FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA

FUNÇÃO DO 2º GRAU
OU QUADRÁTICA
Prof.: Joni Fusinato
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Um pouco de História...
 Babilônia (1.800 a.C) alguns
métodos de resolução de
equações de 2º grau já eram
conhecidos.
 Egípcios: já trabalhavam com
equações lineares e usavam
incógnitas em seus problemas
(Papiro de Rhind)*
 * Papiro de Rhind ou Papiro de Ahmes 1.650 a.C - cópia de um trabalho ainda
mais antigo. Detalha a solução de 85
problemas (aritmética, frações, cálculo
de áreas, volumes, equações lineares,
geometria; dentre outros.
Fonte:http://www.navegandodelpasadoalfuturo.net/babilonia
Papiro de Rhind
Fonte: http://www.matematica.br/historia/prhind.html
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Um pouco de História...
 Europa
 Século XVI:
 Del Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari dentre
outros, iniciaram estudos sobre equações de
terceiro e quarto graus.
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Tartaglia
 Século XIX:
 Galois resolveu um antigo problema em
aberto envolvendo as raízes de um polinômio
e cria um novo campo da álgebra abstrata:
a teoria dos grupos.
Fonte: http://www.mathworks.com/matlabcentral
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Algumas Aplicações
 Modelagem matemática: descrever e ajustar curvas.
 Na economia:
• Análises de custos.
• Mercado de ações: prever como os preços podem variar ao longo do tempo.
 Na Medicina:
• Concentração de um medicamento no corpo ao longo do tempo.
 Na Física:
• Descrever a trajetória de um móvel.
 Na Matemática:
• Análise numérica: um dos problemas mais antigos da matemática é determinar
as raízes de polinômios ou resolver equações algébricas.
• Cálculo de Área.
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http://www.citisystems.com.br/confiabilidade-disponibilidade-maquinas/
Fonte: http://magicnumbers-parussolo.blogspot.com.br
Fonte: http://fisicamoderna.blog.uol.com.br
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Definição
Denomina-se função quadrática na variável x toda função na
forma: f(x) = ax2 +bx + c = 0 com x  R, a  0
a: é sempre o coeficiente de x2
b: é sempre o coeficiente de x
c: é o coeficiente ou termo independente
Gráfico da Função Quadrática: sempre é uma parábola.
Exercitando....
Dadas as funções quadráticas diga quem são os coeficientes a, b e c
da função.
 a) f(x) = x2 - 6x +8
a = ____; b = ____; c = ____
 b) y = -3x2 + 4x – 4
a = ____; b = ____; c = ____
 c) f(x) = x2 – 6
a = ____; b = ____; c = ____
 d) y = -2x2 + 8x
a = ____; b = ____; c = ____
 e) f(x) = x2 – 1
a = ____; b = ____; c = ____
ZEROS (OU RAÍZES) DE UMA FUNÇÃO DE 2º GRAU
São os valores de x que anulam a função: f(x) = 0
f(x) = -x2 + 2x + 3
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau
1º caso: b = 0
 Igualar a função a zero
 Isolar a variável x e o termo independente
a) f(x) = x2 – 1
b) f(x) = x2 – 9
c) f(x) = 2x2 – 14
x2 – 1= 0
x2 – 9 = 0
2x2 – 14 = 0
x2 + 9 = 0
x2 = 1
x2 = 9
2x2 = 14
x2 = - 9
x = √1
x = √9
x2 = 14/2
x = √-9
x = +/- 1
x = +/- 3
x = √7
Não existe solução
d) f(x) = x2 + 9
Exercitando....
Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:
a) f(x) = x2 – 16
b) y = -x2 + 36
c) f(x) = 2x2 – 8
d) y = -2x2 + 10
e) f(x) = 2x2 – 6
f) y = x2 + 10
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau
2º caso: c = 0
 Igualar a função a zero
 Colocar a variável x em evidência.
a) f(x) = x2 – 5x
b) f(x) = x2 + 2x
c) f(x) = 2x2 + 6x
x2 – 5x = 0
x2 + 2x = 0
2x2 + 6x = 0
x(x – 5) = 0
x(x + 2) = 0
2x(x + 3) = 0
Raízes:
Raízes:
Raízes:
x=0
x=5
x=0
x = -2
x=0
x = -3
Exercitando....
Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:
a) f(x) = x2 + 3x
b) y = x2 + 4x
c) f(x) = x2 – 4x
d) y = x2 - 5x
e) f(x) = 2x2 – 12x
f) y = 2x2 – 2x
R: a) x’= 0 e x’’ = -3; b) x’= 0 e x’’ = -4; c) x’= 0 e x’’ = 4;
d) x’= 0 e x’’ = 5; e) x’= 0 e x’’ = 6; f) x’= 0 e x’’ = 1;
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau
3º caso: cálculo das raízes da função completa
Soma e Produto (Relação de Girard)
X '  X ''  
X ' . X '' 
Exemplo 1: f(x) = x2 - 5x + 6
b
(  5)

