FUNÇÃO DO 2.GRAUdoc II

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA
1- Definição
É toda função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a  *, b e c  .
a, b, c  números reais

a e b  coeficientes de x 2 e x


c  termo independente ou termo cons tan te
 x  var iável indepemdemte

 y  var iável dependente


Exemplos
a) f(x) = x2 – 4x + 3 (a = 1, b = -4, c = 3)
c) y = x2 – 3x (a = 1, b = -3, c = 0)
b) f(x) = -4x2 - 16 (a = -4, b = 0, c = -16)
d) f(x) = -3x2 (a = -3, b = c = 0)
2- Raízes ou zeros de uma função do 2º grau
Para calcular as raízes ou os valores de x que anulam uma função do 2º
grau, devemos igualar a zero a mesma transformando-a numa equação do 2º grau
e, em seguida, resolvendo-a através da fórmula de Bháskara.
Exemplo:
1) Encontre as raízes de cada função abaixo:
a) y = 3x2 – 5x + 2
b) y = -x2 + 6x - 9
d) f(x) = x2 – 5x
e) y = 20x2 – 320
Solução:
a) y = 3x2 – 5x + 2
3x2 – 5x + 2 = 0 (a = 3, b = -5, c = 2)
- Cálculo do discriminante (delta).
  b 2  4.a.c

2
  (5)  4.3.2
  1

c) y = 2x2 – 4x + 5
f) f(x) = x2 + 4
- Cálculo das raízes.
x
b  

 fórmula de Bháskara 
2a 

 (5)  1 5  1

2.3
6
5 1

 x'  6  1

 x"  5  1  4  2

6
6 3
1 e 2/3 são os únicos números que anulam a função. Logo, V = {1, 2/3}
x
b) y = -x2 + 6x - 9
-x2 + 6x - 9 = 0 .(-1)
x2 - 6x + 9 = 0 (a = 1, b = -6, c = 9)
  (6) 2  4.1.9  36  36  0
 b    (6)  0 6  0


2a
2.1
2
60 6

 x'  2  2  3

 x"  6  0  6  3

2
2
3 é o único número que anula a função. Logo, V = {3}
x
c) y = 2x2 – 4x + 5
2x2 – 4x + 5 = 0 (a = 2, b = -4, c = 5)
  (4) 2  4.2.5  16  40  24
x
 b    (4)   24

 x’ e x”  
2a
2.1
- Observa-se que não é possível calcular, no campo real,  24 , por ser um número que faz parte
do Conjunto dos Números Complexos, logo, a equação não apresenta raízes reais, isto é, o
conjunto verdade é representado pelo conjunto vazio V =  ou { }.
* O resultado significa dizer que não existe nenhum número real que anula essa
função.
d) f(x) = x2 – 5x
x2 – 5x = 0 (a = 1, b - -5, c = 0)(equação incompleta: coloca-se x em evidência)
x(x – 5) = 0
x’ = 0
ou
x – 5 = 0  x” = 5
V = {0, 5}
e) y = 20x2 – 320
20x2 – 320 = 0 (:20) (equação incompleta)
x2 – 16 = 0 (a = 1, b = 0, c = -16)
x2 = 16
x =  16
 x'  4
x= 4 
 x"  4
V = {4, -4}
f) f(x) = x2 + 4
x2 + 4 = 0
(equação incompleta)
x2 = -4
x =   4  x’ e x”  
V =  ou { }
Obs.: todas as equações incompletas do 2º grau podem ser resolvidas pela
fórmula de Bháskara. Observe a resolução do exemplo anterior d.
d) f(x) = x2 – 5x
x 2  5x  0
  b
x
2
(a  1, b  5, c  0)
 4.a.c  (5) 2  4.1.0  25
b  

 fórmula de Bháskara 
2a 

 (5)  25 5  5

2.1
2
55

x
'

