LIMITES

1. LIMITES
1.1 – Noção Intuitiva
Sejam as seguintes sucessões numéricas:
a) 1, 2, 3, 4, ... os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir um
limite. Dizemos então, que os termos da sucessão tendem para o infinito, ou
que o limite da sucessão é infinito. Denota-se por n  
b)
c)
1 2 3
, , ,...n  ......
2 3 4
0,1,2,3,...n ......
Para as funções
f ( x) 
(2 x  3)( x  1)
f é definido para todos os valores de x, exceto para x
( x  1)
= 1. Assim, se x  1, dividindo por x-1, obtém-se:
f ( x)  2x  3
para x próximo de 1
x 0,00 0,50 0,75 0,90 0,99......1,01 1,10 1,25 1,50 2,00
y 3,00 4,00 4,50 4,80 4,98......5,02 5,20 5,50 6,00 7,00
isto é, quando s aproxima-se cada vez mais de 1, f(x) aproxima-se de 5.
limx1 (2x  3)  5
x 1
Vemos que é possível fazer o valor de f(x) tão próximo de 5 quanto
desejarmos, tornando x suficientemente próximo de 1, isto é, podemos
tornar o valor absoluto da diferença entre f(x) e 5 tão pequeno quanto
desejarmos, tornando o valor absoluto da diferença entre x e 1
suficientemente pequeno.
28
Isto é f ( x)  5 pode ser tão pequeno quanto quisermos, fazendo x 1
suficientemente pequeno.
Então:
f ( x)  5   (epsilon) sempre que x  1   (delta) com x  1.
Portanto limx 1 f ( x)  5, pois qualquer que seja   0 mesmo pequeno,
existe   0 tal que:
f ( x)  5   sempre que 0  x  1  
1.2 - Limite de uma Variável
A idéia de uma variável aproximando-se de um valor limite aparece de
forma clara quando se procura estabelecer a fórmula que representa a área
de um círculo.
Assim, considerando a área de um polígono regular de "n" lados inscrito no
círculo, vemos que a medida que "n" crescer, a área do polígono se
aproxima da área do círculo.
Fazendo "n" crescer indefinidamente a área do polígono tende a um limite
e este limite é definido como a área do círculo.
DEFINIÇÃO: seja x uma variável, diz-se que x tende a uma constante "a",
ou que o limite de x é "a", se para um número qualquer positivo  , por
pequeno que seja, os valores sucessivos de x se aproximam de "a" de tal
modo que a diferença x-a em valor absoluto seja menor que  , isto é:
x  a   e escreve-se
lim x  a , ou x  a , lê-se tende para "a"
Geometricamente a desigualdade x  a   , estabelecida na definição,
significa que, para qualquer x, pertencente ao intervalo aberto (a   , a   )
tem limite "a", isto é, tende para "a".
a 
2
a
a 
Ex.: a  3,
x  (3   ,3   ) ou 3    x  3    x  3  
Agora, se   0,05  2,95  x  3,05  x  3
se   0,001  2,999  x  3,001  x  3
1.3 – Ponto de Acumulação
Dizemos que um ponto xo,  ou não a um conjunto D, é de acumulação
para D, se qualquer intervalo aberto de centro xo e raio   0 (vizinhança de
xo), contém pelo menos um ponto x, distinto de xo, pertencente a
D, isto é :
  0, x  xo  x  ( xo   1 , xo   2 ) / x  D
29
1.4 - LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL
Seja uma f de R que admite o ponto de acumulação xo. Temos o ponto
( xo , L) e um  (pequeno) em y, de tal modo que ( L   , L   ) se
correspondem em x pelo intervalo (a, b), com xo , não sendo
obrigatoriamente o ponto central de a e b, isto é, xo  a  b  xo
Fazendo
xo  a   1
e  é o menor de  1e 2 , com
b  xo   2
( xo   , xo   )  (a, b) dizemos então, que f ( x) quando x tende para xo , é
igual a L.
lim x  x f ( x)  L
Simbolicamente
o
DEFINIÇÃO: Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto
possivelmente no próprio a . Dizemos que o limite de f(x) quando x
aproxima-se de a é L e escrevemos,
lim
f ( x)  L
x a
se para todo   0 , existe um   0, tal que f ( x)  L   sempre que
0 xa 
Exemplo: Provar que lim(
3x  1)  2
x 1
(3x  1)  2   sempre que 0  x  1  
3x  3  
3( x  1)  


x 1   
3
3
então (3x  1)  2   sempre que 0  x  1  
 lim(
3x  1)  2
x 1
Exercício 1:
lim (3x  1) 
x 2
x2  9

