funcao_composta

Função do 2o Grau
Definição: Dados os números reais a, b e c com a 0 chamase função do 2o Grau ou
função quadrática, a função f:    definida por f(x) = ax2 + bx + c, e o seu gráfico
é uma curva denominada parábola
Exemplos:
a) f(x) = 2x2 - x -3 , onde os coeficientes são: a = 2 , b = 1
e c = 3
b) f(x) = x2 – 7x + 12,
c) f(x) = x2 – 2x + 1
d) f(x) = 2x2 –3x + 5
e) f(x) = 2x 2 – 5x
Lembrando: Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução dessa
equação, ou seja, achar os valores de x para os quais ax2 + bx + c = 0. Para a resolução
de uma equação do 2ºGrau, utilizamos a fórmula de Báskara:
x1, 2 
 b  b 2  4ac
2a
onde  = b2  4ac é o discriminante e x1 e x2 são as raízes da função.
Exemplo: Vamos resolver as equações de segundo grau dadas acima utilizando a
fórmula de Báskara.
Raízes ou Zeros da Função: Denomina-se raízes ou zeros de uma função quadrática
os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x)=0 e, graficamente, são os
pontos onde a parábola corta o eixo dos x.
 Estudo das raízes:
Se  > 0, então existem duas raízes reais e distintas.
Se  = 0, então existem duas raízes reais e iguais.
Se  < 0, a equação não tem raízes reais.
 Representação Gráfica: geometricamente, as raízes são os pontos em que a
parábola corta o eixo dos x.
Se  > 0
x
x
x
x
Se  = 0
Se  < 0
x
x
Vértice: Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima (a < 0) ou um ponto de
ordenada mínima (a > 0). A este ponto chamamos de vértice da parábola.
 Coordenadas do vértice:
xv  
b
2a
e
yv 

4a
ou seja,
 b 
V=  
,

 2 a 4a 
Observação:
O valor de máximo ou de mínimo de uma função corresponde ao valor da ordenada (y)
do vértice da parábola, ou seja;
Se a > 0 o y do vértice é o valor mínimo da função.
Se a < 0 o y do vértice é o valor máximo da função.
Concavidade: Se a > 0 então a parábola tem a concavidade voltada para cima:  ()
Se a < 0 então a parábola tem a concavidade voltada para baixo:  ()
Termo c: O termo independente c dá o ponto em que a parábola corta o eixo y.
3Gráfico: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
Exemplo: Encontre as raízes das funções, se existirem, as coordenadas de cada
vértice, o valor de y no ponto onde cada função corta o eixo y e desenhe o gráfico:
a) f(x) = x2 - 6x + 8
b) f(x) = -x2 + 3x - 2
FUNÇÃO COMPOSTA
Com os conceitos apresentados, dadas duas funções reais: f(x) = 2x – 1 e g(x) = x + 2, podemos
calcular a função composta de g e f, expressa pela notação (g o f) (x), que é equivalente à g (f(x)). Para
isso, devemos substituir no lugar de x na função g a lei de função f.
g(x) = x + 2
g(f(x)) = g(2x – 1) = 2x – 1 + 2 = 2x +1
g(f(x)) ou (g o f) (x) = 2x +1
De modo análogo, podemos calcular a função composta de f em g, substituindo no lugar de x na
função f a lei de função g:
f(x) = 2x - 1
f(g(x)) = f(x + 2) = 2.(x + 2) – 1 = 2x + 4 – 1 = 2x + 3
f(g(x)) ou (f o g) (x) = 2x + 3
QUESTÃO RESOLVIDA
1- Sendo f(x) = x +2 e f(g(x)) = 5x -1, determine g(x).
f(x) = x + 2
f(g(x)) = g(x) + 2 = 5x – 1
g(x) = 5x – 1 – 2
g(x) = 5x -3
2 - São dadas as funções de variável real g(x) = x2 + 2x e f(x) = 2x+1. Determine:
a) fog(x)
b) gof(x)
Resolução:
a)
1. fog(x) = f(g(x))
Como g(x) = x2 + 2x, então:
2. f(g(x)) = f(x2 + 2x)
Mas f(x) = 2x + 1, então f(x2 + 2x) = 2(x2 + 2x) +1
3. f(g(x)) = f(x2 + 2x) = 2(x2 + 2x) + 1 = 2x2 + 4x + 1
b)
1. gof(x) = g(f(x))
Como f(x) = 2x+1, então:
2. g(f(x)) = g(2x+1)
Mas g(x) = x2 + 2x, então g(2x+1) = (2x+1)2+2(2x+1)
Desenvolvendo as contas:
g(f(x)) = g(2x+1) = 4x2 + 4x + 1 + 4x + 2
g(f(x)) = 4x2 + 8x + 3