5

2

 x"  5  5  0

2
V= {0, 5}
x
3- Gráfico de uma Função Quadrática.
- O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada de Parábola.
Ela apresenta vértice, concavidade e eixo de simetria.
4- Cálculo do Vértice.
- Observamos acima que o vértice de uma parábola é um ponto que pode ser
de mínimo, se o coeficiente de x2 for maior que zero (a > 0) ou de máximo, se for
menor que zero (a < 0). Para calcular esse ponto devemos utilizar as seguintes
fórmulas:
b
1- Abscissa do vértice: x v 
(ponto de mínimo ou de máximo da função)
2a

2- Ordenada do vértice: y v 
(valor de mínimo ou de máximo da função)
4a
b 
;
Logo, o vértice é representado pelo ponto V  
.
 2a 4a 
Procedimentos para encontrar o vértice.
1º Procedimento
 fórmula geral da Função Quadrática
y = ax2 + bx + c
Isola-se ax2 + bx
y – c = ax2 + bx
 b 
Adiciona-se aos dois membros o termo a 

 2a 
 b 

 2a 
y – c + a
2
 b 

 2a 
2
2
= ax2 + bx + a 
Resolve-se a potência do 1º membro e coloca-se a em evidência no 2º
 2 bx  b  2 
ab 2
  
y–c+
= a x 
a  2a  
4a 2

Simplifica-se
y–c+
b2
4a
ab 2
e fatora-se o 2º membro (quadrado da soma de dois termos):
4a 2
2
b 

= ax 

2a 

Isola-se y e determina-se o mínimo nos dois últimos termos do 2º membro
2
b 
b2

y = ax 
 +c2a 
4a

b 
b 2  4ac

2a 
4a
2


y = ax 
b
2
 4.a.c  


b 

y = ax 
 4a
2a 

2
2
b 

a) Quando a > 0, a função (y) apresenta um mínimo para  x 
 = 0.
2a 

2
b 

x 
 =0
2a 

b
x
0 
2a
x= 
b
(abscissa do vértice)
2a
2
b 

Como  x 
 = 0, temos.
2a 



y = a.0  y=(ordenada do vértice)
4a
4a
b  
, 
 2a 4a 
V= 


b) Quando a < 0, a função (y) apresenta um máximo para  x 
2
b 

x 
 =0
2a 

x
b
0 
2a


b
(abscissa do vértice)
2a
2
Como  x 
y = a.0 -
x= 
b 
 = 0, temos.
2a 


 y=4a
4a
(ordenada do vértice)
2
b 
 = 0.
2a 
b  
, 
 2a 4a 
V= 

continua negativo (y < 0), logo, a função apresenta um mínimo.
4a

4) Quando a < 0, y = torna-se positivo (y > 0), logo, a função apresenta um máximo.
4a
3) Quando a > 0, y = -
2º Procedimento
O vértice da parábola y = ax2 + bx + c pertence ao eixo de simetria (s). Então, para encontrar sua
abscissa deve-se calcular o ponto médio do segmento de extremos (x’, 0) e (x”, 0) da seguinte
maneira:
x' x"
xv 

2
 b      b   
2a
2a
2
 b    b    2b
b
2a

 2a 
2
2
2a
Para encontrar a ordenada do vértice deve-se substituir o valor da abscissa do vértice
b

 xv 
 na função y = ax2 + bx + c do seguinte modo:
2a 

b2
b2
b2 b2
b 2  2b 2  4ac
b
b
y  a.

b
.

c

a
.


c



c





4a 2a
4a
4a 2 2a
 2a 
 2a 
 b 2  4ac  (b 2  4ac)  


4a
4a
4a
2
Então:
b 
V
,

 2a 4a 
Exemplo
1- As funções abaixo são do 2º grau, logo, seus gráficos são representados por
parábolas. Determine o vértice de cada parábola especificando se representa
ponto de máximo ou de mínimo.
a) f(x) = x2 – 9x + 20
b) y = -2x2 + 5x + 1
c) y = 3x – x2
Solução:
a) f(x) = x2 – 9x + 20 (a = 1, b = -9, c = 20)
1) Cálculo da abscissa do vértice:
 b  (9) 9
xv 

