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(Aula02-Top2-Texto Complementar) LIMITES COM  E 
1
Aula03-Top2-Texto Complementar (Link )
LIMITES COM  E 
Este texto trata de limites e continuidades com o rigor matemático em que
tradicionalmente tal estudo é realizado, é a parte deste módulo em que o leitor sentirá
menos facilidade para dominar; entretanto, tudo é uma questão de familiaridade.
Inicialmente, aborda-se o conceito de limite, então serão desenvolvidos os resultados
decorrentes de tal conceito e onde serão demonstrados os teoremas e corolários usados
no tópico 1 desta aula. No estudo de limites, no nível que será tratado neste parágrafo,
não é comum problemas práticos; entretanto, tal estudo é uma poderosa ferramenta
teórica e que será utilizada em vários resultados importantes do Cálculo e de outras
áreas afins da Matemática.
Na definição de limite bilateral (dada no tópico 1 desta aula), foi estabelecido
que: lim f ( x)  L, se à medida que a distância de x a c (independendo de x  c ou
xc
x  c ) vai diminuindo, implica que a distância de f ( x) a L se torna cada vez menor.
Em outras palavras: lim f ( x )  L , se a distância de f ( x) a L pode se tornar tão
x c
pequena quanto se deseja, desde que se considere a distância de x a c suficientemente
pequena. A fim de entender a definição de limite, baseando-se nas noções de distâncias,
x  1 se x  1
considere a função f ( x )  
  x se x  1, em que lim f ( x) não existe, pois não será

x1
possível controlar a distância de f ( x) a nenhum valor L. Para melhorar o
esclarecimento de tais fatos, considere o gráfico de f , que está na figura seguinte.
Y
2
1
X
O
-1
Observando a figura, verifica-se que: o lim f ( x) não é igual a 1, pois (por
x1
exemplo) não é possível ter f ( x)  ( 1)  0, 5 com x à esquerda de 1; também
lim f ( x) não é 2, pois (por exemplo) é impossível ter f ( x)  2  1 com x à direita
x1
de 1. É claro que para qualquer outro valor L diferente de 1 e 2, é possível
estabelecer uma situação análoga.
É muito comum usar as letras gregas  (lê-se, épsilon) e  (lê-se, delta),
para expressar a definição de limite através dessas noções de distâncias. Assim, tem-se
que: se f é uma função definida num intervalo aberto contendo c, exceto
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2
possivelmente em c, diz-se que
lim f ( x)  L,
xc
se para qualquer   0 existe   0 tal que
0  | x  c |  implica que f ( x )  L  .
A condição 0  | x  c | é necessária, pois é de interesse as imagens f ( x) dos
valores de x próximos de c e não para x  c.
Exemplo Resolvido. Usar a definição de limite, para mostrar o limite indicado:
(a) lim ( 2 x  1)  3;
(b) lim x 2  2x  1  2.
x 1
x2


Solução.
(a) Sendo f (x)  2x  1, deve-se mostrar que, dado qualquer   0 existe   0
tal que
0  | x  (2) |   | f (x)  (3) | ,
ou seja,

0  | x  2 |    | (2x  1)  ( 3) |    2 | x  2 |    | x  2 |  .
2
Logo, considerando   2 , tem-se
0  | x  2 |   0 | x  2 |
Isto mostra que

 2 | x  2 |    | f (x)  ( 3) |  .
2
lim (2 x  1)  3. Qualquer valor 1 com 0  1  2 , pode também
x2
ser considerado como o  que se procurava.
(b) Sendo g(x)  x2  2x  1, deve-se mostrar que, dado qualquer
existe   0 tal que
0
0  | x  1|    | g(x)  2 |  | x  1| | x  3 |  .
Da experiência obtida no item (a), para encontrar um  que satisfaça tal
condição, deve-se achar uma inequação envolvendo apenas | x 1| dependendo de x,
para tanto é necessário determinar um valor que majore o fator | x  3|. Sendo assim,
como se deseja que os valores de x estejam próximos de 1, é possível considerar (por
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exemplo) que | x  1|  1 (ou seja, é possível considerar que o  procurado seja menor
ou igual a 1), logo
| x  1|  1   1  x  1  1  3  x  3  5  3  | x  3 |  5,
| x  3|
isto é, o valor 5 majora
| x  1|| x  3 |  | x  1| 5.
se
| x  1|  1. Assim, se
| x  1|  1
então
Deseja-se que | x  15
|  , ou seja, | x  1 | 5 . Portanto, tomando  como o
menor dos dois valores 1 e
obtém-se então

