rede tendo group delay t1 e
carrier delay t0, tal que ct0 = 900, o qual é chamado de detector de quadratura.
multiplicador
lti li d
______________________________________________________
Da Eq. 5.2-11a,
o sinal deslocado em fase é proporcional a
cos[ct  900   (t  t1 )]  sin[c t   (t  t1 )]
A multiplicação por cos[c t   (t )] gera:
[sin c t cos  (t  t1 )  cos c t sin  (t  t1 )]  [cos c t cos  (t )  sin c t  sin  (t )]
 sin c t cos c t cos  (t ) cos  (t  t1 )  sin 2 c t sin  (t ) cos  (t  t1 ) 
 cos 2 c t cos  (t ) sin  (t  t1 )  sin c t cos c t sin  (t ) sin  (t  t1 )
sin 2c t  cos[ (t )   (t  t1 )]  cos[ (t )   (t  t1 )]   1  cos 2c t  sin[ (t )   (t  t1 )]  sin[ (t )   (t  t1 )] 





2
2
2


 

1

cos
2

t
sin[
[

(
t
)


(
t

t
)]

sin[
[

(
t

t
)


(
t
)]
sin
2

t
sin[
[

(
t
)


(
t

t
)]

cos[
[

(
t
)


(
t

t
)]


c 
1
1
c 
1
1 





2
2
2
2





2
Após passar por um filtro passa-baixa, gera-se um sinal proporcional a:
assumindo-se que t1 é pequeno o suficiente, tal que  (t )   (t  t1 )  .
Si l de
Sinal
d saída
íd proporcional
i la
______________________________________________________
Portanto,
sendo KD = 2t1.
A despeito dessas aproximações, um detector de quadratura proporciona melhor linearidade que um
discriminador balanceado,
balanceado ee, frequentemente é usado em receptores de alta qualidade.
qualidade
iii – Detector de cruzamento de zeros
O sinal de FM após o hard limiter dispara um gerador de pulsos monoestável, que produz um pulso
curto de amplitude A e duração , fixos, a cada subida (ou descida) no cruzamento de zero do sinal
de FM.
Se for possível invocar o ponto de vista quase-estático, no qual o intervalo de tempo T é tal que
W<<1/T<< fc , a largura de cada onda retangular após o hard limiter varia lentamente dentro do
intervalo de observação T (pois W<<1/T), e, que cabem muitos pulsos de v(t) dentro desse intervalo
(pois 1/T<<fc).
Nesta situação, a saída do monoestável v(t) se parece com um trem de pulsos retangular com
período aproximadamente constante, igual a 1/f(t).
Então, existirão aproximadamente nT  T /[1 / f (t )]  T f (t ) pulsos no intervalo T.
Por outro lado,
lado integrando-se v(t) ao longo de T :
 A [ f c  f  x(t )]
a qual se torna
y D (t )  K D f  x(t )
após o bloqueio DC.
Detectores de cruzamento de zero podem apresentar linearidades melhores que 0,1%, e, operar em
frequências fc de 1 Hz a 10 MHz.
O uso de maiores frequências de portadora fc, mantendo-se W e 1/T fixados, promove o aparecimento
de um número muito grande de pulsos de v(t), podendo comprometer a relação n = T f(t) (este valor
pode exceder em alguns ciclos este número, ou o inverso).
Um contador com divisor por 10 inserido após o hard limiter extende a faixa até 100 MHz.
Atualmente, a maioria dos dispositivos de comunicação por FM utilizam circuitos integrados para
detecção de FM.
Suas confiabilidade, pequeno tamanho e facilidade de projeto têm incentivado o crescimento de FM
two-way
two
way portátil e sistema de comunições celulares por rádio.