  4,5
2a
2.1
2
2) Cálculo da ordenada do vértice:
  b 2  4.a.c  (9) 2  4.1.20  81  80  1
  1 1
yv 


 0,25
4a 4.1 4
 9 1
Logo, V   , 
2 4 
* Como a é positivo (a = 1), dizemos que o vértice representa um ponto de
mínimo.
b) y = -2x2 + 5x + 1 (a = -2, b = 5, c = 1)
b
5
5 5


  1,25
2a 2.(2)  4 4
2)   b 2  4.a.c  5 2  4.(2).1  25  8  31

 31
 31 31
yv 



 3,875
4a 4.(2)  8
8
 5 31 
Logo, V   , 
4 8 
* Como a é negativo (a = -2), dizemos que o vértice representa um ponto de
máximo.
1) xv 
c) y = 3x – x2 (a = -1, b = 3, c = 0)
b
3
3 3


  1,5
2a 2.(1)  2 2
2)   b 2  4.a.c  32  4.(1).0  9  0  9

9
9 9
yv 


  2,25
4a 4.(1)  4 4
3 9
Logo, V   , 
2 4
* Como a é negativo (a = -1), dizemos que o vértice representa um ponto de
máximo.
.
1) xv 
5- Construção de uma Parábola.
Verificou-se que para construir o gráfico de qualquer função deve-se conferir a
x (variável independente) valores arbitrários, em seguida, substituem-se os
mesmos na função achando valores para y (variável dependente),
conseqüentemente, formando pares ordenados (x, y). Porém, para facilitar nossa
tarefa, vamos colocar ordem nos valores de x, da seguinte maneira:
1- Calculam-se as raízes da função (x’ e x”);
b 
;
2- Determina-se o vértice da parábola V  
;
 2a 4a 
3- Construa-se uma tabela acrescentando um valor inteiro a x menor que a
menor raiz e outro maior que a maior raiz, em seguida, esboçar o gráfico.
Nota: se a equação apresentar raízes reais e iguais (x’ = x”) ou não apresentar
raízes reais (x’ e x”  ) , deve-se atribuir a x dois valores inteiros menores e dois
maiores que o valor da abscissa do vértice (xv).
Exemplo:
1- Construir o gráfico de cada função abaixo:
a) f(x) = x2 – 3x + 2
b) y = -x2 + 4x - 4
c) y = 2x2 + 4
Solução:
a) f(x) = x2 – 3x + 2
1) Cálculo das raízes.
f(x) = x2 – 3x + 2
x2 – 3x + 2 = 0 (a = 1, b = -3, c = 2)
2
  b 2  4.a.c   3  4.1.2  9  8  1
3 1

x' 
2

 b    (3)  1 3  1 
2
x



2a
2.1
2
 x"  3  1  1

2
2) Cálculo do vértice.
 b  (3) 3 3

   1,5
2a
2.1
2 2
  1
1
yv 

   2,25
4a 4.1
4
 3 1
V    , 
 2 4
xv 
c) Construção da Tabela e do gráfico.
x
0
1
3