5
escreve  se,   mín. 1, 5 , daí
  1 e   5 ,

0  | x  1|     | x  1|  1 e | x  1|   
5

 | x  3 |  5 e | x  1|     | g(x)  2 |  | x  3 || x  1|  .


5

Exemplo Proposto. Usar a definição de limite, para mostrar o limite indicado:
(a) lim (2x  1)  1 onde    ;
(b) lim x 2  x  1  1 onde   mín. 1,  .
2
2
x 1
x 1


 
Na definição do limite bileteral usando  e , não está explícito que o valor
limite de uma função deve ser único (como foi enfatizado na definição dada em (III) do
tópico 1 desta aula), o próximo teorema estabelece tal unicidade.
Teorema (Unicidade do limite) 1. Se lim f ( x)  L e lim f ( x)  M, então L  M.
xc
xc
Demonstração. Suponha que L  M, então para demonstrar o teorema, deve-se provar
que esta suposição conduz a uma afirmação absurda.
Como lim f ( x)  L, para qualquer   0 existe 1  0 tal que
xc
0  | x  c |  1  | f (x)  L |  ;
também, como lim f ( x)  M, existe  2  0 tal que
xc
0  | x  c |  2  | f (x)  M |  .
Logo, para qualquer   0 existem 1  0 e  2  0 tais que
0  | x  c | 1
e 0  | x  c | 2 
 | L  M |  | L  f (x)  f (x)  M |  | L  f (x) |  | f (x)  M | 2.
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Seja   mín.  1 ,  2 , então
0 < | x - c | < d Þ | L - M | < 2 e.
Como esta última afirmação vale para qualquer   0, considerando   12 | L  M |,
tem-se
0  | x  c |  | L  M | | L  M | .
Sendo impossível ter | L  M | | L  M |, não se pode supor L  M, logo L  M. O
que conclui a demonstração.
Os dois teoremas seguintes, referem-se aos teoremas 1 e 2 do tópico 2 desta
aula, respectivamente, que agora podem ser demonstrados.
Teorema 2. Se a e b são números reais fixos, então lim (ax  b)  ac  b.
x c
Demonstração. Deve-se provar que para qualquer   0 existe   0 tal que
0  | x  c |    | (ax  b)  (ac  b) |  .
Inicialmente, suponha que a  0, então

| (ax  b)  (ac  b) |  | a || x  c |    | x  c |  ,
a
logo tomando   a , a implicação se verifica.
Se a  0, então | (ax  b)  (ac  b) | 0 para todo x, logo tomando  como
qualquer valor positivo, a implicação se verifica. O que conclui a demonstração.
Teorema 3. Se lim f ( x)  L e lim g( x)  M, então:
xc
(a) lim f (x)  g(x)  L  M;
x c
(d) lim
n
xc
xc
f (x) L
se M  0;

x c g(x) M
(b) lim [ f ( x) g( x)]  LM ; (c) lim
xc
f ( x)  L se L  0 e n é inteiro  2 ou L é qualquer valor e n ímpar
n
 3.
Demonstração.
(a) Será demonstrado que
lim f (x)  g(x)  L  M, o limite da diferença é
x c
tratado similarmente e sua demonstração está sugerida no exercício 13 do exercitando
deste texto.
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Como lim f ( x)  L, dado
xc

2
5
 0 existe 1  0 tal que
0  | x  c |  1  | f (x)  L |   ;
2
também, como lim g( x)  M, existe  2  0 tal que
xc