Exercício 2: lim
x 3 x  3
2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
Nos ajuda ao cálculo dos limites sem utilizar a definição, que poderá
ser um trabalho bastante desgastante.
30
1) Se a, m e n são números reais
lim(
mx  n)  ma  n
x a
Ex.: lim (5 x  2) 
x 1
2) a) lim
cc
x a
lim 5 
Ex.:
x 2
b) lim
xa
x a
lim x 
Ex.:
x 5
c) lim cf ( x)  c.lim f ( x)
Ex.: lim 5( x  1) 
x 1
3) SOMA
lim f ( x)  g( x)  lim f ( x)  lim g( x)
lim f ( x)
a
a
a
lim g( x)
b
 
lim[ f ( x)  g( x)]






lim ( x 2  3 x  2) 
Ex.:
x2
4) PRODUTO
lim
f ( x).lim
g ( x)
 f ( x). g( x)  lim
x a
x a
x a
lim f ( x)
a
a0 a0
lim g( x)
b


lim[ f ( x). g( x)]




0

lim (3x . 5 x) 
x2
5) QUOCIENTE
lim
x a
f ( x)
f ( x) lim
 x a
g( x) lim
g( x)
x a
31
lim f ( x)
lim g( x)
f ( x)
lim
g( x)
a a0
b  0 0
a0 a

   0 
0  b  0 b  0 0
0 0  
x2  1

Ex.: lim
x 1 x  1
6) POTÊNCIA
lim f ( x)   lim f ( x) para qualquer m inteiro positivo
m
m
2
Ex.: lim ( x  1)   lim ( x  1) 
 x 1

x 1
2
7) RAIZ
limn
f ( x)  n lim f ( x) se lim f (x)  0 e n inteiro ou se lim f (x)  0
e n inteiro positivo ímpar
Ex.:
lim x 4  4 x  1 
x2
8) LOGARÍTMICO
lim loga f ( x)  loga lim f ( x) c/ f (x)  0
Ex.: lim (log10 x) 
x 10
9) POLINÔMIO, quando x  
lim
f ( x)  lim
a0 x n é igual ao limite do maior grau do polinômio
x 
x 
Ex.:
 lim (5 x 3  2 x 2 ...) 
x  
 lim  3x 4  2 x 2  1 
x  
10) LIMITE DE UMA FUNÇÃO RACIONAL x  b (b  R) .
lim
Qx 
x b
lim
p1 ( x)
x b
lim
p2 ( x)
x b
32
x2  1
Ex.: lim

x2 x 2  1
x 2  3x  2
Ex.: lim
x 1
x2  1
11) LIMITE DE UMA FUNÇÃO RACIONAL quando x  
lim Q( x)  lim
x  
x  
a0 x m
b0 x n
 se
 a0

se
b
0

se
0
m n
m n
m n
2 x 3  3x 2  x  1
a) lim

x  
x2  x  3
2x2  1
b) lim

x   x 2  1
c)
3

x   x 2  3
lim
EXERCÍCIOS DE LIMITES
1) lim(
x  4)
x 4
x2
x5
2) lim(
x 3  x 2  x  1)
x 1
4) lim
x 3
x2  9
x3
5) lim
( x  10)
x 
6) lim
x 
x
100
3x 2
7) lim
x  7
3
8) lim
x
x 
3) lim
x 6
9) lim
x 1
x 
10) lim
x 
2 x 3
5
33
11) lim
x 
1
x
13) lim
x  3
12) lim
x 
1
x
14) lim
7x
x 
 1
15) lim 
2 
x
 5 
17) lim
x   7 
x
19) lim
2x
x 
20
x 1
3
7x
16) lim
x  5x
18) lim
2x
x 
2
x
20) lim
2
x 
3
3. LIMITES LATERAIS
Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos
que um número real L é o limite a direita da função f quando x tende para
" a " pela direita, e escrevemos:
isto é, todos os valores de x são sempre maiores do
lim
f ( x)  L
x a

que " a ".
lim
f ( x)  L
x a
que " a ".

