Resolução do exame de recurso (05/09/2005)

Resolução do exame de recurso (05/09/2005):
1.1.


'
1
Para x  1, f ' x   1  x 
.
2 x
Logo, f ' 4 
1
2 4
1
.
4

1.2.
Não existe derivada de f em x  0 , já que f não está definida em x  0 .
Em x  1:
 
f ' 1  lim
x 1
 
f ' 1  lim
x 1
f ( x)  f (1)
2x 2  7 x  7  2  0 
 lim
    lim 4 x  7   3
x 1
x 1
x 1
 0  R. C. x1
f ( x)  f (1)
1 x  2  0 
1
1
 lim
    lim

R.
C.
x

1
x

1
x 1
x 1
0
2 x 2
 
 
Logo, como f ' 1  f ' 1 , a função não tem derivada em x  1.
1.3.
 
Não, porque a função não é diferenciável em 1 ,9 , pois não é diferenciável em x  1,
2
como vimos.
1.4.
lim  f x 
1
x
x 

 lim e  x  2
x 

x
   
x

1
0
Ind.
Aplicando logaritmos:

ln lim e
x 
x
2

1
x

 lim ln e
x 
2
1
x


 e x
x
e x
 e x

 lim e  2   lim  x
     lim
 1
x 
x  e
1
 2    R. C. x  e  x
Assim, lim e  x  2
x  
1
x
 e 1 
1
e


ln e  x  2   
1

x
 lim  ln e  2   lim
  
x   x
x

 x
   R. C.
1.5.1. g x   e  x  2 , x  0
Domínio de g:
Contradomínio de g:
x  IR  x  0
x0
x  0  ex  0
 x  0  e x  2  2
Dg  IR   D' g 1
e x  e0  e x  2  2
e x  1  e x  2  2
e x  2  3  e x  2  2
D' g  3,  2,  3,  Dg 1
e  x  2  y  e  x  y  2   x  ln  y  2  x   ln  y  2
g 1 : 3,  IR 
x   ln x  2
1.5.2.
g ' ( x) 
g
1
1
( y)
'

1

 ln  y  2'
1
  y  2    e  x
1

y2
2.
 
g x   f e x
Pelo teorema da derivada da função composta:
 
g ' x   f ' e x  e x
Pela regra da derivada do produto e pelo teorema da derivada da função composta:
 
 
 
 
g ' ' x   f ' ' e x  e x  e x  f ' e x  e x  f ' ' e x  e 2 x  f ' e x  e x
Logo, g ' ' 0  g ' 0  f ' ' 1  f ' 1  f ' 1  f ' ' 1
3.1.
Pelo critério do termo geral, vem:
lim

an
3
 lim 1 
3  an
 3  an
Logo, a série é divergente.

  1  0  1  0
 liman 
3.2.1.
Pelo critério de Leibniz (para séries alternadas), com a n 
1
n 1
, vem:
 0, n  2

an 

lim a n  lim

averiguemos se an1  an , n  2 :
n 1
1
1
n 1

1
0

n  n 1
n  n 1
1
n

1
n 1
an1  an , n  2 ; ou seja, a n é decrescente
Logo, a série é convergente.
3.2.2.
 n  1


n 

Pelo critério da raíz, com a n 
2n
lim n a n  lim
n
 n 1


 n 
2n
Como lim n a n 
n2
n2
, vem:
 n  1


n
1
1
e
n 
 1

 lim
 lim 1    e1 
2
2
2
2
 n
n
e
 1 , a série é divergente.
2
4.1.
L  15x  15 y  0,02 x 2  4 x  500  0,05 y 2  4 y  275  0,02 x 2  0,05 y 2  11x  11y  775
Lx x, y   0
 0,04 x  11  0
 x  275
 275,110 é ponto crítico.



 0,1y  11  0
 y  110
L y x, y   0
 x, y   Lxx  x, y   L yy x, y   L2xy x, y 
 x, y   0,04   0,1  0 2  0,004
275,110  0,004  0 
  L(275,110) é um máximo local.
Lxx 275,110  0,04  0
Assim, devem ser produzidas 275 unidades na fábrica de Aveiro e 110 unidades na
fábrica de Viseu para que o lucro seja máximo.
4.2.
dx  286  290  4
;
dy  92  90  2
L  dL
L  Lx 290,90dx  L y 290,90dy
L  0,6   4  2  2
L  6,4
O lucro aumenta 6,4 euros, aproximadamente.
5.1.
2
 x x  2 dx
2
Cálculo auxiliar:
A A
2
B
 21  2 
x x2
x  x  2 x
2
Pelo método dos coeficientes indeterminados:
A1  x  2   A2 xx  2  Bx 2
2

x 2 x  2
x 2 x  2
2  A1 x  2 A1  A2 x 2  2 A2 x  Bx 2
0 x 2  0 x  2   A2  B x 2   A1  2 A2 x  2 A1
B  1
2
 A2  B  0



 A1  2 A2  0   A2   1 2
2 A  2

 1
 A1  1
Assim:
1
1
 21
2
1
1
1
1 1 x2
2 dx 
2 dx  x
dx

dx

 ln x  ln x  2  c    ln
c
 x 2  x  2  x 2  x
 x2
 2 1 2
2
x 2
x
5.2.
1
1  ln x  2
1
1
f x   
1  ln x dx     1  ln x  2 dx  
1 1
x
x
2
1 1
Como f 1 
4
2
4
2
   c   c  2 ; então, f x   
3
3
3
3
c  
2
3
1  ln x 3
1  ln x 3
 2.
c