0  | x  c | 2  | g(x)  M |  .
2
Seja   mín.  1 ,  2 , então   1 e   2 , daí
0 < | x - c |< d Þ
0 < | x - c | < d1 e 0 < | x - c | < d2 Þ
| f (x) - L | <
e
e
e | g(x) - M | < .
2
2
Portanto, tem-se
0< | x - c| < d Þ
[f (x) + g(x) ]- [L + M ] = [f (x) - L ]+ [g(x) - M ] £
£ f (x) - L + g(x) - M <
e e
+ = e.
2 2
O que conclui a demonstração de (a).
(b) Para demonstrar que lim f (x)g(x)  LM, é necessário os dois seguintes
x c
resultados:
(i) Se lim f ( x)  L (existe), então f é limitada em torno de c, isto é, existem k  0 e
xc
  0 tal que 0  | x  c |    | f (x) | k.
Para justificar esta afirmação, observe que se lim f ( x)  L, pela definição de
limite, dado   0 existe   0 tal que
xc
0  | x  c |    | f ( x )  L |   L    f ( x )  L  .
Se L  0, então L    (L  ) e assim 0 | x  c |    (  L)  f ( x )    L
 | f ( x ) |   L, logo basta tomar k    L. Se L  0, então  (L  )  L   e
assim 0 | x  c |    (L  )  f ( x )  L    | f ( x ) | L  , logo basta tomar
k  L  .
(ii) Se lim f ( x)  0 e g é limitada em torno de c, então (mesmo que lim g( x) não
xc
xc
exista) lim f ( x)g( x)  0. A prova está sugerida no exercício 14 do exercitando
xc
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deste texto.
Tem-se
f (x)g(x)  LM  f (x)g(x)  f (x)M  f (x)M  LM f (x)g(x)  M  f (x)  LM.
Como lim f ( x) existe, por (i), f é limitada em torno de c; além disso,
xc
lim g(x)  M  0 decorrente da parte (a). Logo, por (ii), lim f (x) g(x)  M  0.
x c
x c
Analogamente, encontra-se que lim f (x)  L M  0. Portanto, pela parte (a),
x c
lim f (x)g(x)  LM  lim f (x) g(x)  M  lim f (x)  L M  0,
x c
x c
x c
ou seja, lim f (x)g(x)  LM. O que conclui a demonstração da parte (b).
x c
(c) Tem-se
f (x) L Mf (x)  Lg(x)
 
 Mf (x)  Lg(x) 1 .
g(x) M
g(x)M
g(x)M
Pelas partes (a) e (b), e pelo teorema 2, tem-se
lim  Mf (x)  Lg(x)  0.
x c
Como lim g( x)  M  0, por (b) decorre que lim g( x) M  M 2 , logo para
xc
xc

M2
2
existe   0 tal que
M2
M2
M2
 
 g(x)M  M 2 
2
2
2
2
2
M
3M
2
1
2

 g(x)M 


 2
2
2
2
g(x)M M
3M
0  | x  c |    g(x)M  M 2 

assim,
1
g( x )M
1
2
 2;
g(x)M M
é limitada em torno de c.
Portanto, sendo lim Mf ( x)  Lg( x)  0 e
xc
(ii) da demonstração da parte (b),
1
g( x )M
limitada em torno de c, por
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 f (x) L 


lim 
   lim Mf (x)  Lg(x) 1   0,
g
(
x
)
M
g
(
x
)
M
x

c




x c
ou seja, lim
f (x)
x® c g(x)
=
L.
M
O que conclui a demonstração de (c).
(d) A demonstração será feita no caso particular em que n  2 e assim com
L  0. As demonstrações nos outros casos, estão sugeridas no exercício 19 do
exercitando deste texto.
Inicialmente, suponha que
L  0 , então para mostrar que
deve-se provar que para qualquer   0 existe   0 tal que
0  | x  c |  
lim
xc
f ( x)  0,
f (x)  .
Como lim f ( x)  L  0, para  2 (onde  é qualquer valor positivo) existe
1  0 tal que
xc
0  | x  c |  1  f (x)  0  f (x)   2 .
Para que tenha sentido estabelecer o lim f ( x) , tem que existir 2  0 tal que
xc
0  | x  c | 2  f (x)  0.
Seja   mín.  1 ,  2 , então
0  | x  c |   f (x)   2 e f (x)  0  0  f (x)   2 
    0  f (x)   
f (x)  .
Suponha agora que L  0, então para demonstrar que lim
mostrar que, para qualquer   0 existe   0 tal que
0 | x  c |   
xc
f ( x)  L , deve-se
f (x)  L  .
Considere 0    L, sendo assim, o número 2 L   2 é positivo. Como
lim f ( x)  L, para   2 L   2 existe   0 tal que
xc
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0  | x  c |   f (x)  L  2 L   2 