2
y
2
0
1

4
2
3
0
2
(x, y)
(0, 2)
(1, 0)
3 1
 , 
2 4
(2, 0)
(3, 2)
y
f(x) = x2 – 3x + 2
f(0) = 02 – 3.0 + 2 = 2
f(1) = 12 – 3.1 + 2 = 0
f(2) = 22 – 3.2 + 2 = 0
f(3) = 32 – 3.3 + 2 = 2
2
-2 -1 0
-1/4
-1
b) y = -x2 + 4x - 4
1) Cálculo das raízes.
-x2 + 4x – 4 = 0 (-1)
x2 – 4x + 4 = 0 (a = 1, b = -4, c = 4)
2
  b 2  4.a.c   4  4.1.4  0
40

x' 
2

 b    (4)  0 4  0

2
x



2a
2.1
2
 x"  4  0  2

2
2) Cálculo do vértice.
xv 
 b  (4) 4

 2
2a
2.1
2

0
0

 0
4a 4.1 4
V  2,0
yv 

1
3/2

2
3
x
3) Construção da Tabela e do gráfico.
x
0
1
2
3
4
y
-4
-1
0
-1
-4
(x, y)
(0, -4)
(1, -1)
(2, 0)
(3, -1)
(4, -4)
y
y = -x2 + 4x - 4
y(0) = 02 + 4.0 -4 = -4
f(1) = -12 + 4.1 - 4 = -1
f(2) = -22 + 4.2 - 4 = 0
f(3) = -32 + 4.3 - 4 = -1
f(4) = -42 + 4.4 – 4 = -4
0
1
-1

-4
c) y = 2x2 + 4
1) Cálculo das raízes.
y = 2x2 + 4
2x2 + 4 = 0 (equação incompleta do 2º grau)
2x2 = -4
x2 = -2
x    2  x' ex" , log o, V   ou
2) Cálculo do vértice.
y = 2x2 + 4 (a = 2, b = 0, c = 4)    32
b
0
0

 0
2a 2.2 4
   (32) 32
yv 


4
4a
4.2
8
V  0,4
xv 


2

3
4


x
3) Construção da tabela e do gráfico.
x
-2
-1
0
1
2
y
12
6
4
6
12
(x, y)
(-2, 12)
(-1, 6)
(0, 4)
(1, 6)
(2, 12)
y
12
y = 2x2 + 4
f(-2) = 2.(-2)2 + 4 = 12
f(-1) = 2.(-1)2 + 4 = 6
f(1) = 2.12 + 4 = 6
f(2) = 2.22 + 4 = 12
6
4
-2
-1
0
1
2
x
Notas:
1ª) É relevante observar que quando as raízes reais x’ e x “ são diferentes (∆ > 0), a
parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos; quando as raízes reais são iguais (∆ = 0),
a parábola intercepta o eixo das abscissas em um ponto e, quando não existirem raízes reais, a
parábola não intercepta a curva.
2ª) Pontos Notáveis da Parábola.
2.1) Intersecção da parábola com o eixo das abscissas (OX): São as raízes e para calcular
deve-se atribuir à variável y o valor nulo (y = 0), em seguida, resolve-se a equação encontrada.
y = ax2 + bx + c  ax2 –bx + c = 0
2.2) Intersecção da parábola com o eixo das ordenadas (OY): Deve-se atribuir à variável x o
valor nulo (x = 0) encontrando, em seguida, o valor de y.
y = ax2 + bx + c
y = a.02 + b.0 + c  y = c
b

 x  2a
2.3) Vértice da parábola: Utiliza-se as fórmulas citadas acima, isto é, 
.


y 

4a
3ª) O domínio da função do 2º grau é o conjunto dos Reais e o conjunto imagem é
 
 


