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17.6 – MHS e movimento circular uniforme
MHS pode ser visto como a projeção do MCU em um dos eixos cartesianos
Galileu e as luas de Júpiter

Se r  r  xm ,
x(t )  xm cost   
MCU
MHS
ωt + φ
Ângulo no instante t
Fase
φ
Ângulo inicial
Constante de fase
xm
Raio do círculo
Amplitude
ω
Velocidade angular
Freqüência angular
Velocidade:

v  r  xm ,
v(t )  xmsen t   
Aceleração:

a   2 r   2 xm ,
a(t )   2 xm cost   
17.7 – Movimento harmônico amortecido
Resultado esperado qualitativamente (em
condições de baixo amortecimento):
e
 t /  (envelope)
x(t)
:
Em sistemas reais, há
sempre dissipação de
energia (amortecimento)
Constante de tempo de amortecimento
(tempo necessário para a amplitude
cair a 1/e do seu valor inicial)
t
Solução matemática:
Para baixas velocidades a força de amortecimento pode ser aproximada por:
Fa  bv (proporcional e contrária à velocidade)
d 2x
2a. Lei:  F  m 2
dt
dx
d 2x
 kx  b  m 2
dt
dt
d 2x
dx
m 2  b  kx  0
dt
dt
Vamos propor a solução:
x(t )  xm e t  cos(a t   )
Verificamos (quadro-negro) que esta é uma solução possível
da equação diferencial nas seguintes condições:
b  4mk (amortecimento pequeno ou subcrítico)
2m

(tempo de amortecimento)
b
(pequena redução da freqüência de
k b2
a 

m 4m oscilação em relação à freqüência natural)
Desta forma, temos: x(t )  xm e  bt 2 m cos(a t   )
Amplitude decai
exponencialmente com
o tempo
x(t)
t
Energia mecânica também decai exponencialmente:
1 2
kxm (constante )
2
2
1
1
Com amortecimento: E (t )  k xm e bt / 2 m  kxm2 e bt / m
2
2
Sem amortecimento:
E


Energia é
dissipada!
17.8 – Oscilações forçadas e ressonância
Oscilador com
freqüência natural
0 
k
m
Força externa
periódica com
freqüência ω: Fext  F0 cost 
2
d x
d 2x
2a. Lei:  F  m 2  kx  F0 cost   m 2
dt
dt
F0
d 2x
2
 0 x  cost 
2
dt
m
(desprezando por
enquanto os termos
dissipativos)
F0
d 2x
2
Precisamos resolver a equação diferencial:


x

cost 
0
2
dt
m
- Trata-se agora de uma equação inomogênea
- Espera-se que a solução geral seja uma combinação de funções oscilatórias
com freqüência ω0 e ω
- Na presença de atrito, apenas a solução com freqüência ω vai sobreviver
para tempos longos (regime estacionário)
- A solução com freqüência ω0 vai desaparecer depois de um curto intervalo
a partir do início do movimento (regime transiente)
Assim, vamos tentar a seguinte solução particular: x(t )  A cost   
Substituindo na equação diferencial:
F0
  A cost      A cost     cost 
m
F0
A cost    
cost 
2
2
m 0  
2
2
0


A cost    
Convenção:
F0
cost 
2
2
m 0  


F0
A  0 (amplitude )  A 
m 02   2
Se 0      0 (oscilador em fase com a força externa)
Se 0      
(lembrando que cos     -cos
A
(oscilador em oposição de fase
com a força externa)
sem amortecimento
com amortecimento
F0
m 02
com mais amortecimento
Quando ω=ω0, a
amplitude diverge:
ressonância
Kits LADIF: ressonância no trilho de ar e sistema massa-mola
A ponte de Tacoma
http://www.youtube.com/watch?v=P0Fi1VcbpAI
Quebrando um copo de vinho com som ressonante
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E
17.9 – Oscilações de dois corpos e modos normais
Discussão qualitativa: Kit LADIF de pêndulos acoplados