  2 L   2  f (x)  L  2 L   2  2 L   2


 L  2 L   2  f (x)  L  2 L   2
 (L  )2  f (x)  (L  ) 2  L    f (x)  L  
   f (x)  L   
f (x)  L   .
Caso seja   L, a demonstração é análoga e está sugerida no exercício 17
deste tópico. O teorema 1 deste tópico 3 permite uma prova simples da parte (d) do
teorema 3, veja o exercício 2 do exercitando do texto complementar indicado no final
do tópico 3 desta aula.
O teorema seguinte, refere-se ao teorema 5 do tópico 2 desta aula, que agora
pode ser demonstrado.
Teorema 4. Sejam f, g e h funções definidas num intervalo aberto I contendo c,
exceto talvez em c, onde f ( x)  g( x)  h( x) para todo x em I com x  c. Se
lim f ( x)  L e lim h( x)  L, então lim g( x)  L.
xc
xc
Demonstração. Como
1  0 e 2  0 tais que
xc
lim f ( x)  lim h( x)  L, para qualquer
xc
xc
0
existem
0 < | x - c | < d1 Þ f (x) - L < e Û L - e < f (x) < L + e
e
0 < | x - c | < d2 Þ h(x) - L < e Û L - e < h(x) < L + e.
Seja   mín .{1, 2}, então
0 < | x - c | < d Þ L - e < f (x) < L + e e L - e < h(x) < L + e
Þ L - e < f (x) £ g(x) £ h(x) < L + e
Þ L - e < g(x) < L + e
Û g(x) - L < e.
O que conclui a demonstração.
Teorema 5. Se lim f ( x)  L e lim g( x)  M com L  M, então existe   0 tal que
xc
xc
0 < | x - c |< d implica que f ( x)  g( x).
Demonstração. Como
L  M, tem-se

M L
2
 0. Sendo
lim f ( x)  L
xc
e
(Aula02-Top2-Texto Complementar) LIMITES COM  E 
lim g( x)  M, para  
x
9
existem 1  0 e 2  0 tais que
M L
2
0  | x  c | 1  f (x)  L 
e
0  | x  c | 2  g(x)  M 
ML
3L  M
LM