isto é, todos os valores de x são sempre menores do
1
 
0
1
0  0,00001 ; 0  0 ; (0 ) 2  0 ;   
0
0  0,00001 ; 0  0 ; (0 ) 2  0 ;
OBS:
TEOREMA: Seja f definida em um intervalo aberto contendo a , exceto
possivelmente no ponto a , então:
lim
f ( x)  L
x a
lim
f ( x)  L
x a
se e somente se:
e
lim
f ( x)  L
x a


34
1
lim
x 0 x
Ex.1:

1
 
lim
x 0 x

1
lim  
x 0 x


como lim
f ( x)  lim
f ( x) , lim
f ( x) 
x 0
x 0
x 0

Ex.2:

lim f ( x)  lim x  0
x 0
 x 0
f ( x)  lim
x 0
lim
x 0
x 0
lim f ( x)  x




f ( x)  lim
x 0
então lim
x 0
x 0
Exercícios:
1) lim(1  x  3) determinar a) lim
f ( x)
x 3
b) lim
f ( x)
x 3


 x
 se x  0 determinar a) lim f ( x)
2) f ( x)   x
x 0
 1 se x  0
b) lim
f ( x)
x 0

1 se x  0
3) f ( x)   0 se x  0
 1 se x  0
 x 2  1 p /
4) lim f ( x)  2
p/
2
9  x p /
x  1
3x  7
5) lim f ( x) 
 x2  2x  1
6) f ( x) 
7

determinar a) lim
f ( x)
x 0
b) lim
f ( x)
x 0

x2
x  2 determinar
x2
lim
f ( x)
x 2
x3
f ( x)
x 3
x  3 determinar lim
x3
x3
determinar

;
lim
f ( x)
x 5
lim
f ( x)
x 3
7) f ( x)  x  4 determinar lim
f ( x)
x 4
35
1
 2x
8) f ( x)   x
2
2  x
x0
0  x  1 determinar a) lim f ( x) b) lim f ( x)
x 1
x 0
x1
x1
c) lim
f ( x)
x 2
EXERCÍCIOS SOBRE LIMITES
x
2
x 9
1) lim x3
4) lim x 2
3x  6
2
x  3x  2
7) lim x3
x2  9
x 2  4x  3
10) lim t  (e
1/ t
2) lim x1
 5)
4x 2  4
2x  2
5) lim x 2
x2  x  2
x2
8) lim x2
x 2  5x  6
x 2  6x  8
11) lim x
8  x3
x 2  2x
17) lim x
19) lim x
5x 2  x  2
3x 2  x  4
20) lim x1
3 5 x
22) lim x  4
1 5  x
x3  8
x2
6) lim x3
9) lim x 1
(1  e1 / x )
ex
x 1
x  2x  1
12) lim x0
2
23 x
1 9 x
15) lim x
3x 2  1
3x 2  4 x  1
ax 4  bx 2  c
dx 5  cx 3  kx
18) lim x 
1 x
x3
1 x
21) lim x1
1 x2
23) lim x0
x2 1 1
2) 4
3) 12
4) 3
5) -3
6) 18
7) 3
8) ½
9) 
10) 6
11) 0
12) 2
13) ½
14)
16)   17) 0
18) 0
19) 5/3
23) 4
x  3  3x  1
x 1
24) lim x x
x 2  16  4
Respostas : 1)
21) – ½ 22) – 1/3
x 4  81
x2  9
xh  x
h
8 x  10 
 9
 2
13) lim x 1 
 14) lim h0
 x 1 x 1 
16) lim x
3) lim x2
1
2 x

x 1  x

15) 1
20) 0
24) 1/2
36