y  R / y 
 se a > 0 ou  y  R / y 
 se a < 0.
4a 
4a 


06- Estudo do sinal da Função do 2º Grau (ou Quadrática).
- Para estudar o sinal da função (valores de x que à torna positiva, negativa ou
nula) do 2º grau f(x) = ax2 + ba + c, utiliza-se o seguinte procedimento:
1) Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo.
2) Calculam-se as raízes.
3) Marcam-se as raízes no eixo das abscissas (0X).
3.1) Se as raízes são diferentes, y assume valores com sinais de a à direita
de x” e à esquerda de x’. Entre as duas raízes, y assume valores com sinais
contrários de a.
3.2) Se as raízes são iguais, tanto à direita como à esquerda das raízes, o y
assume valores com sinais de a. Neste caso, não tem sinal contrário de a, apenas
y admite valor nulo quando x = x’ = x”.
3.3) Se não apresentar raízes, y assume o mesmo sinal de a.
Exemplo:
1- Estudar o sinal de cada função:
a) y = x2 - 2x – 8 b) y = -x2 + 6x – 5
c) y = 4x2 – 4x + 1
d) y = -2x2 – 8
Solução:
a) y = x2 - 2x – 8
1) a = 1  a > 0 (positivo)
2) Iguala-se a zero a função y = x2 - 2x – 8.
x2 - 2x – 8 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
 x'  4

 x"  2
3)


 


 y  0, se x  2 ou x  4   , 2  4, 

 y  0, se 2  x  4   2, 4
 y  0, se x  2 ou x  4


Obs.: Os sinais + e – que aparecem no gráfico acima são sinais da função y e não de x, isto é, se
substituir qualquer valor de x menor que -2 ou maior que 4 na função y = x2 - 2x – 8, o
resultado (valor numérico) será sempre positivo; se substituir qualquer valor de x
compreendido entre -2 e 4, o resultado da função será sempre negativo e se x assumir valor
-2 ou 4 o resultado será nulo.
b) y = -x2 + 6x – 5
1) a = -1  a < 0
2) -x2 + 6x – 5 = 0 x(-1)
x2 6x + 5 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
 x'  5

 x"  1
3)
 
 y  0, se 1  x  5  1, 5


 y  0, se x  1 ou x  5   , 1  5, 
 y  0, se x 1 ou x  5


 

c) y = 4x2 – 4x + 1
1) a = 4  a > 0
2) Iguala-se a zero a função y = 4x2 – 4x + 1.
4x2 – 4x + 1 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
1

 x'  2

 x"  1

2
3)

 y  0, se x  R  1 / 2

 y  0, se x  1 / 2
Observe que nesse caso não tem nenhum um número que torna negativa a
função.
d) y = -2x2 – 8
1) a = -2  a < 0
2) Iguala-se a zero a função y = -2x2 – 8.
-2x2 – 8 = 0 x(-1)
2x2 + 8 = 0
Resolvendo verificamos que não temos raízes, logo, x’ e x”  R.
3)
y  0, x  R   , 
Observe que nesse caso não tem nenhum um número que torna positiva ou
nula a função.
Em regra geral, a discussão da variação de sinal de uma função quadrática recairá
em um dos casos:
07- Inequações do 2º grau
Chama-se inequação do 2º grau toda desigualdade que pode ser escrita nas
seguintes formas:
ax 2  bx  c  0
 2
ax  bx  c  0
(a  0).
 2
ax  bx  c  0
ax 2  bx  c  0

A resolução de uma inequação do 2º grau pode ser feita da seguinte maneira:
1) Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo.
2) Transforma-se a inequação do 2º grau numa equação (= 0) calculando em
seguida, as raízes.
3) Marcam-se as raízes no eixo das abscissas (0X) escolhendo o intervalo
que satisfaz a inequação.
Exemplo:
1- Resolva as inequações:
a) x2 – 8x + 12 > 0
d) -2x2 – 8  0
b) -3x2 + 6  0
c) x2 – 6x + 9 < 0
 x 2  4x  5 
  0
e) (x2 – 9).(x2 – 4x)  0
f) 
2
  x  3x 
Solução:
a) x2 – 8x + 12 > 0
a.1) a = 1  a > 0
a.2) x2 – 8x + 12 = 0
 x'  6

 x"  2
Como a inequação tem que ser positiva (>0), temos:


V =  x  R / x  2 ou x  6 ou (-, 2[  ]6, +)


b) -3x2 + 6  0
b.1) a = -3  a < 0
b.2) -3x2 + 6 = 0
 x'  2

 x"   2
Como a inequação tem que ser positiva ou nula (0), temos:

V = x  R / 2  x  2
 ou 
2, 2

c) x2 – 6x + 9 < 0
c.1) a = 1  a > 0
c.2) x2 – 6x + 9 = 0
 x'  3
m/a

 x"  3
+
c.3)
-
m/a
3
o
+
x
+
Como a inequação tem que ser negativa (< 0), temos:
V = { } ou 
d) -2x2 – 8  0
d.1) a = -2  a < 0
d.2) -2x2 – 8 = 0
x' e x"  R  V   
m/a
d.3)
-
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - +
x
Como a inequação tem que ser negativa ou nula ( 0), temos:
V = R 0]ou (-, +)
e) (x2 – 9).(x2 – 4x)  0 (Inequação produto)
f(x) = x2 – 9
g(x) = 2x2 – 8x
1) a = 1  a > 0
1) a = 2  a > 0
2) x2 – 9 = 0
2) 2x2 – 8x = 0
 x'  3
 x'  0


 x"  4
 x"  3
3)
Como a inequação tem que ser positiva ou nula ( 0), temos:
V = {x  R / x  -3 ou 0  x  3 ou x  4} ou (-, -3] U [0, 3] U [4, +)
 x 2  4x  5 
  0
f) 
2
  x  3x 
f(x) = x2 – 4x – 5
1) a = 1  a > 0
2) x2 – 4x – 5 = 0
 x'  5

 x"  1
g(x) = -x2 + 3x
1) a = -1  a < 0
2) -x2 + 3x  0
 x'  0
(raízes do denominador)

 x"  3
3)
Como a inequação tem que ser positiva ou nula ( 0), temos:
V = {x  R / -1  x < 0 ou 3 < x  5} ou [-1, 0[ U ]3, 5]
Aplicações de Equações do 2o Grau
01) Um número positivo adicionado ao seu quadrado é igual a 30. Encontre o triplo
desse número. R) 15
02) A terça parte de um número positivo adicionado ao seu quadrado é igual a 2.
Qual é esse Número? R) 1/3
03) O produto de dois números é igual a 45. Determine a soma desses números.
R) 4
04) Qual é o número que multiplicado pelo seu quádruplo é igual a 256? R) 13 e 13.
05) Sejam dois números ímpares e consecutivos. Determine esses números
sabendo que seu produto excede sua soma em 167. R) 13 e 15 ou -13 e -11.
06) Um número natural menor que três somado com seu inverso é igual a 4.
Determine esse número. R) 1
07) Determinar dois números cuja soma vale 3 e o produto 54. R) 9 e -6
08) O triplo do quadrado de gols conseguido por determinado jogador é igual a 17
vezes esse número de gols adicionado a 6. Quantos gols foram marcados pelo
jogador? R) 6
09) Um painel cuja área é igual a 28m2, apresenta um lado excedendo de 3
metros do outro. Determine as dimensões do painel. R) 4m e 7m
10) O produto da idade de Saulo pela idade de Olga é igual a 374, Saulo é 5 anos
mais velho que Olga. Qual a idade de cada um? R) 27anos e 22 anos
11) O gráfico abaixo representa uma piscina que, internamente necessita de 54 m2
de revestimentos. Determine:
a) O valor de x;
b) A área da base
12) Uma indústria fabrica certo produto na área de designe. Os responsáveis pela
parte financeira estimam que o lucro que a indústria pode alcançar na
fabricação/venda de uma determinada quantidade desse bem é dado pela regra
L(x) = -0,01x2 + 80x – 50.000 (L lucro em R$ e x quantidade fabricada), determine
o lucro mensal quando o nível de produção/venda alcançar:
a) 850 e 1.200 unidades;
b) Interprete os resultados.
13) Sabendo que f(x) = x2 + 2x - 8 representa uma função do segundo grau,
determine:
a) As raízes;
b) O vértice
c) O gráfico para x > -1.