 f (x) 
2
2
2
ML
ML
3M  L

 g(x) 
.
2
2
2
Seja   mín.{ 1 ,  2 }, então
3L  M
LM
 f (x) 
2
2
LM
 f (x) 
 g(x).
2
0  | x  c |  
e
ML
3M  L
 g(x) 
2
2
O que conclui a demonstração.
Os dois resultados seguintes, seguem-se do teorema 5 e suas demonstrações
estão sugeridas nos exercícios 20 e 21 do exercitando deste texto.
Corolário 1. Se lim f ( x)  L  0, existem 1  0 e 2  0 tais que:
xc
(a) Se L  0 e 0  | x  c | 1 implica que f ( x)  0;
(b) Se L  0 e 0  | x  c | 2 implica que f ( x)  0.
Corolário 2. Se f ( x )  g( x ) para todo x num intervalo aberto contendo c, exceto
talvez em c, lim f ( x)  L e lim g( x)  M, então L  M.
xc
xc
Os limites unilaterais podem também ser expressos, usando-se os símbolos  e
 , da seguinte forma:
(a) Se f é uma função definida num intervalo aberto tendo c como extremo superior,
lim  f (x)L, se para qualquer
diz-se que
0 existe 0 tal que
xc
   x  c  0  f ( x )  L  ;
(b) Se f é uma função definida num intervalo aberto tendo c como extremo inferior,
lim  f (x)L, se para qualquer   0 existe   0 tal que
diz-se que
xc
0  x  c    f ( x )  L  .
Observe que x  c não aparece entre as barras de valor absoluto nas definições
dos limites unilaterais, pois x  c e x  c nas definições dos limites à esquerda e à
direita, respectivamente.
Os resultados para limite com x  c , já expressos neste seção, valem para os
limites unilaterais. As demonstrações de alguns de tais resultados estão sugeridas no
(Aula02-Top2-Texto Complementar) LIMITES COM  E 
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exercício 22 do exercitando deste texto.
O critério de existência do limite bilateral, a partir dos limites unilaterais (dado
no tópico 1 desta aula), agora pode ser enunciado como um teorema.
lim f ( x)  L
Teorema 6. O
(existe) se, e somente se,
xc
lim f (x)  L
x c
e
lim f (x)  L.
x  c
Demonstração. Suponha que lim f ( x)  L, então para todo   0 existe   0 tal que,
xc
(0 < | x -
c | < d Þ f (x) - L < e) Û (- d < x - c < d com x ¹ c Þ f (x) - L < e)
Û (- d < x - c < 0 e 0 < x - c < d Þ f (x) - L < e)
Û (- d < x - c < 0 Þ f (x) - L < e e 0 < x - c < d Þ f (x) - L < e).
Isto prova que lim  f ( x)  L e lim  f ( x)  L.
xc
xc
Se lim  f ( x)  lim  f ( x)  L, para qualquer   0 existem 1  0 e  2  0 tais
xc
xc
que
 1  x  c  0  f ( x)  L   e 0  x  c  2  f ( x)  L  .
Seja   mín .{1, 2}, então
   x  c  0
 f (x)  L  

 0 | x  c | 
e
0  x  c    f (x)  L   
 f (x)  L    .
Isto prova que lim f ( x)  L. O que conclui a demonstração.
xc
Agora, serão tratatos com  e , os limites indicados pelos símbolos
e
lim f ( x)  L
lim f ( x)  M, estes são os limites no infinito, conforme
x
x
classificação dada no tópico 1 desta aula.
Usando os símbolos  e , os conceitos de limites finitos no infinito, são os
seguintes:
(a) Se f é uma função definida num intervalo ilimitado inferiormente, diz-se que
existe
tal que
lim f ( x)  L, se para qualquer
0
0
x
x     f ( x )  L  ;
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11
(b) Se f é uma função definida num intervalo ilimitado superiormente, diz-se que
lim f ( x)  L, se para qualquer   0 existe   0 tal que x    f ( x)  L  .
x
Os teoremas de limite com x  c (isto é, os teoremas 1 a 5 deste texto),
valem para limites finitos no infinito, desde que sejam feitas as devidas adaptações e
quando forem necessárias. As demonstrações de tais teoremas estão sugeridas no
exercício 23 do exercitando deste texto.
O teorema seguinte, refere-se ao teorema 3 do tópico 2 desta aula, que
agora pode ser demonstrado.
Teorema 7. Se n é um número inteiro positivo, então:
1
1
(a) lim n  0;
(b) lim n  0.
x x
x x
Demonstração. Será demonstrada a parte (a), a outra parte tem demonstração análoga e
está sugerida no exercício 25 do exercitando deste texto.
Para demonstrar que
existe   0 tal que
lim
x® - ¥
1
xn
= 0, deve-se mostrar que, para qualquer   0
x   
1
 ;
xn
mas
1
1
1
    x n  | x |   
n


x
Logo, tomando  
 1 
1
n
1
n
1
 x    

1
n
1
ou
1
x    n .

é verificada a afirmação. O que conclui a demonstração.
Não se tratou também anteriormente dos limites representados pelos símbolos
lim f ( x)   e lim f ( x)   (onde x  c pode ser substituído por x  c ,
xc