5
a
1
c 6
X ' . X ''    6
a 1
X '  X ''  
S = (2, 3)
b
a
c
a
Exemplo 2: f(x) = x2 + 2x - 3
b
2
X '  X ''       2
a
1
c
3
X ' . X ''      3
a
1
S = (-3, 1)
Cálculo das Raízes: Fórmula de Bháskara
3º caso: cálculo das raízes da função completa
2
  b  4.a.c
b  
x
2a
x 
b 
2
b  4ac
2a
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau
a) f(x) = x2 – 7x + 6
x2 – 7x + 6 = 0
b) f(x) = 9x2 + 6x + 1
c) f(x) = -2x2 + 3x - 5
9x2 + 6x + 1 = 0
-2x2 + 3x – 5 = 0
  b2  4.a.c
  b2  4.a.c
  ( 7)2  4.1.6
  49  24
  25
  (6)2  4.9.1
  36  36
0
(7)  25
x
2.1
75
x' 
6
2
75
x '' 
1
2
6  0
x
2.9
6  0
1
x' 

18
3
6  0 1
x '' 

18
3
  b2  4.a.c
  (3)2  4.(2).( 5)
  9  40
  31
Não existe solução
nos Reais que satisfaça
f(x) = 0
Gráficos da função quadrática
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Exercitando....
Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:
a) f(x) = x² + 3x – 10
e) y = x² + 6x - 8
b) f(x) = 4x² – 4x + 2
f) f(x) = -x2 + 12x + 20
c) y = 2x2 - 4x + 5
g) f(x) = 2x2 - 3x + 5
d) y = -x² - 6x + 5
h) f(x) = 5x2 + 10x + 5
Gabarito:
a) x’= 2 e x’’ = -5; b) sem solução; c) sem solução;
d) x’= 0,74 e x’’ = -6,74; e) x’= 1,12 e x’’ = -7,12; f) x’= -1,48 e x’’ = 13,48;
g) sem solução; h) x’= x’’ = -1;
Cálculo do Vértice de uma Parábola
Valor Máximo ou Mínimo da Função Quadrática
b
2a