xc
x  c , x   ou x   ), este são os limites infinitos, conforme classificação
dada no tópico 1 desta aula. Existe uma definição para cada um destes limites, usando
os símbolos  e . Por exemplo, se f é uma função definida num intervalo aberto
contendo c, exceto talvez em c, diz-se que:
(a) lim f ( x)  , se para qualquer
xc
f (x)  ;
0
existe
0
tal que 0  | x  c |   
(Aula02-Top2-Texto Complementar) LIMITES COM  E 
(b) lim f ( x)  ,
xc
0 < | x - c |< d Þ
0
se para qualquer
0
existe
12
tal que
f (x)  .
As definições de limites infinitos com  e , onde x  c , x  c  , x  
ou x  , são formuladas similarmente.
O teorema seguinte, refere-se ao teorema 4 do tópico 2 desta aula, que agora
pode ser demonstrado.
Teorema 8. Sejam lim f (x)  L  0, lim g(x)  0 e lim
x c
x c
f (x)
x c g(x)
 M , então:
(b) M   se L  0 e g(x)  0 ;
(a) M   se L  0 e g(x)  0 ;
(c) M   se L  0 e g(x)  0 ;
(d) M   se L  0 e g(x)  0.
Demonstração. Será demonstrada a parte (a), as outras partes têm demonstrações
análogas e estão sugeridas no exercício 27 do exercitando deste texto.
Para demonstrar a parte (a), deve-se mostrar que, para qualquer   0 existe
  0 tal que
0 < | x - c |< d Þ
Como lim f ( x)  L  0, para 0 
xc
0  | x  c | 1  f (x)  L 
Sendo
 2  0 tal que
lim g( x)  0, para
xc

0  | x  c | 2  g(x) 
L
2
f (x)
> e.
g(x)
existe 1  0 tal que
L
L
3L
L

 f (x) 
 f (x)  .
2
2
2
2
L
2
(onde  é positivo e arbitrário) existe
L
L
 g(x) 
pois g(x)  0.
2
2
Seja   mín .{1, 2 }, então
L
f (x)
L
L
0  | x  c |   f (x) 
e g(x) 

 2  .
L
2
2
g(x)
2
Como  é arbitrário, a demonstração está concluída.
O teorema 2 continua válido se x  c for substituído por x  c , x  c  ,
x   ou x  .
(Aula02-Top2-Texto Complementar) LIMITES COM  E 
13
Quanto aos teoremas (de limites finitos) 1 e 3 a 6 enunciados neste texto, em
geral, não podem ser adaptados para limites infinitos. Algumas adaptações que são
possíveis, têm suas demonstrações sugeridas nos exercícios 29 a 35 do exercitando
deste texto.
EXERCITANDO
Nos exercícios 1 a 8, usando a definição de limite, mostre que:
1. lim (3x  2)  2; 2. lim (2 x  5)  1;
3. lim x 2  1;
4. lim x 2  2 x  3  2;
x 0
x  2;
x 1
5. lim
x 2
6. lim x  1  1 ;
x 1

x 1
x2
x 1
2

x1
8. lim  x    sen x  0.
7. lim x cos x  0;
x  
2
x 0
2
9. Mostre, usando a definição de limite, que lim x 2  c 2 para todo c.
x c
10. Mostre, usando a definição de limite, que lim x  c para todo c  0.
xc
11. Mostre, usando a definição de limite, que lim 1  1 para todo c  0.
x c
x
c
12. Se f ( x )  g ( x ) para todo x num intervalo aberto contendo c, exceto possivelmente
em c, além disso lim f ( x) e lim g( x) existem, mostre que f e g têm o mesmo
xc
xc
valor limite quando x  c.
13. (Teorema 3a deste texto).
Se
lim f (x)  g(x)  L  M.
lim f ( x )  L
x c
e
lim g( x )  M ,
x c
mostre que
x c
14. Se lim f (x)  0 e g é limitada em torno de c, mostre que lim f (x)g(x)  0.
x c
x c
15. Mostre que é falsa a recíproca do resultado (i) na demonstração da parte (b) do
teorema 3 deste texto.
16. Se lim f ( x)  L, usando a definição de limite, mostre que lim f (x)L  L2 .
x c
xc
17. Na demonstração do caso particular do teorema 3(d) deste texto, foi considerado
0    L. Faça a demonstração para   L. Sugestão: considere   2  2 L
para   0 e use que lim f ( x)  L.
xc
18. Se lim f ( x)  L, mostre que lim f ( x)  L .
xc
x c
(Aula02-Top2-Texto Complementar) LIMITES COM  E 
14
19. (Teorema 3d deste texto). Se lim f (x)  L, mostre que lim n f ( x )  n L se L  0 e
x c
x c
n é inteiro  2 ou L é qualquer valor e n é ímpar  3.
20. (Corolário 1 do Teorema 5 deste texto). Se lim f (x)  L  0, mostre que:
x c
(a) Se L  0, então f é positiva em torno de c;
(b) Se L  0, então f é negativa em torno de c.
21. (Corolário 2 do Teorema 5 deste texto). Se f ( x )  g ( x ) para todo x num
intervalo aberto contendo c, exceto talvez em c, lim f (x)  L e lim g(x)  M,
x c
x c
mostre que L  M .
22. Reformule os enunciados dos teoremas 4 e 5 deste texto, para limites unilaterais e
faça suas demonstrações.
23. Reformule os enunciados dos teoremas 1 a 5 deste texto, para limites finitos no
infinito e faça suas demonstrações. No caso do teorema 2, somente se a  0.
24. Suponha que os limites finitos com x   e x  , são limites unilaterais de
x  . Mostre que no teorema 6 deste texto, o valor de c pode ser substituído
por , c por  e c  por .
25. (Teorema 7b deste texto). Se
lim
x® + ¥
1
xn
n
é um número inteiro positivo, mostre que
= 0.
26. Formule as definições para cada um dos limites representados pelos símbolos
indicados, usando  e :
(a) lim f (x)  ; (b) lim f (x)  ; (c) lim f (x)  ;
(d) lim f (x)  ;
x c
x c
x c
(e) lim f (x)  ; (f) lim f (x)  ;
x 
x c
(g) lim f (x)  ;
x 
x 
(h) lim f (x)  .
x 
27. (Teorema 8b a 8d deste texto). Se lim f (x)  L  0 e lim g(x)  0, mostre que:
x c
(a) lim
f (x)
x c g(x)
x c
  se L  0 e g( x)  0 ;
f (x)
  se L  0 e g( x)  0 ;
g(x)
f (x)
(c) lim
  se L  0 e g( x)  0 .
x c g(x)
(b) lim
x c
28. Reformule o teorema 8 deste texto, substituindo x  c pelo símbolo indicado e
faça a demonstração:
(a) x  c  ;
(b) x  c  ;
(c) x  ;
(d) x  .
Nos exercícios 29 a 31, mostre que:
(Aula02-Top2-Texto Complementar) LIMITES COM  E 
15
29. Se lim f (x)   e lim g(x)  L, então lim f ( x)  g( x)  ;
x c
x c
x c
30. Se lim f (x)   e lim g(x)  L  0, então (i) lim f (x)g(x)   se L  0 e (ii)
x c
x c
x c
lim f (x)g(x)   se L  0;
x c
31. Se lim f (x)   e lim g(x)  L  0, então (i) lim f (x)g(x)  
x c
x c
x c
se
L0
e
(ii) lim f (x)g(x)   se L  0.
x c
32. Mostre que valem os resultados dos exercícios 29 a 31, se x  c for
substituído por x  c  , x  c  , x   e x  .
33. Seja f ( x )  g ( x ) para todo x em algum intervalo aberto contendo c, exceto talvez
em c, além disso lim f (x)  . Mostre que lim g(x)  .
x c
x c
34. Seja f ( x )  g ( x ) para todo x em algum intervalo aberto contendo c, exceto talvez
em c, além disso lim g(x)  . Mostre que lim f (x)  .
x c
x c
35. Se lim f (x)  L e lim g(x)  , mostre que f ( x )  g ( x ) para todo x em algum
x c
x c
intervalo aberto contendo c, exceto talvez em c.
RESPOSTAS (Exercícios ímpares)

1.   ; 3.   mín.1,  ; 5.   mín.1 ,  ; 7.   ;
 3
3
2 2 
| c | 2 
9. se c  0,    e c  0 então   mín.| c | , 2 ; 11.   mín. , c  ;
2 5| c|
2 2
15. Se f ( x)  x
2




1
e g(x)  , então lim f (x)g(x)  0, lim f (x)  0 e g não é limitada
x
x 0
x 0
em torno de 0.