yv  
4a
xv  
Valor Máximo
Valor Mínimo
Exemplos
1) Qual é o vértice da parábola y = x2 – 2x + 5?
2) Considere o gráfico a seguir, que representa a função
definida por y = 2x2 – 5x + 2. As coordenadas do vértice V da
parábola são:
Letra A
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3) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que
representa a função f(x) = x2 – 2x – 3 e diga se é um ponto de
máximo ou mínimo da função.
a) V (1, -4); ponto de mínimo
b) V (2, 4); ponto de máximo
c) V (-1,-4); ponto de máximo
d) V (2,-4); ponto de mínimo
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Exercitando....
Em cada um dos itens abaixo ache o vértice e classifique como um
ponto de máximo ou de mínimo da função dada.
a) f(x) = x2 + 8x + 9
b) f(x) = -x2 + 4x + 4
c) f(x) = 4x2 + 8x - 3
d) f(x) = -x2 + 2x - 1
e) f(x) = -x2 + 9
f) f(x) = -x2 - 9x
Gabarito:
a) (-4, -7), ponto de mínimo, b) (2, 8), ponto de máximo
c) (-1, -7), ponto de mínimo, d) (1, 2), ponto de máximo
e) (0, 9), ponto de máximo, f) (0, -9), ponto de máximo
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Domínio e Imagem da função quadrática
D(f) = R
Im(f) = y ≥ 2 ou [2,
[
24
Ler a teoria na p. 171 a 174
Fazer os exercícios da p. 176:
1)a, b, c, 3)
Ler a teoria na p. 177 e 178
Fazer os exercícios da p. 180:
7) a, b, 12, 13
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Aplicações
Exemplo 1:
O lucro de uma fábrica na venda de um produto é dado pela
função L(x) = – 5x2 + 100x – 80, onde x representa o número
de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine:
a) Quantos produtos devem ser vendidos para se obter o lucro
máximo?
b) Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses
produtos?
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Exemplo 2: O custo de produção de um equipamento hospitalar
é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é
dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja
máximo, devem ser vendidas:
a) 20 unidades
d) 8 unidades
b) 16 unidades
e) 4 unidades
c) 12 unidades
Exemplo 3: Um corpo lançado do solo verticalmente para cima
tem posição em função do tempo dada pela função
h(t) = 40 t – 5t2 onde a altura h(t) é dada em metros e o tempo t
é dado em segundos. Calcule:
a) O tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima.
a) A altura máxima atingida pelo objeto.
Exercícios: Máximo e Mínimo
(Enem) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada
rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de
pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional
também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras,
sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de
pessoas que conhecem o boato, tem-se: R(x) = k.x.(P - x), onde k é uma
constante positiva característica do boato.
Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000
pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato
for conhecido por um número de pessoas igual a:
a) 11.000.
b) 22.000.
c) 33.000.
d) 38.000.
e) 44.000.
b
44.000k
xv  

 22.000
2a
2k
2. A modelagem matemática que relaciona o consumo de
gasolina de um carro para percorrer 100 km com velocidade de
x km/h é dado por C(x) = 0,006x2 – 0,6x + 25. Para qual
velocidade este consumo é mínimo?
a)
b)
c)
d)
e)
46 km/h
47 km/h
48 km/h
49 km/h
50 km/h
xv  
b
( 0,6)

 50 km / h
2a
2.0,006
3. Uma bola, ao ser chutada por um goleiro, teve sua trajetória
descrita pela equação h(t) = -2t2 + 8t, onde t é o tempo medido
em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t.
Calcule:
a) O instante (tempo) em que a bola atinge a altura máxima;
b) A altura máxima atingida pela bola.
a) 2 s
b) 8 m
4. Durante o processo de tratamento, uma peça de metal sofre
uma variação de temperatura descrita pela função:
f(t) = 2 + 4t – t2. Em que instante t a temperatura atinge seu
valor máximo?
a) 1,0 s
b) 1,5 s
c) 2,0 s
d) 2,5 s
e) 3,0 s
Letra C
5. Uma indústria que fabrica recipientes plásticos tem sua
produção diária P, em recipientes, variando com o número de
operadores em serviço n, de acordo com a função
P(n) = n2 + 50n + 6.000. Calcule:
a) A produção se o número de operadores for 4.
b) A produção máxima diária sem a contratação de novos
operadores.
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https://www.youtube.com/watch?v=Z5aVW_Zgifk – Conceitos iniciais
https://www.youtube.com/watch?v=LhgksPaYQ5w – Vértice da Parábola
https://www.youtube.com/watch?v=x3FH88dfMPo – Máximos e mínimos
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Referências Bibliográficas
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações:
Ensino médio: volume único. São Paulo: Ática, 2009.
GIOVANNI, José Rui, BONJORNO, José Roberto, GIOVANNI,
José Rui Jr. Matemática Fundamental: uma nova abordagem:
ensino médio. Volume único. São Paulo: FTD, 2011.
Principais sites consultados em 01/12/2015
http://www.navegandodelpasadoalfuturo.net/babilonia
http://www.matematica.br/historia/prhind.html
http://www.mathworks.com/matlabcentral
http://fisicamoderna.blog.uol.com.br